В математике , коалгебры или cogebras представляют собой структура , которые являются двойными (в категории теоретико- смысле реверсивных стрелки ) на унитарные ассоциативные алгебры . В Аксиомы из унитальных ассоциативных алгебр могут быть сформулированы в терминах коммутативных диаграмм . Оборачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр. Каждая коалгебра в силу двойственности ( векторного пространства ) порождает алгебру, но не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обоих направлениях ( см. Ниже ).
Коалгебры естественным образом встречаются в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).
Есть также F-коалгебры , важные приложения в информатике .
Неформальное обсуждение [ править ]
Один часто повторяющийся пример коалгебр встречается в теории представлений и, в частности, в теории представлений группы вращений . Первоочередная задача, имеющая практическое применение в физике, - получение комбинаций систем с разными состояниями углового момента и спина . Для этого используются коэффициенты Клебша – Гордана . Для двух систем с угловыми моментами и особенно важной задачей является нахождение полного углового момента с учетом комбинированного состояния . Это обеспечивается оператором полного углового момента, который извлекает необходимое количество с каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение
Слово «внешний» здесь появляется в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра имеет тензорное произведение (внутреннее); он также может быть снабжен вторым тензорным произведением, «внешним», или копродуктом , имеющим форму выше. То, что это два разных произведения, подчеркивается напоминанием о том, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра представляет собой простое скалярное умножение. Внешний продукт разделяет их. В этом случае сопродуктом является карта
это требует
В этом примере можно принять одно из спиновых представлений группы вращений, причем основным представлением является выбор, основанный на здравом смысле. Это копроизведение можно поднять на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, которая применяется к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть расширен на всю алгебру. Подробно исследуя подъем, можно заметить, что сопродукт ведет себя как произведение перемешивания , в основном потому, что два вышеупомянутых фактора, левый и правый, должны храниться в последовательном порядке во время произведения нескольких угловых моментов (вращения не коммутативны).
Своеобразная форма появления только один раз в совместном произведении вместо (например) определения заключается в том, чтобы поддерживать линейность: для этого примера (и для теории представлений в целом) вторичный продукт должен быть линейным. Как правило, копроизведение в теории представлений приводимо; коэффициенты задаются правилом Литтлвуда – Ричардсона . (Правило Литтлвуда – Ричардсона передает ту же идею, что и коэффициенты Клебша – Гордана, но в более общем контексте).
Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный случай и его необходимые свойства в общем контексте.
Формальное определение [ править ]
Формально коалгебра над полем K - это векторное пространство C над K вместе с K- линейными отображениями ∆: C → C ⊗ C и ε: C → K такими, что
- .
(Здесь ⊗ означает тензорное произведение над K, а id - тождественная функция .)
Эквивалентно коммутируют следующие две диаграммы :
На первой диаграмме C ⊗ ( C ⊗ C ) отождествляется с ( C ⊗ C ) ⊗ C ; эти два естественно изоморфны . [1] Аналогичным образом во второй диаграмме отождествляются естественно изоморфные пространства C , C ⊗ K и K ⊗ C. [2]
Первая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей ассоциативность алгебры умножения (называемую коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма двойственна диаграмме, выражающей существование мультипликативного тождества . Соответственно, отображение Δ называется коумножение (или копроизведение ) из C и ε является коединица из C .
Примеры [ править ]
Возьмем произвольное множество S и сформируем K -векторное пространство C = K ( S ) с базисом S следующим образом. Элементами этого векторного пространства C являются те функции от S до K, которые переводят все элементы S, кроме конечного, в ноль; отождествить элемент s в S с функцией, которая отображает s в 1, а все остальные элементы S в 0. Определите
- Δ ( s ) = s ⊗ s и ε ( s ) = 1 для всех х в S .
По линейности, как Δ и ε может затем однозначно быть распространено на все C . Векторное пространство C становится коалгеброй с коумножением ∆ и коэлементом ε.
В качестве второго примера, рассмотрим кольцо многочленов K [ X ] в одном неопределенном X . Это становится коалгебра (The разделить мощности коалгебра [3] [4] ) , если для всех п ≥ 0 один определяет:
Опять же, из-за линейности этого достаточно, чтобы определить Δ и ε однозначно на всем K [ X ]. Теперь K [ X ] - это ассоциативная алгебра с единицей и коалгебра, и эти две структуры совместимы. Подобные объекты называются биалгебрами , и на самом деле большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.
