Биалгебра

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  "Bialgebra"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , биалгебра над полем K является векторным пространством над K , который является как унитальная ассоциативная алгебра и counital coassociative коалгебра . Алгебраические и коалгебраические структуры сделаны совместимыми с еще несколькими аксиомами. В частности, коумножение и коединица являются гомоморфизмами алгебры с единицей, или, что эквивалентно, умножение и единица алгебры являются морфизмами коалгебры . (Эти утверждения эквивалентны, так как выражаются теми же коммутативными диаграммами.)

Подобные биалгебры связаны гомоморфизмами биалгебр. Гомоморфизм биалгебр - это линейное отображение , которое одновременно является алгеброй и гомоморфизмом коалгебр.

Как отражено в симметрии коммутативных диаграмм, определение биалгебры самодвойственно , поэтому, если можно определить двойственное к B (что всегда возможно, если B конечномерно), то это автоматически биалгебра.

Формальное определение [ править ]

( B , ∇, η, Δ, ε) является биалгеброй над K, если она обладает следующими свойствами:

• B - векторное пространство над K ;
• существуют K - линейные отображения (умножение) ∇: B ⊗ B → B (эквивалентные K - полилинейному отображению ∇: B × B → B ) и (unit) η: K → B , такие что ( B , ∇, η) - ассоциативная алгебра с единицей ;
• существуют K -линейные отображения (коумножение) Δ: B → B ⊗ B и (коит) ε: B → K , такие, что ( B , Δ, ε) - (коассоциативная коассоциативная) коалгебра ;
• условия совместимости, выраженные следующими коммутативными диаграммами :

1. Умножение ∇ и коумножение Δ ^[1]

   где τ: B ⊗ B → B ⊗ B - линейное отображение, определяемое формулой τ ( x ⊗ y ) = y ⊗ x для всех x и y в B ,

2. Умножение ∇ и счет ε

3. Умножение Δ и единица η ^[2]

4. Единица η и счетчик ε

Соассоциативность и счет [ править ]

K -линейного карта Д: B → B ⊗ B является coassociative если .${\ displaystyle (\ mathrm {id} _ {B} \ otimes \ Delta) \ circ \ Delta = (\ Delta \ otimes \ mathrm {id} _ {B}) \ circ \ Delta}$

В K -линейного отображение ε: B → K является коединица , если .${\displaystyle (\mathrm {id} _{B}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{B}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{B})\circ \Delta }$

Коассоциативность и коассоциативность выражаются коммутативностью следующих двух диаграмм (они являются двойниками диаграмм, выражающих ассоциативность и единицу алгебры):

Условия совместимости [ править ]

Четыре коммутативные диаграммы могут быть прочитаны либо как «коумножение и кочит - гомоморфизмы алгебр» или, что то же самое, «умножение и единица - гомоморфизмы коалгебр».

Эти утверждения имеют смысл, если мы объясним естественные структуры алгебры и коалгебры во всех векторных пространствах, кроме B : ( K , ∇ ₀ , η ₀ ) очевидным образом является ассоциативной алгеброй с единицей и ( B ⊗ B , ₂ , η ₂ ) - ассоциативная алгебра с единицей и умножением

${\displaystyle \eta _{2}:=(\eta \otimes \eta ):K\otimes K\equiv K\to (B\otimes B)}$

${\displaystyle \nabla _{2}:=(\nabla \otimes \nabla )\circ (id\otimes \tau \otimes id):(B\otimes B)\otimes (B\otimes B)\to (B\otimes B)}$,

так что или, опуская ∇ и писать умножение в качестве противопоставления , ;${\displaystyle \nabla _{2}((x_{1}\otimes x_{2})\otimes (y_{1}\otimes y_{2}))=\nabla (x_{1}\otimes y_{1})\otimes \nabla (x_{2}\otimes y_{2})}$${\displaystyle (x_{1}\otimes x_{2})(y_{1}\otimes y_{2})=x_{1}y_{1}\otimes x_{2}y_{2}}$

аналогично, ( K , ∆ ₀ , ε ₀ ) очевидным образом является коалгеброй, а B ⊗ B - коалгеброй с коединицей и коумножением

${\displaystyle \epsilon _{2}:=(\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K\otimes K\equiv K}$

${\displaystyle \Delta _{2}:=(id\otimes \tau \otimes id)\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)\otimes (B\otimes B)}$.

