В математике , А делитель целого числа , Также называемый фактор из, является целым числом которое можно умножить на некоторое целое число, чтобы получить . В этом случае также говорят, чтоявляется кратным из Целое число это делится на другое целое число если является делителем ; это подразумевает разделение от не оставляет остатка.
Определение
Целое число делится на ненулевое целое число если существует целое число такой, что . Это записывается как
Другие способы сказать то же самое: разделяет , является делителем , фактор , а также кратно . Если m не делит n , то обозначение. [1] [2]
Обычно требуется, чтобы m было ненулевым, но допускается, чтобы n было равно нулю. С этим соглашением,для любого ненулевого целого m . [1] [2] В некоторых определениях опускается требование, чтобыбыть ненулевым. [3]
Общий
Делители могут быть как отрицательными, так и положительными, хотя иногда термин ограничивается положительными делителями. Например, есть шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).
1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, называются нечетными .
1, −1, n и - n известны как тривиальные делители числа n . Дивизор числа n, который не является тривиальным делителем, известен как нетривиальный дивизор (или строгий дивизор [4] ). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы -1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.
Существуют правила делимости, которые позволяют отличать определенные делители числа от цифр числа.
Примеры
- 7 делится на 42, потому что , так что мы можем сказать . Кроме того , можно сказать , что 42 делится на 7, 42 является кратным 7, 7 делит 42, или 7 является фактором 42.
- Нетривиальные делители числа 6 равны 2, −2, 3, −3.
- Положительные делители 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- Множество всех положительных делителей 60,, частично упорядоченный по делимости, имеет диаграмму Хассе :
Дополнительные понятия и факты
Вот несколько элементарных правил:
- Если а также , тогда , т.е. делимость - это переходное отношение .
- Если а также , тогда или же .
- Если а также , тогда держится, как и . [5] Однако, если а также , тогда это не всегда имеет место (например , а также но 5 не делит 6).
Если , и gcd, тогда . Это называется леммой Евклида .
Если простое число и тогда или же .
Положительный делитель который отличается от называется собственный делитель иликратны из. Число, которое не делится равномерно но оставляет остаток иногда называют некратная часть из.
Целое число единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Точно так же простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных множителя: 1 и само себя.
Любой положительный делитель является произведением простых делителей числавозведен в некоторую мощность. Это следствие основной теоремы арифметики .
Число называется совершенным, если он равен сумме своих собственных делителей, несовершенным, если сумма его собственных делителей меньше, чем, и обильные, если эта сумма превышает.
Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , что означает, что когда два числа а также являются взаимно простыми , то. Например,; восемь делителей 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако число положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа а также имеют общий делитель, то может быть неправда, что . Сумма положительных делителей это еще одна мультипликативная функция (например ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .
Если простые множители из дан кем-то
то количество положительных делителей числа является
и каждый из делителей имеет вид
где для каждого
Для каждого натурального , .
Также [6]
где - постоянная Эйлера – Маскерони . Одна интерпретация этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около. Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим числом» делителей .
В абстрактной алгебре
Теория колец
Решетка деления
В определениях, которые включают 0, отношение делимости превращает множество из неотрицательных целых чисел в виде частично упорядоченное множество : в полную дистрибутивную решетку . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший - 1. Операция встречи ∧ задается наибольшим общим делителем, а операция соединения ∨ - наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойной из решетки подгрупп бесконечной циклической группы .
Смотрите также
- Арифметические функции
- Алгоритм Евклида
- Дробь (математика)
- Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей для 1–1000
- Таблица простых множителей - таблица простых множителей для 1–1000
- Унитарный делитель
Заметки
- ^ a b Харди и Райт 1960 , стр. 1
- ^ a b Нивен, Цукерман и Монтгомери 1991 , стр. 4
- Перейти ↑ Durbin 2009 , p. 57, Глава III Раздел 10
- ^ Фокусировать и Dedukti к спасению для Proof Interoperability Рафаэля Cauderlier и Екатерины Дюбуа
- ^ . По аналогии,
- ^ Харди и Райт 1960 , стр. 264, теорема 320
Рекомендации
- Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: введение (6-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0470-38443-5.
- Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд), Springer Verlag , 2004 г. ISBN 0-387-20860-7 ; раздел Б.
- Харди, GH ; Райт, EM (1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
- Херштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С .; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-62546-9.
- Ойстейн Оре , Теория чисел и ее история, McGraw – Hill, NY, 1944 (и оттиски Dover).
- Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9