Примеры коалгебр включают тензорную алгебру , внешнюю алгебру , алгебры Хопфа и биалгебры Ли . В отличие от полиномиального случая, приведенного выше, ни один из них не коммутативен. Следовательно, побочный продукт становится продуктом перемешивания , а не структурой деления мощности, приведенной выше. Произведение в случайном порядке подходит, потому что оно сохраняет порядок членов, появляющихся в произведении, как того требуют некоммутативные алгебры.
Сингулярные гомологии из топологического пространства образует градуированную коалгебру всякий раз , когда изоморфизм Кюннета имеет место, например , если коэффициенты берутся быть поле. [5]
Если С является К -векторному пространству с базисным { х , гр }, рассмотрит Δ: C → C ⊗ C задаются
- Δ ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s
- Δ ( c ) = c ⊗ c - s ⊗ s
а ε: C → K задается формулой
- ε ( s ) = 0
- ε ( c ) = 1
В этой ситуации ( C , Δ, ε) - коалгебра, известная как тригонометрическая коалгебра . [6] [7]
Для локально конечного ч.у.м. P с набором интервалов J определим коалгебру инцидентности C с J как базис и коумножение для x < z
Интервалы нулевой длины соответствуют точкам P и являются элементами группового типа. [8]
Конечные размеры [ править ]
В конечных измерениях двойственность между алгебрами и коалгебрами более близка: двойственный элемент конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебры является коалгеброй, а двойственный элемент конечномерной коалгебры является (унитальной ассоциативной) алгеброй. В общем случае двойственное к алгебре не может быть коалгеброй.
Ключевым моментом является то, что в конечных размерностях ( A ⊗ A ) ∗ и A ∗ ⊗ A ∗ изоморфны.
Чтобы различать их: в общем, алгебра и коалгебра являются двойственными понятиями (это означает, что их аксиомы двойственны: переверните стрелки), в то время как для конечных измерений они являются двойственными объектами (что означает, что коалгебра является двойственным объектом алгебры и наоборот) .
Если является конечно- мерной унитальной ассоциативная K - алгебра, то ее K -двойственный * , состоящая из всех K -линейных отображающей A до K является коалгеброй. Умножение A можно рассматривать как линейное отображение A ⊗ A → A , которое при дуализации дает линейное отображение A ∗ → ( A ⊗ A ) ∗ . В конечномерном случае ( A ⊗ A ) ∗естественно изоморфно A ∗ ⊗ A ∗ , поэтому это определяет коумножение на A ∗ . Счетчик A ∗ дается вычислением линейных функционалов в 1.
Обозначение Sweedler [ править ]
При работе с коалгебрами некоторые обозначения коумножения значительно упрощают формулы и стали довольно популярными. Для элемента c коалгебры ( C , ∆, ε) существуют элементы c (1) ( i ) и c (2) ( i ) в C такие, что
В обозначениях Sweedler в , [9] (названный так после того, как Мосс Суидлер ), это сокращенно
Тот факт, что ε является счетчиком, может быть выражен следующей формулой
Коассоциативность Δ может быть выражена как
В обозначениях Свидлера оба этих выражения записываются как
Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой бессистемной нотации Свидлера пишут
а также
Каждый раз, когда в выражении такого типа встречается переменная с пониженным индексом в скобках, подразумевается символ суммирования для этой переменной.
Дополнительные концепции и факты [ править ]
Коалгебра ( C , ∆, ε ) называется ко-коммутативной, если где σ: C ⊗ C → C ⊗ C - K- линейное отображение, определенное формулой σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c для всех c , d в C . В бессумной нотации Свидлера C ко-коммутативна тогда и только тогда, когда
для всех с в C . (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь имеет большое значение: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, только чтобы суммы были равны, что является гораздо более слабым требованием.)
Группы , как элемент (или набор-как элемент ) является элементом х таким образом, что Δ ( х ) = х ⊗ х и ε ( х ) = 1 . Вопреки тому, что это соглашение об именах предполагает, групповые элементы не всегда образуют группу, и в целом они только образуют набор. Групповые элементы алгебры Хопфа действительно образуют группу. Примитивный элемент представляет собой элемент х , удовлетворяющий Δ ( х ) = х ⊗ 1 + 1 ⊗ х . Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют алгебру Ли. [10] [11]
Если ( C 1 , Δ 1 , ε 1 ) и ( C 2 , Δ 2 , ε 2 ) - две коалгебры над одним и тем же полем K , то морфизм коалгебры из C 1 в C 2 является K -линейным отображением f : C 1 → C 2 такие, что и . В бессумной нотации Свидлера первое из этих свойств может быть записано как:
Состав два коалгебра морфизмов снова коалгебра морфизм, и коалгебры над K вместе с этим понятием морфизма образует категорию .
