Отношение конгруэнтности

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В абстрактной алгебре , А отношение конгруэнтности (или просто конгруэнтность ) представляет собой отношение эквивалентности на алгебраической структуру (такие , как группы , кольцо или векторного пространство ), которая совместима со структурой в том смысле , что алгебраические операции , проведенные с эквивалентными элементами будут давать эквивалентные элементы. ^[1] Каждое отношение конгруэнтности имеет соответствующую фактор- структуру, элементы которой являются классами эквивалентности (или классами конгруэнции ) для отношения. ^[2]

Базовый пример [ править ]

Прототипическим примером отношения сравнения является сравнение по модулю${\ displaystyle n}$ на множестве целых чисел . Для данного положительного целого числа два целых числа и называются конгруэнтными по модулю , записываются${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle а \ эквив б {\ pmod {п}}}$

если это делится на (или , что эквивалентно , если и имеют одинаковый остаток при делении на ).${\ displaystyle ab}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle n}$

Например, и конгруэнтны по модулю ,${\ displaystyle 37}$${\ displaystyle 57}$${\ displaystyle 10}$

${\ Displaystyle 37 \ Equ 57 {\ pmod {10}}}$

поскольку кратно 10, или, что то же самое, поскольку оба и имеют остаток при делении на .${\ displaystyle 37-57 = -20}$${\ displaystyle 37}$${\ displaystyle 57}$${\ displaystyle 7}$${\ displaystyle 10}$

Конгруэнтность по модулю (для фиксированного ) совместима как с сложением, так и с умножением целых чисел. То есть,${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

если

${\ Displaystyle а_ {1} \ эквив а_ {2} {\ pmod {п}}}$ и ${\ Displaystyle B_ {1} \ Equiv B_ {2} {\ pmod {n}}}$

тогда

${\ Displaystyle a_ {1} + b_ {1} \ Equiv a_ {2} + b_ {2} {\ pmod {n}}}$ и ${\ displaystyle a_ {1} b_ {1} \ Equiv a_ {2} b_ {2} {\ pmod {n}}}$

Соответствующее сложение и умножение классов эквивалентности известно как модульная арифметика . С точки зрения абстрактной алгебры, сравнение по модулю является отношением сравнения на кольце целых чисел, а арифметика по модулю возникает на соответствующем фактор-кольце .${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Определение [ править ]

Определение сравнения зависит от типа рассматриваемой алгебраической структуры . Конгруэнтность может быть определена для групп , колец , векторных пространств , модулей , полугрупп , решеток и т. Д. Общая тема является то , что сравнением является отношение эквивалентности на алгебраическом объекте , который совместит с алгебраической структурой, в том смысле , что операции являются четко определенными на классах эквивалентности .

Например, группа - это алгебраический объект, состоящий из набора вместе с одной бинарной операцией , удовлетворяющий определенным аксиомам. Если - группа с операцией , отношение конгруэнтности на - это отношение эквивалентности на элементах, удовлетворяющих${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ ast}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Equiv}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle г_ {1} \ эквив г_ {2} \ \ \,}$ и ${\ Displaystyle \ \ \, h_ {1} \ Equiv h_ {2} \ подразумевает g_ {1} \ ast h_ {1} \ Equiv g_ {2} \ ast h_ {2}}$

для всех , , , . Для сравнения на группе класс эквивалентности, содержащий единичный элемент , всегда является нормальной подгруппой , а другие классы эквивалентности являются смежными классами этой подгруппы. Вместе эти классы эквивалентности являются элементами фактор-группы .${\ displaystyle g_ {1}}$${\ displaystyle g_ {2}}$${\ displaystyle h_ {1}}$${\ displaystyle h_ {2} \ in G}$

Когда алгебраическая структура включает более одной операции, отношения конгруэнтности должны быть совместимы с каждой операцией. Например, кольцо обладает как сложением, так и умножением, а отношение конгруэнтности на кольце должно удовлетворять

${\displaystyle r_{1}+s_{1}\equiv r_{2}+s_{2}{\text{ and }}r_{1}s_{1}\equiv r_{2}s_{2}}$

когда угодно . Для сравнения на кольце класс эквивалентности, содержащий 0, всегда является двусторонним идеалом , и две операции на множестве классов эквивалентности определяют соответствующее фактор-кольцо.${\displaystyle r_{1}\equiv r_{2}{\text{ and }}s_{1}\equiv s_{2}}$

Общее понятие отношения конгруэнтности можно дать формальное определение в контексте универсальной алгебры , области, которая изучает идеи, общие для всех алгебраических структур . В этом случае отношение конгруэнтности - это отношение эквивалентности на алгебраической структуре, удовлетворяющее${\displaystyle \equiv }$

