Внутренний автоморфизм

В абстрактной алгебре внутренний автоморфизм является автоморфизм из группы , кольца , или алгебры , заданной конъюгации действием фиксированного элемента, называемого конъюгации элементом . Эти внутренние автоморфизмы образуют подгруппу группы автоморфизмов, а факторгруппа группы автоморфизмов по этой подгруппе порождает понятие группы внешних автоморфизмов .

Определение [ править ]

Если $G$ - группа, а $g$ - элемент $G$ (альтернативно, если $G$ - кольцо, а $g$ - единица ), то функция

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ varphi _ {g} \ двоеточие G & \ longrightarrow G \\\ varphi _ {g} (x) &: = g ^ {- 1} xg \ end {выровнено}}}

называется (правым) сопряжением по $g$ (см. также класс сопряженности ). Эта функция является Эндоморфизмом из $G$ : для всех ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2} \ in G,}$

{\ displaystyle \ varphi _ {g} (x_ {1} x_ {2}) = g ^ {- 1} x_ {1} x_ {2} g = (g ^ {- 1} x_ {1} g) ( g ^ {- 1} x_ {2} g) = \ varphi _ {g} (x_ {1}) \ varphi _ {g} (x_ {2}),}

где второе равенство задается вставкой идентичности между и Кроме того, он имеет левый и правый обратный , а именно Таким образом, является взаимно однозначным , и так изоморфизма $G$ с самим собой, то есть автоморфизм. Внутренний автоморфизм является любой автоморфизм , который возникает из сопряжения. ^[1] ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}.}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {g ^ {- 1}}.}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {g}}$

При обсуждении правильного спряжения, выражение часто обозначается экспоненциально Это обозначение используется потому , что состав спряжения удовлетворяет идентичности: для всех Это показывает , что конъюгация дает правильное действие из $G$ на себя. ${\ displaystyle g ^ {- 1} xg}$ ${\ displaystyle x ^ {g}.}$ ${\ Displaystyle (х ^ {г_ {1}}) ^ {г_ {2}} = х ^ {г_ {1} г_ {2}}}$ ${\ displaystyle g_ {1}, g_ {2} \ in G.}$

Группы внутренних и внешних автоморфизмов [ править ]

Композиция из двух внутренних автоморфизмов снова внутренний автоморфизм, и с этой операцией, совокупность всех внутренних автоморфизмов группы $G$ представляет собой группа, внутренний автоморфизм группа $G$ обозначит $Inn (G)$ .

$Inn (G)$ является нормальной подгруппой полной группы автоморфизмов $Aut (G)$ из $G$ . Внешний автоморфизм группы , $Out (G)$ является фактор - группа

{\ displaystyle \ operatorname {Out} (G) = \ operatorname {Aut} (G) / \ operatorname {Inn} (G).}

Группа внешних автоморфизмов в некотором смысле измеряет, сколько автоморфизмов группы $G$ не являются внутренними. Каждый невнутренний автоморфизм порождает нетривиальный элемент из $Out (G)$ , но разные невнутренние автоморфизмы могут давать один и тот же элемент из $Out (G)$ .

Сказать, что сопряжение $x с$ помощью $a$ оставляет $x$ неизменным, равносильно утверждению, что $a$ и $x$ коммутируют:

{\ displaystyle a ^ {- 1} xa = x \ iff ax = xa.}

Следовательно, наличие и количество внутренних автоморфизмов, не являющихся тождественным отображением, является своего рода мерой нарушения коммутативного закона в группе (или кольце).

Автоморфизм группы $G$ является внутренним тогда и только тогда , когда она распространяется на каждую группу , содержащую $G$ . ^[2]

Ассоциируя элемент $\in$ $G$ с внутренним автоморфизмом $ф$ $($ $х$ $) =$ $х$ в $Inn ($ $G$ $)$ , как указано выше, один получает изоморфизм между фактор - группы $G$ $/$ $Z$ $($ $G$ $)$ (где $Z$ $($ $G$ $)$ является центром по $G$ ) и группы внутренних автоморфизмов:

G/Z(G)\cong \operatorname {Inn} (G).

Это следствие первой теоремы об изоморфизме , потому что $Z (G)$ - это в точности набор тех элементов группы $G,$ которые задают тождественное отображение как соответствующий внутренний автоморфизм (сопряжение ничего не меняет).

Невнутренние автоморфизмы конечных $p$ -групп [ править ]

Результат Вольфганга Гашюца гласит, что если $G$ конечная неабелева $p$ -группа , то $G$ имеет автоморфизм $p$ -степенного порядка, который не является внутренним.