Линейное подпространство Я в С называется коидеал , если I ⊆ кег ( е ) и А ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I . В этом случае фактор-пространство C / I естественным образом становится коалгеброй.
Подпространство D в C называется подкоалгеброй, если ∆ ( D ) ⊆ D ⊗ D ; в этом случае D сама по себе является коалгеброй с ограничением ε на D как коучит.
Ядро каждого коалгебра морфизм F : С 1 → С 2 представляет собой коидеал в C 1 , и изображение является subcoalgebra из C 2 . Общие теоремы об изоморфизме верны для коалгебр, поэтому, например, C 1 / ker ( f ) изоморфна im ( f ).
Если A - конечномерная ассоциативная K -алгебра с единицей, то A ∗ - конечномерная коалгебра, и действительно, любая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно, из K -двойственной коалгебры ). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Итак, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр двойственны; изучение одного равносильно изучению другого. Однако в бесконечномерном случае отношения расходятся: в то время как K- двойник любой коалгебры является алгеброй, K-двойник бесконечномерной алгебры не обязательно должен быть коалгеброй.
Каждая коалгебра представляет собой сумму своих конечномерных подкоалгебр, что неверно для алгебр. Абстрактно коалгебры являются обобщениями или двойниками конечномерных ассоциативных алгебр с единицей.
Концепции представления алгебр соответствует корпредставление или комодуль .
См. Также [ править ]
- Коалгебра Cofree
- Измерение коалгебры
- Dialgebra
Ссылки [ править ]
- ^ Yokonuma (1992). Предложение 1.7 . п. 12.
- ^ Yokonuma (1992). Предложение 1.4 . п. 10.
- ^ Смотрите также Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001). Алгебры Хопфа: Введение . п. 3.
- ^ Смотрите также Raianu, Сербана. Коалгебры из формул, архивированных 29 мая2010 г. в Wayback Machine , стр. 2.
- ^ «Лекции для справки» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 24 февраля 2012 года . Проверено 31 октября 2008 .
- ^ Смотрите также Dăscălescu, Năstăsescu & Raianu (2001). Алгебры Хопфа: Введение . п. 4., и Дэскэлеску, Нэстэсеску и Райану (2001). Алгебры Хопфа: Введение . п. 55., Бывший. 1.1.5.
- ^ Райану, Сербан. Коалгебры из формул, архивированных 29 мая2010 г. в Wayback Machine , стр. 1.
- ↑ Монтгомери (1993) стр.61
- ↑ Андервуд (2011), стр.35
- ↑ Михалев Александр Васильевич; Pilz, Günter, eds. (2002). Краткий справочник по алгебре . Springer-Verlag . п. 307, С.42. ISBN 0792370724.
- ^ Abe, Eiichi (2004). Алгебры Хопфа . Кембриджские трактаты по математике. 74 . Издательство Кембриджского университета . п. 59. ISBN 0-521-60489-3.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Блок, Ричард Э .; Леру, Pierre (1985), "Обобщенные двойственные коалгебры алгебры, с приложениями к косвободным coalgebras", Журнал теоретической и прикладной алгебры , 36 (1): 15-21, doi : 10.1016 / 0022-4049 (85) 90060-X , ISSN 0022-4049 , MR 0782637 , Zbl 0556.16005
- Дэскэлеску, Сорин; Нэстэсеску, Константин; Райану, Щербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9, Zbl 0962,16026.
- Гомес-Торресильяс, Хосе (1998), «Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
- Хазевинкель, Михель (2003), "косвободные коалгебры и многомерная рекурсивность", Журнал теоретических и прикладная алгебра , 183 (1): 61-103, DOI : 10.1016 / S0022-4049 (03) 00013-6 , ISSN 0022-4049 , Руководство по ремонту 1992043 , Zbl 1048.16022
- Монтгомери, Сьюзен (1993), алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, 82 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0738-2, Zbl 0793,16029
- Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, Zbl 1234,16022
- Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра , Переводы математических монографий, 108 , Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4564-0, Zbl 0754,15028
- Глава III, раздел 11 в Bourbaki, Nicolas (1989). Алгебра . Springer-Verlag . ISBN 0-387-19373-1.
Внешние ссылки [ править ]
- Уильям Чин: Краткое введение в теорию представлений коалгебры