${\displaystyle \mu \left(a_{1}{\text{, }}a_{2}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}\right)\equiv \mu \left(a_{1}'{\text{, }}a_{2}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}'\right)}$

для каждой -арной операции и всех таких элементов , что для каждого${\displaystyle n}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a_{1}{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}{\text{, }}a_{1}'{\text{, }}\ldots {}{\text{, }}a_{n}'}$${\displaystyle a_{i}\equiv a_{i}'}$${\displaystyle i=1,...,n.}$

Связь с гомоморфизмами [ править ]

Если это гомоморфизм между двумя алгебраическими структурами (например, гомоморфизм групп или линейное отображение между векторными пространствами ), то отношение, определяемое формулой${\displaystyle f:A\,\rightarrow B}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle a_{1}\,R\,a_{2}}$ если и только если ${\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)}$

является отношением конгруэнтности. По первой теореме изоморфизма , то образ из A Under является подструктура B изоморфны фактору А по этой конгруэнции.${\displaystyle f}$

Конгруэнции групп, нормальные подгруппы и идеалы [ править ]

В частном случае групп отношения конгруэнции могут быть описаны в элементарных терминах следующим образом: если G - группа (с единичным элементом e и операцией *) и ~ - бинарное отношение на G , то ~ - конгруэнция всякий раз, когда:

1. Для любого элемента а из G , а ~ а ( рефлексивность );
2. Для любых элементов a и b группы G , если a ~ b , то b ~ a ( симметрия );
3. Для любых элементов a , b и c группы G , если a ~ b и b ~ c , то a ~ c ( транзитивность );
4. Для любых элементов a , a ' , b и b' группы G , если a ~ a ' и b ~ b' , то a * b ~ a ' * b' ;
5. Для любых элементов a и a ' группы G , если a ~ a' , то a ⁻¹ ~ a ' ⁻¹ (это действительно может быть доказано с помощью других четырех, так что это строго избыточно).

Условия 1, 2 и 3 говорят, что ~ - отношение эквивалентности .

Конгруэнция ~ полностью определяется набором { a ∈ G  : a ~ e } тех элементов группы G , которые конгруэнтны единичному элементу, и это множество является нормальной подгруппой . В частности, a ~ b тогда и только тогда, когда b ⁻¹ * a ~ e . Поэтому вместо того, чтобы говорить о совпадениях в группах, люди обычно говорят в терминах их нормальных подгрупп; на самом деле, каждая конгруэнтность однозначно соответствует некоторой нормальной подгруппе G .

Идеалы колец и общий случай [ править ]

Подобный прием позволяет говорить об ядрах в теории колец как об идеалах вместо отношений конгруэнтности, а в теории модулей - как о подмодулях вместо отношений конгруэнтности.

Более общая ситуация, в которой возможен этот трюк, - это омега-группы (в общем смысле, допускающие операторы с множественной арностью). Но это невозможно сделать, например, с моноидами , поэтому изучение соотношений конгруэнтности играет более центральную роль в теории моноидов .

Универсальная алгебра [ править ]

Идея обобщается в универсальной алгебре : Конгруэнция отношение на алгебре А есть подмножество в прямом произведении × A , который является одновременно отношение эквивалентности на А и подалгебра в A × A .

Ядро из гомоморфизма всегда конгруэнция. Действительно, каждое сравнение возникает как ядро. Для данной конгруэнции ~ на А множеству классов эквивалентности А / ~ можно естественным образом дать структуру алгебры - фактор-алгебру . Функция, отображающая каждый элемент A в его класс эквивалентности, является гомоморфизмом, и ядром этого гомоморфизма является ~.

Решетка Con ( ) всех отношений конгруэнтности на алгебре A является алгебраической .

Джон М. Хауи описал, как теория полугрупп иллюстрирует отношения конгруэнтности в универсальной алгебре:

В группе конгруэнтность определяется, если мы знаем единственный класс конгруэнции, в частности, если мы знаем нормальную подгруппу, которая является классом, содержащим единицу. Точно так же в кольце конгруэнция определяется, если мы знаем идеал, который является классом конгруэнции, содержащим нуль. В полугруппах нет такого удачного случая, и поэтому мы сталкиваемся с необходимостью изучения конгруэнций как таковых. Больше, чем что-либо другое, именно эта необходимость придает теории полугрупп характерный оттенок. По сути, полугруппы - это первый и самый простой тип алгебры, к которому должны применяться методы универсальной алгебры… ^[3]

См. Также [ править ]

• Таблица сравнений
• Теорема о линейном сравнении
• Решетка сравнения

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Хорн и Джонсон, Матричный анализ, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (В разделе 4.5 обсуждается конгруэнтность матриц.)
• Розен, Кеннет Х (2012). Дискретная математика и ее приложения . McGraw-Hill Education. ISBN 978-0077418939.