Факторное кольцо

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо продукта • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -адические числа ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p -адический соленоид ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В теории колец , ветвь абстрактной алгебры , А фактор - кольцо , также известная как фактор кольцо , разность кольцо ^[1] или кольцо классов вычетов , представляет собой конструкция , очень похожа на фактор - группы в теории групп и фактор - пространства с линейной алгеброй . ^{[2] [3]} Это конкретный пример фактора с точки зрения общей теории универсальной алгебры . Начинают с кольца R и двустороннего идеала I вR , и строит новое кольцо, фактор - кольцо R / I , элементами которого являются классы смежности из I в R с учетом специальной + и ⋅ операций.

Факторпространства кольца отличается от так называемого «фактора - поля», или области фракций , из области целостности , а также из более общих «кольца частных» полученных локализации .

Формальное построение кольца частных [ править ]

Учитывая кольцо и двусторонний идеал в , мы можем определить отношение эквивалентности на следующим образом:${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \sim }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle a\sim b}$ если и только если есть в .${\displaystyle a-b}$${\displaystyle I}$

Используя идеальные свойства, нетрудно проверить, что это отношение конгруэнтности . В случае , если мы говорим , что и являются конгруэнтно по модулю . Класс эквивалентности элемента в определяется выражением${\displaystyle \sim }$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle [a]=a+I:=\{a+r:r\in I\}}$.

Этот класс эквивалентности также иногда называют и называют «классом вычетов по модулю ».${\displaystyle a{\bmod {I}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I}$

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается ; оно становится кольцом, фактор-кольцом или фактор-кольцом по модулю , если определить${\displaystyle R/I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$;
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$.

(Здесь нужно проверить, что эти определения корректно определены . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент is , а мультипликативное тождество равно .${\displaystyle R/I}$${\displaystyle {\bar {0}}=(0+I)=I}$${\displaystyle {\bar {1}}=(1+I)}$

Отображение из в, определяемое с помощью, является сюръективным гомоморфизмом колец , иногда называемым естественным фактор-отображением или каноническим гомоморфизмом .${\displaystyle p}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle p(a)=a+I}$

Примеры [ править ]

• Фактор - кольцо R / {0 } является естественно изоморфна к R , и R / R является нулевым кольцом {0}, так как , по нашему определению, для любого г в R , мы имеем , что [ г ] = г + "R" : = { r + b  : b ∈ "R" }}, что равно самому R. Это согласуется с правилом большого пальца , что чем больше идеал I , тем меньше фактор - кольцо R / I . Если я идеалR , т. Е. I then R , то R / I не является нулевым кольцом.
• Рассмотрим кольцо целых чисел Z и идеал четных чисел , обозначаемый 2 Z . Тогда фактор-кольцо Z / 2 Z имеет только два элемента: смежный класс 0 + 2 Z, состоящий из четных чисел, и смежный класс 1 + 2 Z, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, [ z ] = z + 2 Z  : = { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , где 2 Z - идеал четных чисел. Оно естественно изоморфно конечному полюс двумя элементами, F ₂ . Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как о 0, то каждое целое число равно либо 0 (если оно четное), либо 1 (если оно нечетное и поэтому отличается от четного числа на 1). Модульная арифметика - это, по сути, арифметика в кольце частных Z / n Z (которое имеет n элементов).
• Теперь рассмотрим кольцо R [ X ] многочленов от переменной X с действительными коэффициентами и идеал I = ( X ² + 1), состоящий из всех кратных многочлена X ² + 1 . Факторкольцо R [ X ] / ( X ² + 1) естественно изоморфно полю комплексных чисел C , причем класс [ X ] играет роль мнимой единицы i . Причина в том, что мы «заставили» X ²+ 1 = 0 , т.е. X ² = −1 , что является определяющим свойством i .
• Обобщая предыдущий пример, фактор-кольца часто используются для построения расширений полей . Предположим, что K - некоторое поле, а f - неприводимый многочлен в K [ X ]. Тогда L = K [ X ] / ( f ) - поле, минимальным многочленом над K которого является f , которое содержит K, а также элемент x = X + ( f ) .
• Одним из важных примеров предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле F ₃ = Z / 3 Z с тремя элементами. Многочлен f ( X ) = X ² + 1 неприводим над F ₃ (поскольку он не имеет корня), и мы можем построить фактор-кольцо F ₃ [ X ] / ( f ) . Это поле с 3 ² = 9 элементами, обозначенное F ₉ . Остальные конечные поля могут быть построены аналогичным образом.
• В координатных кольцах из алгебраических многообразий являются важными примерами факторколец в алгебраической геометрии . В качестве простого случая рассмотрим вещественное многообразие V = {( x , y ) | x ² = y ³ } как подмножество реальной плоскости R ² . Кольцо действительных полиномиальных функций, определенных на V, можно отождествить с фактор-кольцом R [ X , Y ] / ( X ² - Y ³ ) , и это координатное кольцоВ . Многообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца.
• Пусть М является С ^∞ - многообразие и р является точкой М . Рассмотрим кольцо R = C ^∞ ( M ) всех C ^∞ -функции , определенной на М , и пусть я идеал в R , состоящее из функций F , которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности U из р (где U может зависеть от F ) . Тогда фактор-кольцо R / I - это кольцо ростковC ^∞ -функций на M в точке p .
• Рассмотрим кольцо F конечных элементов поля гипердействительной * R . Он состоит из всех гиперреальных чисел, отличающихся от стандартного действительного числа на бесконечно малую величину, или, что эквивалентно: всех гиперреальных чисел x, для которых существует стандартное целое число n с - n < x < n . Множество I всех чисел бесконечно малых в * R , вместе с 0, является идеалом в F , и фактор - кольцо F / I изоморфно действительных чисел R . Изоморфизм индуцируется сопоставлением каждому элементух из F стандартная часть из х , то есть единственного вещественного числа , которое отличается от й бесконечно малого. Фактически, можно получить тот же результат, а именно R , если начать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т. Е. Отношения пары гиперинтегральных чисел ), см. Построение действительных чисел .

