Теоремы об изоморфизме

В математике , особенно в абстрактной алгебре , теоремы об изоморфизме (также известные как теоремы Нётер об изоморфизме ) представляют собой теоремы, которые описывают отношения между частными , гомоморфизмами и подобъектами . Существуют версии теорем для групп , колец , векторных пространств , модулей , алгебр Ли и различных других алгебраических структур . В универсальной алгебре теоремы об изоморфизме могут быть обобщены на контекст алгебр исравнения .

История [ править ]

Теоремы об изоморфизме были сформулированы в некоторой общности для гомоморфизмов модулей Эмми Нётер в ее статье Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , которая была опубликована в 1927 году в Mathematische Annalen . Менее общие версии этих теорем можно найти в работе Ричарда Дедекинда и предыдущих статьях Нётер.

Три года спустя, Б. Л. ван дер Вардена опубликовал свою влиятельную алгебру, первый абстрактную алгебру учебник , который устранял группу - кольца - поля подхода к предмету. Ван дер Варден использовал лекции Нётер по теории групп и Эмиля Артина по алгебре, а также семинар по идеалам, проведенный Артином, Вильгельмом Блашке , Отто Шрайером и самим ван дер Варденом по идеалам в качестве основных источников. Три теоремы об изоморфизме, называемые теоремой о гомоморфизме , и два закона изоморфизма при применении к группам отображаются явно.

Группы [ править ]

Сначала приведем теоремы об изоморфизме групп .

Примечание к номерам и именам [ править ]

Ниже мы представляем четыре теоремы, обозначенные A, B, C и D. Они часто нумеруются как «Первая теорема об изоморфизме», «Вторая ...» и так далее; однако единого мнения о нумерации нет. Здесь мы приводим некоторые примеры теорем об изоморфизме групп (обратите внимание, что эти теоремы имеют аналоги для колец и модулей.) В литературе:

Реже включать теорему D, обычно известную как « решеточная теорема » или «теорема соответствия», в одну из теорем об изоморфизме, но когда они это делают, это последняя.

Формулировка теорем [ править ]

Теорема A (группы) [ править ]

Пусть G и H - группы, а φ :  G  →  H - гомоморфизм . Затем:

1. Ядро из ф является нормальной подгруппой в G ,
2. Изображения из ф является подгруппой из H , и
3. Образ ф является изоморфно к фактор - группы G  / кег ( φ ).

В частности, если φ является сюръективны , то Н изоморфна G  / кег ( ф ).

Теорема B (группы) [ править ]

Позвольте быть группой. Позвольте быть подгруппой , и пусть быть нормальной подгруппой . Тогда имеет место следующее:${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. Продукт является подгруппой ,${\displaystyle SN}$${\displaystyle G}$
2. Пересечения является нормальной подгруппой , и${\displaystyle S\cap N}$${\displaystyle S}$
3. Фактор-группы и изоморфны.${\displaystyle (SN)/N}$${\displaystyle S/(S\cap N)}$

Технически, это не является необходимым для быть нормальной подгруппой, пока является подгруппой нормализатора из в . В этом случае пересечение не является нормальной подгруппой группы .${\displaystyle N}$${\displaystyle S}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S\cap N}$${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$

Эту теорему иногда называют «теоремой об изоморфизме» ^[8], «теоремой алмаза» ^[10] или «теоремой о параллелограмме». ^[11]

Применение второй теоремы об изоморфизме определяет проективные линейные группы : например, группа на комплексной проективной прямой начинается с установки , группа обратимых комплексных матриц 2 × 2, подгруппа матриц определителя 1 и нормальная подгруппа скалярных матрицы , мы имеем , где - единичная матрица, и . Тогда вторая теорема об изоморфизме утверждает, что:${\displaystyle G=GL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle S=SL_{2}(\mathbb {C} )}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }\!I=\left\{{\bigl (}{\begin{smallmatrix}a&0\\0&a\end{smallmatrix}}{\bigr )}:a\in \mathbb {C} ^{\times }\right\}}$${\displaystyle S\cap N=\{\pm I\}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle SN=GL_{2}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle PGL_{2}(\mathbb {C} ):=GL_{2}(\mathbb {C} )/(\mathbb {C} ^{\times }\!I)\cong SL_{2}(\mathbb {C} )/\{\pm I\}=:PSL_{2}(\mathbb {C} )}$