Остается открытым вопрос, имеет ли всякая неабелева $p$ -группа $G$ автоморфизм порядка $p$ . Последний вопрос имеет положительный ответ, если $G$ имеет одно из следующих условий:

$G$ нильпотентна класса 2
$G$ - регулярная $p$ -группа
$G / Z (G)$ - мощная $p$ -группа
Централизатор в $G$ , $C G$ , центра, $Z$ , из подгруппы Фраттини , $Ф$ , из $G$ , $C G \circ Z \circ Ф (С)$ , не равен $Ф (G)$

Типы групп [ править ]

Внутренняя группа автоморфизмов группы $G$ , $Inn (G)$ , тривиально (т.е. состоит только из единичного элемента ) , если и только если $G$ является абелевой .

Группа $Inn (G)$ является циклической только тогда , когда оно тривиально.

На противоположном конце спектра внутренние автоморфизмы могут исчерпать всю группу автоморфизмов; группа, все автоморфизмы которой внутренние, а центр тривиален, называется полной . Это имеет место для всех симметрических групп на $n$ элементах, когда $n$ не равно 2 или 6. Когда $n = 6$ , симметрическая группа имеет единственный нетривиальный класс внешних автоморфизмов, а когда $n = 2$ , симметрическая группа, несмотря на отсутствие внешних автоморфизмов, является абелевым, дает нетривиальный центр, что лишает его возможности быть полным.

Если группа внутренних автоморфизмов совершенной группы $G$ проста, то $G$ называется квазипростой .

Случай алгебры Ли [ править ]

Автоморфизм алгебры Ли $𝔊$ называется внутренним автоморфизмом, если он имеет вид $Ad g$ , где $Ad$ - присоединенное отображение, а $g$ - элемент группы Ли, алгеброй Ли которой является $𝔊$ . Понятие внутреннего автоморфизма для алгебр Ли совместимо с понятием для групп в том смысле, что внутренний автоморфизм группы Ли индуцирует единственный внутренний автоморфизм соответствующей алгебры Ли.

Расширение [ править ]

Если $G$ является группой единиц одного кольца , , то внутренний автоморфизм на $G$ может быть продолжено до отображения на проективной прямой над A группой единиц матричного кольца , $М$ $2$ $($ $А$ $)$ . В частности, таким образом могут быть расширены внутренние автоморфизмы классических групп .

Ссылки [ править ]

^ С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 .
^ Schupp, Пол Э. (1987), "Характеристика внутренних автоморфизмов" (PDF) , Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 101 (2): 226-228, DOI : 10,2307 / 2045986 , JSTOR 2045986 , Руководство по ремонту 0902532

Дальнейшее чтение [ править ]

Абдоллахи А. (2010), «Мощные p -группы имеют не внутренние автоморфизмы порядка p и некоторые когомологии», J. Algebra , 323 (3): 779–789, arXiv : 0901.3182 , doi : 10.1016 / j.jalgebra .2009.10.013 , MR 2574864
Абдоллахи А. (2007), «Конечные p -группы класса 2 имеют невнутренние автоморфизмы порядка p », J. Algebra , 312 (2): 876–879, arXiv : math / 0608581 , doi : 10.1016 / j.jalgebra .2006.08.036 , MR 2333188
Deaconescu, M .; Зильберберг, Г. (2002), "Noninner автоморфизмы порядка р конечных р -групп", Ж. Алгебра , 250 : 283-287, DOI : 10,1006 / jabr.2001.9093 , МР 1898386
Гашютц, В. (1966), «Nichtabelsche p -Gruppen besitzen äussere p -Automorphismen», J. Algebra , 4 : 1-2, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (66) 90045-7 , MR 0193144
Либек, Х. (1965), "Внешние автоморфизмы в нильпотентных p -группах класса 2 ", J. London Math. Soc. , 40 : 268-275, DOI : 10,1112 / jlms / s1-40.1.268 , МР 0173708
Ремесленников, В.Н. (2001) [1994], "Внутренний автоморфизм" , Энциклопедия математики , EMS Press
Вайсштейн, Эрик В. «Внутренний автоморфизм» . MathWorld .

[1] С., Даммит, Дэвид (2004). Абстрактная алгебра . Фут, Ричард М., 1950- (3-е изд.). Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. п. 45. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264 .

[2] Schupp, Пол Э. (1987), "Характеристика внутренних автоморфизмов" (PDF) , Труды Американского математического общества , Американского математического общества, 101 (2): 226-228, DOI : 10,2307 / 2045986 , JSTOR 2045986 , Руководство по ремонту 0902532

[1]