Коммутативная диаграмма

Коммутативная диаграмма, использованная в доказательстве леммы пяти .

В математике , и особенно в теории категорий , коммутативная диаграмма - это диаграмма , в которой все направленные пути в диаграмме с одинаковыми начальной и конечной точками приводят к одному и тому же результату. ^[1] Говорят, что коммутативные диаграммы играют роль в теории категорий, которую уравнения играют в алгебре (см. Barr & Wells (2002 , раздел 1.7)).

Описание [ править ]

Коммутативная диаграмма часто состоит из трех частей:

объекты (также известные как вершины )
морфизмы (также известные как стрелки или ребра )
дорожки или композиты

Символы стрелок [ править ]

В текстах по алгебре тип морфизма может обозначаться разными стрелками:

-Мономорфизм (инъективный гомоморфизм) может быть помечен с . ^[2] ${\ displaystyle \ hookrightarrow}$
Эпиморфизм (сюръективный гомоморфизм) может быть помечен с . ${\ displaystyle \ twoheadrightarrow}$
Изоморфизм (биективен гомоморфизм) может быть помечен с . ${\ Displaystyle {\ overset {\ sim} {\ rightarrow}}}$
Пунктирная стрелка обычно представляет утверждение о том, что указанный морфизм существует (если остальная часть диаграммы верна); стрелка может быть дополнительно помечена как . ${\ Displaystyle \ существует}$
- Если морфизм к тому же уникален, то пунктирная стрелка может быть помечена или . ${\ displaystyle!}$ ${\ displaystyle \ существует!}$

Проверка коммутативности [ править ]

Коммутативность имеет смысл для многоугольника с любым конечным числом сторон (включая только 1 или 2), а диаграмма коммутативна, если каждая многоугольная поддиаграмма коммутативна.

Обратите внимание, что диаграмма может быть некоммутативной, т. Е. Композиция различных путей на диаграмме может не давать одинаковый результат.

Фразы [ править ]

Можно использовать такие фразы, как «эта коммутативная диаграмма» или «диаграмма коммутирует» ^[2] .

Примеры [ править ]

На левой диаграмме, которая выражает первую теорему об изоморфизме , коммутативность треугольника означает, что . На правой диаграмме коммутативность среднего квадрата . ${\ displaystyle f = {\ тильда {f}} \ circ \ pi}$ $h\circ f=k\circ g$

Чтобы диаграмма, приведенная ниже, коммутировала, должны быть выполнены три равенства:

$r\circ h\circ g=H\circ G\circ l$
$m\circ g=G\circ l$
$r\circ h=H\circ m$

Здесь, поскольку первое равенство следует из двух последних, достаточно показать, что (2) и (3) верны, чтобы диаграмма коммутировала. Однако, поскольку равенство (3) обычно не следует из двух других, обычно недостаточно иметь только равенства (1) и (2), если нужно показать, что диаграмма коммутирует.

Погоня за диаграммой [ править ]

Диаграммный поиск (также называемый диаграммным поиском ) - это метод математического доказательства, особенно используемый в гомологической алгебре , где каждый устанавливает свойство некоторого морфизма, отслеживая элементы коммутативной диаграммы. ^[3] Доказательство с помощью поиска диаграммы обычно включает формальное использование свойств диаграммы, таких как инъективные или сюръективные карты или точные последовательности . ^[4] силлогизмпостроен, для которого графическое отображение диаграммы является просто наглядным пособием. Отсюда следует, что в конечном итоге мы «гоняемся» за элементами на диаграмме, пока не будет построен или проверен желаемый элемент или результат.

Примеры доказательств по диаграмме чеканки включают те , которые, как правило , даны для пять леммы , в змеиной лемму , на зиг-заг лемму , и девять леммы .

В теории высших категорий [ править ]

В теории высших категорий рассматриваются не только объекты и стрелки, но и стрелки между стрелками, стрелки между стрелками между стрелками и т. Д. До бесконечности . Например, категория малых категорий Cat , естественно, является 2-категорией, с функторами в качестве стрелок и естественными преобразованиями в качестве стрелок между функторами. В этих условиях, коммутативные диаграммы могут включать в себя эти более высокие стрелы , а также, которые часто изображены в следующем стиле: . Например, следующая (несколько тривиальная) диаграмма изображает две категории C и D вместе с двумя функторами F , G : C → D $\Rightarrow$ и естественное преобразование α : F ⇒ G :

Есть два типа композиции в 2-й категории (называемые вертикальной композицией и горизонтальной композицией ), и они также могут быть изображены посредством вставки диаграмм (см. Примеры в разделе « Определение 2-категории» ).

Диаграммы как функторы [ править ]

Коммутативную диаграмму в категории C можно интерпретировать как функтор из индексной категории J в C; функтор называют диаграммой .

Более формально, коммутативная диаграмма - это визуализация диаграммы, индексированной по определенной категории . Такая диаграмма обычно включает:

узел для каждого объекта в категории индекса,
стрелка для порождающего набора морфизмов (исключая тождественные карты и морфизмы, которые могут быть выражены как композиции),
коммутативность диаграммы (равенство различных составов карт между двумя объектами), соответствующая уникальности карты между двумя объектами в категории poset.

И наоборот, учитывая коммутативную диаграмму, она определяет категорию poset, где:

объекты - это узлы,
существует морфизм между любыми двумя объектами тогда и только тогда, когда между узлами существует (направленный) путь,
с тем отношением, что этот морфизм уникален (любая композиция отображений определяется своей областью и целью: это аксиома коммутативности).

Однако не всякая диаграмма коммутирует (понятие диаграммы строго обобщает коммутативную диаграмму). В качестве простого примера: диаграмма одного объекта с эндоморфизмом ( ) или с двумя параллельными стрелками ( то есть , иногда называемая свободным колчаном ), которая используется в определении эквалайзера, не должна коммутировать. Кроме того, диаграммы могут быть беспорядочными или невозможными для рисования, когда количество объектов или морфизмов велико (или даже бесконечно). $f\colon X\to X$ $\bullet \rightrightarrows \bullet$ $f,g\colon X\to Y$

См. Также [ править ]

Математическая диаграмма

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. "Коммутативная диаграмма" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .
^ a b «Математика - Теория категорий - Стрелка - Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 .
^ «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - погоня» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 25 ноября 2019 .
^ Вайсштейн, Эрик В. "Погоня за диаграммой" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .

Библиография [ править ]

Адамек, Иржи; Хорст Херрлих; Джордж Э. Стрекер (1990), абстрактные и конкретные категории (PDF) , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-60922-6 Теперь доступна бесплатная онлайн-версия (4,2 МБ PDF).
Барр, Майкл ; Уэллс, Чарльз (2002), Toposes, Triples and Theories (PDF) , ISBN 0-387-96115-1Пересмотренная и исправленная бесплатная онлайн-версия Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).

Внешние ссылки [ править ]

Погоня за диаграммами в MathWorld
WildCats - это пакет теории категорий для Mathematica . Манипуляция и визуализация объектов, морфизмов , категорий, функторов , естественных преобразований .

[1] Вайсштейн, Эрик В. "Коммутативная диаграмма" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .

[:0-2] «Математика - Теория категорий - Стрелка - Мартин Бейкер» . www.euclideanspace.com . Проверено 25 ноября 2019 .

[3] «Окончательный глоссарий высшего математического жаргона - погоня» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 25 ноября 2019 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. "Погоня за диаграммой" . mathworld.wolfram.com . Проверено 25 ноября 2019 .

[1]