Теорема C (группы) [ править ]

Позвольте быть группа, и нормальная подгруппа . Затем${\displaystyle G}$${\displaystyle N}$${\displaystyle G}$

1. Если является подгруппой таких что , то имеет подгруппу, изоморфную .${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
2. Каждая подгруппа имеет вид для некоторой подгруппы из таких , что .${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
3. Если является нормальной подгруппой, такой что , то имеет нормальную подгруппу, изоморфную .${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$
4. Каждая нормальная подгруппа имеет вид , для некоторой нормальной подгруппы из таких , что .${\displaystyle G/N}$${\displaystyle K/N}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$
5. Если - нормальная подгруппа такой, что , то фактор-группа изоморфна .${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle N\subseteq K\subseteq G}$${\displaystyle (G/N)/(K/N)}$${\displaystyle G/K}$

Теорема D (группы) [ править ]

Теорема о соответствии (также известная как теорема о решетке) иногда называют третьей или четвертой теоремой об изоморфизме.

Цассенхауз лемма (также известный как бабочки лемма) иногда называют теоремой четвертого изоморфизма. ^{[ необходима цитата ]}

Обсуждение [ править ]

Первую теорему об изоморфизме можно выразить на языке теории категорий , сказав, что категория групп является (нормальной эпи, моно) -факторизуемой; другими словами, нормальные эпиморфизмы и мономорфизмы образуют систему факторизации для категории. Это отражено в коммутативной диаграмме на полях, где показаны объекты и морфизмы, существование которых можно вывести из морфизма . Диаграмма показывает, что каждый морфизм в категории групп имеет ядро в теоретико-категориальном смысле; произвольный морфизм f разлагается в , где ι${\displaystyle f:G\rightarrow H}$${\displaystyle \iota \circ \pi }$- мономорфизм, π - эпиморфизм (в конормальной категории все эпиморфизмы нормальны). Это представлено на диаграмме объектом и мономорфизмом (ядра всегда являются мономорфизмами), которые завершают короткую точную последовательность, идущую от нижнего левого угла до верхнего правого угла диаграммы. Использование соглашения о точной последовательности избавляет нас от необходимости рисовать нулевые морфизмы от до и .${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle \kappa :\ker f\rightarrow G}$${\displaystyle \ker f}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G/\ker f}$

Если последовательность расщепляется справа (т. Е. Существует морфизм σ, который отображается в π -прообраз самой себя), то G является полупрямым произведением нормальной подгруппы и подгруппы . Если левый раскол (т.е. существует некоторая такая , что ), то оно также должно быть право раскола, и является прямым продуктом разложения G . В общем, наличие правого расщепления не означает существования левого расщепления; но в абелевой категории (такой как абелевы группы) левое и правое расщепления эквивалентны лемме о расщеплении${\displaystyle G/\ker f}$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa }$${\displaystyle \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle \rho :G\rightarrow \ker f}$${\displaystyle \rho \circ \kappa =\operatorname {id} _{\ker f}}$${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \times \operatorname {im} \sigma }$, и правого разбиения достаточно, чтобы произвести разложение прямой суммы . В абелевой категории все мономорфизмы также нормальны, и диаграмма может быть расширена второй короткой точной последовательностью .${\displaystyle \operatorname {im} \kappa \oplus \operatorname {im} \sigma }$${\displaystyle 0\rightarrow G/\ker f\rightarrow H\rightarrow \operatorname {coker} f\rightarrow 0}$

Во второй теореме изоморфизма, продукт С.Н. является присоединиться к из S и N в решетке подгрупп из G , а пересечение S  ∩  N является встречаются .

Третья теорема об изоморфизме обобщается с помощью девяти лемм на абелевы категории и более общие отображения между объектами.

Кольца [ править ]

Формулировки теорем для колец аналогичны, с заменой понятия нормальной подгруппы понятием идеала .

