Составная алгебра

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

В математике , А композиционная алгебра над полем $К$ является не обязательно ассоциативная алгебра над $K$ вместе с невырожденной квадратичной формой $N$ , который удовлетворяет

{\ Displaystyle N (ху) = N (х) N (y)}

для всех $х$ и $у$ в $А$ .

Композиционная алгебра включает инволюцию, называемую сопряжением : квадратичная форма называется нормой алгебры. ${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {*}.}$ ${\ Displaystyle N (х) \ = \ хх ^ {*}}$

Композиционная алгебра ( A , ∗, N ) является либо алгеброй с делением, либо расщепленной алгеброй , в зависимости от существования ненулевого v в A, такого что N ( v ) = 0, называемого нулевым вектором . ^[1] При й это не нулевой вектора, то мультипликативные обратное из й является Когда существует вектор ненулевого нуля, Н является изотропной квадратичной формой , и «алгебра расколы». ${\ displaystyle {\ frac {x ^ {*}} {N (x)}} \.}$

Структурная теорема [ править ]

Каждый унитальная композиционная алгебра над полем $K$ может быть получена путем многократного применения конструкции Кэли-Диксона , начиная с $K$ (если характерная из $K$ отличается от $2$ ) , или 2-мерный состав подалгебра (если $символ (К) = 2$ ) . Возможные размеры композиционной алгебры: $1$ , $2$ , $4$ и $8$ . ^[2]^[3]^[4]

Одномерные композиционные алгебры существуют только тогда, когда $char (K) \neq 2$ .
Композиционные алгебры размерности 1 и 2 коммутативны и ассоциативны.
Композиционные алгебры размерности 2 являются либо квадратичные расширения поля из $К$ , либо изоморфна $K \oplus K$ .
Композиционные алгебры размерности 4 называются кватернионными алгебрами . Они ассоциативны, но не коммутативны.
Композиционные алгебры размерности 8 называются алгебрами октонионов . Они не ассоциативны и не коммутативны.

Для согласованной терминологии алгебры размерности 1 были названы унарионами , а алгебры размерности 2 - бинарионами . ^[5]

Экземпляры и использование [ править ]

Если в качестве поля $K$ взять комплексные числа $C$ и квадратичную форму $z 2$ , то четыре композиционные алгебры над $C$ - это $сама$ $C$ , бикомплексные числа , бикватернионы (изоморфные кольцу комплексных матриц 2 × 2 $M (2,$ $C$ $)$ ), и биоктонионы $C$ $\otimes$ $O$ , которые также называют сложными октонионами.

Матрица кольцо $М (2, С)$ уже давно является объектом интереса, во- первых , как бикватернионов от Hamilton (1853), а затем в изоморфного матричной форме, и , в особенности , как Pauli алгебры .

Функция возведения в квадрат $N (x) = x 2$ на поле действительных чисел образует изначальную композиционную алгебру. Если в качестве поля $K$ взять действительные числа $R$ , то имеется всего шесть других вещественных композиционных алгебр. ^[3]^{: 166} В двух, четырех и восьми измерениях есть как алгебра с делением, так и «алгебра расщепления»:

бинарионы: комплексные числа с квадратичной формой

x 2 + y 2

и расщепленные комплексные числа с квадратичной формой

x 2 - y 2

,

кватернионы и сплит-кватернионы ,

октонионы и сплит-октонионы .

Каждая композиционная алгебра имеет ассоциированную билинейную форму B ( x, y ), построенную с нормой N и поляризационным тождеством :

{\ Displaystyle B (x, y) \ = \ [N (x + y) -N (x) -N (y)] / 2.}

^[6]

История [ править ]

Составление сумм квадратов было отмечено несколькими ранними авторами. Диофант знал о тождестве, включающем сумму двух квадратов, которое теперь называется тождеством Брахмагупты – Фибоначчи , которое также сформулировано как свойство евклидовых норм комплексных чисел при умножении. Леонард Эйлер обсуждал тождество четырех квадратов в 1748 году, и это привело Гамильтона к построению его четырехмерной алгебры кватернионов . ^[5]^{: 62} В 1848 году были описаны тессарины, дающие первый свет бикомплексным числам.

Около 1818 года датский ученый Фердинанд Деген показал восьмиквадратную идентичность Дегена , которая позже была связана с нормами элементов алгебры октонионов :

Исторически первая неассоциативная алгебра, числа Кэли ... возникла в контексте теоретико-числовой проблемы квадратичных форм, допускающих композицию ... этот теоретико-числовой вопрос может быть преобразован в вопрос, касающийся некоторых алгебраических систем, алгебр композиции. .. ^[5]^{: 61}

В 1919 году Леонард Диксон продвинул исследование проблемы Гурвица, сделав обзор работ, предпринятых к тому времени, и продемонстрировав метод удвоения кватернионов для получения чисел Кэли . Он ввел новую мнимую единицу $e$ , а для кватернионов $q$ и $Q$ записал число Кэли $q + Q e$ . Обозначая кватернион, сопряженный через $q'$ , произведение двух чисел Кэли равно ^[7]

{\ Displaystyle (q + Qe) (r + Re) = (qr-R'Q) + (Rq + Qr ') e.}

Сопряжение числа Кэли есть $q ' - Q e$ , а квадратичная форма - $qq' + QQ'$ , полученная путем умножения числа на его сопряженное. Метод удвоения получил название конструкции Кэли – Диксона .