Альтернативные сложные самолеты [ править ]

Факторы R [ X ] / ( X ) , R [X] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X - 1) все изоморфны R и поначалу вызывают небольшой интерес. Но обратите внимание, что R [ X ] / ( X ² ) называется плоскостью двойственных чисел в геометрической алгебре. Он состоит только из линейных двучленов как «остатков» после уменьшения элемента R [ X ] на X ² . Эта альтернативная комплексная плоскость возникает какподалгебра, если алгебра содержит вещественную прямую и нильпотент .

Более того, факторное кольцо R [ X ] / ( X ² - 1) действительно разделяется на R [ X ] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X - 1) , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямое сумма R ⊕ R . Тем не менее, альтернативное комплексное число z = x + y j предлагается j как корень X ² - 1 , по сравнению с i как корень X ² + 1 = 0 . Этот самолетрасщепленные комплексные числа нормализуют прямую сумму R ' ⊕ R , предоставляя базис {1, j} для 2-пространства, где единица алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. С этой основой блоком гипербола может быть по сравнению с единичной окружностью на обычной комплексной плоскости .

Кватернионы и альтернативы [ править ]

Пусть Х и Y являются два, не коммутирующий, неизвестные и образуют свободную алгебру R ⟨ X , Y ⟩ . Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно представить в виде

${\displaystyle \mathbf {R} \langle X,Y\rangle /(X^{2}+1,Y^{2}+1,XY+YX).}$

Если Y ² - 1 заменить на Y ² + 1 , то получится кольцо расщепленных кватернионов . Замена минуса на плюс в обоих квадратичных биномах также приводит к разделению кватернионов. Из антикоммутативного свойства YX = - XY следует, что XY имеет квадрат

( XY ) ( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - XXYY = -1.

Три типа бикватернионов также может быть записан в виде дробей с использованием свободной алгебры с тремя неизвестными R ⟨ X , Y , Z ⟩ и построением соответствующих идеалов.

Свойства [ править ]

Ясно, что если R - коммутативное кольцо , то R / I тоже ; обратное, однако, в целом неверно.

Естественный факторное отображение р имеет I в качестве ядра ; поскольку ядро ​​каждого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов колец.

Тесная связь между кольцевыми гомоморфизмами, ядер и фактор - колец можно суммировать следующим образом : кольцевые гомоморфизмы , определенные на R / I являются по существу такими же , как кольцевых гомоморфизмов , определенных на R, равными нулю (т.е. равны нулю) на I . Более точно, для двустороннего идеала I в R и гомоморфизма колец f  : R → S , ядро ​​которого содержит I , существует ровно один гомоморфизм колец g  : R / I → S с gp = f (где p- естественное фактор-отображение). Карту г здесь даются хорошо определенным правило г ([ ]) = F ( в ) для всех а в R . Действительно, это универсальное свойство может быть использовано для определения фактор-колец и их естественных фактор-отображений.

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: любой гомоморфизм колец f  : R → S индуцирует изоморфизм колец между фактор-кольцом R / ker ( f ) и образом im ( f ). (См. Также: основная теорема о гомоморфизмах .)

Идеалы R и R / I тесно связаны: естественное фактор-отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами R , содержащими I, и двусторонними идеалами R / I (то же самое верно для левого и правого идеалы). Эта взаимосвязь между двусторонним идеалом распространяется на отношения между соответствующими фактор-кольцами: если M - двусторонний идеал в R , содержащий I , и мы пишем M / I для соответствующего идеала в R / I (т. Е.M / I = p ( M ) ) факторкольца R / M и ( R / I ) / ( M / I ) естественно изоморфны посредством (корректно определенного!) Отображения a + M ↦ ( a + I ) + М / я .

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для коммутативности R ≠ {0} R / I является полем тогда и только тогда, когда I является максимальным идеалом , а R / I является областью целостности тогда и только тогда, когда I является идеал . Ряд подобных утверждений относится свойство идеал I к свойствам фактора - кольца R / I .

Китайская теорема об остатках утверждает , что, если идеал I является пересечением (или , что эквивалентно, произведение) попарно взаимно простых идеалов я ₁ , ..., я _K , то фактор - кольцо R / I изоморфно продукта из частного кольца R / I _n , n = 1, ..., k .

Для алгебр над кольцом [ править ]

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R является само кольцо. Если I - идеал в  A (замкнутый относительно R -умножения), то A  /  I наследует структуру алгебры над  R и является фактор-алгеброй . 

См. Также [ править ]

• Связанное градуированное кольцо
• Поле остатков
• Теорема Голди
• Модуль частных

Примечания [ править ]

Дальнейшие ссылки [ править ]

• Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe , перевод Д. Уоллеса (1982) Модули и кольца , Academic Press , стр. 33.
• Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы , §13 Кольца классов остатков, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки .
• Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е издание) . Springer. С. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
• Б.Л. ван дер Варден (1970) Алгебра , переведенный Фредом Блюмом и Джоном Р. Шуленбергером, издательство Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. Главу 3.5, «Идеалы. Кольца классов остатков», стр. 47–51.

Внешние ссылки [ править ]

• "Факторное кольцо" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Идеалы и фактор-кольца из абстрактной алгебры Джона Бичи онлайн