Тогда диаграммы 1 и 3 говорят, что ∆: B → B ⊗ B является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( B ⊗ B , ∇ ₂ , η ₂ )

${\displaystyle \Delta \circ \nabla =\nabla _{2}\circ (\Delta \otimes \Delta ):(B\otimes B)\to (B\otimes B)}$, или просто Δ ( xy ) = Δ ( x ) Δ ( y ),

${\displaystyle \Delta \circ \eta =\eta _{2}:K\to (B\otimes B)}$, или просто Δ (1 _B ) = 1 _{B ⊗ B} ;

диаграммы 2 и 4 говорят, что ε: B → K является гомоморфизмом унитальных (ассоциативных) алгебр ( B , ∇, η) и ( K , ∇ ₀ , η ₀ ):

${\displaystyle \epsilon \circ \nabla =\nabla _{0}\circ (\epsilon \otimes \epsilon ):(B\otimes B)\to K}$, или просто ε ( xy ) = ε ( x ) ε ( y )

${\displaystyle \epsilon \circ \eta =\eta _{0}:K\to K}$Или просто ε (1 _В ) = 1 _К .

Эквивалентно, диаграммы 1 и 2 говорят, что ∇: B ⊗ B → B является гомоморфизмом (коассоциативных) коалгебр ( B ⊗ B , Δ ₂ , ε ₂ ) и ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \nabla \otimes \nabla \circ \Delta _{2}=\Delta \circ \nabla :(B\otimes B)\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \nabla _{0}\circ \epsilon _{2}=\epsilon \circ \nabla :(B\otimes B)\to K}$;

диаграммы 3 и 4 говорят, что η: K → B является гомоморфизмом (коассоциативных) коалгебр ( K , Δ ₀ , ε ₀ ) и ( B , Δ, ε):

${\displaystyle \eta _{2}\circ \Delta _{0}=\Delta \circ \eta :K\to (B\otimes B),}$

${\displaystyle \eta _{0}\circ \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta :K\to K}$,

куда

${\displaystyle \epsilon _{0}=\epsilon \circ \eta }$.

Примеры [ править ]

Групповая биалгебра [ править ]

Примером биалгебры является набор функций из группы G (или, в более общем смысле, любого моноида ) в , которую мы можем представить как векторное пространство, состоящее из линейных комбинаций стандартных базисных векторов e _g для каждого g  ∈  G , которые могут представляют собой распределение вероятностей по G в случае векторов, все коэффициенты которых неотрицательны и в сумме равны 1. Примером подходящих операторов коумножения и счетчиков, которые дают коитальную коалгебру, являются${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \Delta (\mathbf {e} _{g})=\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{g}\,,}$

который представляет собой создание копии случайной величины (которую мы распространяем на всех по линейности), и${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {e} _{g})=1\,,}$

(снова расширен линейно на все ), что представляет собой «отслеживание» случайной величины, то есть  забвение значения случайной величины (представленной одним тензорным фактором) для получения предельного распределения по остальным переменным (оставшимся тензорным факторам) . При интерпретации (Δ, ε) в терминах вероятностных распределений, как указано выше, условия согласованности биалгебры сводятся к следующим ограничениям на (∇, η):${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}}$

1. η - оператор, составляющий нормированное распределение вероятностей, которое не зависит от всех других случайных величин;
2. Произведение ∇ отображает распределение вероятностей двух переменных в распределение вероятностей одной переменной;
3. Копирование случайной величины в распределении η эквивалентно наличию двух независимых случайных величин в распределении η;
4. Получение произведения двух случайных величин и подготовка копии полученной случайной величины имеет то же распределение, что и подготовка копий каждой случайной величины независимо друг от друга и их попарное умножение.

Пара (∇, η), удовлетворяющая этим ограничениям, является оператором свертки

${\displaystyle \nabla {\bigl (}\mathbf {e} _{g}\otimes \mathbf {e} _{h}{\bigr )}=\mathbf {e} _{gh}\,,}$

снова распространяется на всех линейностью; это производит нормированное распределение вероятностей из распределения на двух случайных переменных, и имеет в качестве единицы дельта-распределение , где я  ∈  G обозначает единичный элемент группы G .${\displaystyle \mathbb {R} ^{G}\otimes \mathbb {R} ^{G}}$${\displaystyle \eta =\mathbf {e} _{i}\;,}$

Другие примеры [ править ]

Другие примеры биалгебр включают тензорную алгебру , которую можно превратить в биалгебру, добавив соответствующее коумножение и счетчик; они подробно рассматриваются в этой статье.

Биалгебры часто можно продолжить до алгебр Хопфа , если удастся найти подходящий антипод. Таким образом, все алгебры Хопфа являются примерами биалгебр. ^[3] Подобные структуры с разной совместимостью между произведением и коумножением или разными типами умножения и коумножения включают биалгебры Ли и алгебры Фробениуса . Дополнительные примеры приведены в статье о коалгебрах .

См. Также [ править ]

• Квазибиалгебра

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9.