Теорема A (кольца) [ править ]

Пусть R и S - кольца, а φ :  R  →  S - гомоморфизм колец . Затем:

1. Ядро из ф является идеалом R ,
2. Изображения из ф является Подкольцо из S , и
3. Образ φ изоморфен факторкольцу R  / ker ( φ ).

В частности, если φ является сюръективны , то S изоморфна R  / кег ( ф ).

Теорема B (кольца) [ править ]

Пусть R - кольцо. Пусть S подкольцо R , и пусть я идеал в R . Затем:

1. Сумма S  +  I  = { s  +  i  | s  ∈  S ,  i  ∈  I } - подкольцо в R ,
2. Пересечение S  ∩  I является идеалом S , и
3. Факторкольца ( S  +  I ) /  I и S  / ( S  ∩  I ) изоморфны.

Теорема C (кольца) [ править ]

Пусть R некоторое кольцо, и я идеал R . Затем

1. Если является подкольцом такого что , то является подкольцом .${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R/I}$
2. Каждое подкольцо имеет вида , для некоторых подколец из таких , что .${\displaystyle R/I}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq A\subseteq R}$
3. Если идеал такой , то идеал .${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle R/I}$
4. Каждый идеал имеет вид для некоторого идеала из таких , что .${\displaystyle R/I}$${\displaystyle J/I}$${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$
5. Если - идеал такого , что факторкольцо изоморфно .${\displaystyle J}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq J\subseteq R}$${\displaystyle (R/I)/(J/I)}$${\displaystyle R/J}$

Теорема D (кольца) [ править ]

Позвольте быть идеалом . Переписка является включение сохранение взаимно однозначное соответствие между множеством подкольцах из , которые содержат и множество подкольцах . Кроме того, (содержащее подкольцо ) является идеалом того и только тогда, когда является идеалом . ^[12]${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R/I}$${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle A/I}$${\displaystyle R/I}$

Модули [ править ]

Утверждения теорем об изоморфизме для модулей особенно просты, поскольку из любого подмодуля можно образовать фактор-модуль . Теоремы об изоморфизме векторных пространств (модулей над полем) и абелевых групп (модулей над полем ) являются их частными случаями. Для конечномерных векторных пространств все эти теоремы следуют из теоремы ранга – нули .${\displaystyle \mathbb {Z} }$

В дальнейшем, «модуль» будет означать « R - модуль» для некоторого фиксированного кольца R .

Теорема A (модули) [ править ]

Пусть M и N - модули, а φ :  M  →  N - гомоморфизм модулей . Затем:

1. Ядро из ф есть подмодуль М ,
2. Изображения из ф есть подмодуль N , и
3. Образ φ изоморфен фактор-модулю M  / ker ( φ ).

В частности, если φ сюръективен, то N изоморфен M  / ker ( φ ).

Теорема B (модули) [ править ]

Пусть М будет модуль, и пусть S и T подмодули М . Затем:

1. Сумма S  +  T  = { s  +  t  | s  ∈  S ,  t  ∈  T } - подмодуль M ,
2. Пересечение S  ∩  T является подмодулем в M , и
3. Фактормодули ( S  +  T ) /  T и S  / ( S  ∩  T ) изоморфны.

Теорема C (модули) [ править ]

Пусть М будет модуль, Т подмодуль М .

1. Если это подмодуль такой , то является подмодулем .${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle M/T}$
2. Каждый подмодуль имеет вид , для некоторого подмодуля из таких , что .${\displaystyle M/T}$${\displaystyle S/T}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$
3. Если является подмодулем такого, что , то фактор-модуль изоморфен .${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T\subseteq S\subseteq M}$${\displaystyle (M/T)/(S/T)}$${\displaystyle M/S}$

Теорема D (модули) [ править ]

Позвольте быть модуль, подмодуль . Существует взаимно однозначное соответствие между подмодулями, которые содержат, и подмодулями . Соответствие дано для всех . Это соответствие коммутирует с процессами принятия сумм и пересечений (т.е. является решеткой изоморфизма между решеткой подмодулей и решеткой подмодулей , которые содержат ). ^[13]${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle A\leftrightarrow A/N}$${\displaystyle A\supseteq N}$${\displaystyle M/N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$

Универсальная алгебра [ править ]

Чтобы обобщить это на универсальную алгебру , нормальные подгруппы необходимо заменить отношениями конгруэнтности .