В 1923 г. случай вещественных алгебр с положительно определенной формой был ограничен теоремой Гурвица (композиционные алгебры) .

В 1931 году Макс Цорн ввел гамму (γ) в правило умножения в конструкции Диксона для генерации расщепленных октонионов . ^[8] Адриан Альберт также использовал гамму в 1942 году, когда он показал, что удвоение Диксона может применяться к любому полю с функцией возведения в квадрат для построения алгебр бинарионов, кватернионов и октонионов с их квадратичными формами. ^[9] Натан Джекобсон описал автоморфизмы композиционных алгебр в 1958 г. ^[2]

Классические композиционные алгебры над $R$ и $C$ являются алгебрами с единицей . Композиционные алгебры без в мультипликативной идентичности были найдены HP Петерсон ( Петерсон алгебра ) и Сусум Окубо ( Окубо алгебра ) и другими. ^[10]^{: 463–81}

См. Также [ править ]

Магический квадрат Фройденталя
Форма Пфистера
Триальность

Ссылки [ править ]

В Викиучебнике есть книга по теме: Алгебра ассоциативной композиции.

^ Спрингер, TA ; Ф. Д. Велдкамп (2000). Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы . Springer-Verlag . п. 18. ISBN 3-540-66337-1.
^ a b Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 : 55–80. DOI : 10.1007 / bf02854388 . Zbl 0083.02702 .
^ a b Гай Роос (2008) "Исключительные симметрические области", §1: алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 современной математики , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459 -5
^ Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Dover Publications . С. 72–75 . ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .
^ a b c Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924
^ Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальд (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194-200, Academic Press
^ Dickson, LE (1919), "О кватернионах и их обобщение и история Восемь площади теоремы", Анналы математики , вторая серия, Annals математики, 20 (3): 155-171, DOI : 10,2307 / 1967865 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1967865
^ Макс Цорн (1931) "Альтернативная и квадратичная система", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402
^ Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики . 43 : 161–177. DOI : 10.2307 / 1968887 . Zbl 0060.04003 .
^ Max-Альберт Knus, Александр Меркурьев , Маркус Rost , Жан-Пьер Tignol (1998) "Состав и Triality", глава 8 в Книге Инволюции , стр. 451-511, коллоквиум Публикации v 44, Американское математическое общество ISBN 0- 8218-0904-0

Дальнейшее чтение [ править ]

Фараут, Жак; Кораньи, Адам (1994). Анализ на симметричных конусах . Оксфордские математические монографии. Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк. С. 81–86. ISBN 0-19-853477-9. Руководство по ремонту 1446489 .
Лам, Цит-Юэн (2005). Введение в квадратичные формы над полями . Аспирантура по математике . 67 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023 .
Харви, Ф. Риз (1990). Спиноры и калибровки . Перспективы в математике. 9 . Сан-Диего: Academic Press . ISBN 0-12-329650-1. Zbl 0694.53002 .

[1] Спрингер, TA ; Ф. Д. Велдкамп (2000). Октонионы, йордановы алгебры и исключительные группы . Springer-Verlag . п. 18. ISBN 3-540-66337-1.

[NJ-2] Джейкобсон, Натан (1958). «Композиционные алгебры и их автоморфизмы». Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 7 : 55–80. DOI : 10.1007 / bf02854388 . Zbl 0083.02702 .

[GR08-3] Гай Роос (2008) "Исключительные симметрические области", §1: алгебры Кэли, в Симметрии в комплексном анализе Брюса Гиллигана и Гая Рооса, том 468 современной математики , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4459 -5

[4] Шафер, Ричард Д. (1995) [1966]. Введение в неассоциативные алгебры . Dover Publications . С. 72–75 . ISBN 0-486-68813-5. Zbl 0145.25601 .

[KMC-5] Кевин МакКриммон (2004) Вкус иорданских алгебр , Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 MR 2014924

[6] Артур А. Сэгл и Ральф Э. Вальд (1973) Введение в группы Ли и алгебры Ли , страницы 194-200, Academic Press

[7] Dickson, LE (1919), "О кватернионах и их обобщение и история Восемь площади теоремы", Анналы математики , вторая серия, Annals математики, 20 (3): 155-171, DOI : 10,2307 / 1967865 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1967865

[8] Макс Цорн (1931) "Альтернативная и квадратичная система", Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg 9 (3/4): 395–402

[9] Альберт, Адриан (1942). «Квадратичные формы, допускающие композицию». Анналы математики . 43 : 161–177. DOI : 10.2307 / 1968887 . Zbl 0060.04003 .

[KMRT-10] Max-Альберт Knus, Александр Меркурьев , Маркус Rost , Жан-Пьер Tignol (1998) "Состав и Triality", глава 8 в Книге Инволюции , стр. 451-511, коллоквиум Публикации v 44, Американское математическое общество ISBN 0- 8218-0904-0