Конгруэнции на алгебре является отношением эквивалентности , которое образует подалгебру рассматривать как алгебры с покомпонентными операциями. Можно превратить множество классов эквивалентности в алгебру того же типа, определяя операции через представителей; это будет корректно определено, поскольку является подалгеброй в . Полученная структура - фактор-алгебра .${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi \subseteq A\times A}$${\displaystyle A\times A}$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A\times A}$

Теорема A (универсальная алгебра) [ править ]

Позвольте быть гомоморфизм алгебры . Тогда образом является подалгеброй , соотношение задается (то есть ядро из ) является конгруенцией , а алгебры и изоморфны. (Обратите внимание, что в случае группы, тогда и только тогда , восстанавливается понятие ядра, используемое в теории групп в этом случае.)${\displaystyle f:A\rightarrow B}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \ A/\Phi \ }$${\displaystyle \operatorname {im} f}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle f\left(xy^{-1}\right)=1}$

Теорема B (универсальная алгебра) [ править ]

Учитывая алгебру , подалгебру в и конгруэнтность на , пусть будет след в и совокупность классов эквивалентности , которые пересекаются . Затем${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle \Phi _{B}}$является конгруэнцией ,${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle \ [B]^{\Phi }}$является подалгеброй , а${\displaystyle A/\Phi }$
3. алгебра изоморфна алгебре .${\displaystyle [B]^{\Phi }}$${\displaystyle B/\Phi _{B}}$

Теорема C (универсальная алгебра) [ править ]

Позвольте быть алгебра и два отношения сравнения на таких, что . Тогда является конгруэнцией на и изоморфна .${\displaystyle A}$${\displaystyle \Phi ,\Psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \Psi \subseteq \Phi }$${\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}}$${\displaystyle A/\Psi }$${\displaystyle A/\Phi }$${\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi )}$

Теорема D (универсальная алгебра) [ править ]

Позвольте быть алгеброй и обозначить множество всех конгруэнций на . Набор представляет собой полную решетку, упорядоченную по включению. ^[14] Если является конгруэнцией, и мы обозначаем через множество всех конгруэнций, которые содержат (т.е. является главным фильтром в , более того, это подрешетка), то отображение является решеточным изоморфизмом. ^{[15] [16]}${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]}$${\displaystyle \operatorname {Con} A}$${\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi }$

Примечание [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эмми Нётер , Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern , Mathematische Annalen 96 (1927) стр. 26–61
• Колин Макларти , "Теоретическая топология множеств Эмми Нётер: от Дедекинда до появления функторов". Архитектура современной математики: очерки истории и философии (под редакцией Джереми Грея и Хосе Феррейроса), Oxford University Press (2006), стр. 211–35.
• Джейкобсон, Натан (2009), Основная алгебра , 1 (2-е изд.), Довер, ISBN 9780486471891
• Пол М. Кон, Универсальная алгебра , Глава II.3 с. 57
• Милн, Джеймс С. (2013), Теория групп , 3.13
• van der Waerden, BI (1994), Algebra , 1 (9-е изд.), Springer-Verlag
• Даммит, Дэвид С .; Фут, Ричард М. (2004). Абстрактная алгебра . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Беррис, Стэнли; Санкаппанавар, HP (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
• WR Скотт (1964), Теория групп , Прентис Холл
• Джон Р. Дурбин (2009). Современная алгебра: введение (6 -е изд.). Вайли. ISBN 978-0-470-38443-5.
• Энтони В. Кнапп (2016), Основы алгебры (цифровое второе изд.)
• Пьер Антуан Грийе (2007), Абстрактная алгебра (2-е изд.), Springer
• Джозеф Дж. Ротман (2003), Advanced Modern Algebra (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN 0130878685