Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чтобы узнать о фильме 2012 года, см. Perfect Number (фильм) .
Иллюстрация идеального числа, статус числа 6

В теории чисел , совершенное число является положительным целым числом , которое равно сумме своих положительных делителей , за исключением самого числа. Например, 6 имеет делители 1, 2 и 3 (исключая себя), а 1 + 2 + 3 = 6, поэтому 6 - идеальное число.

Сумма делителей числа, исключая само число, называется его аликвотной суммой , поэтому совершенное число - это число, равное его аликвотной сумме. Точно так же совершенное число - это число, равное половине суммы всех его положительных делителей, включая само себя; в символах σ 1 ( n ) = 2 n, где σ 1 - функция суммы делителей . Например, 28 идеально подходит как 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56 = 2 × 28.

Это древнее определение появилось еще в « Элементах » Евклида (VII.22), где оно называется τέλειος ἀριθμός ( совершенное , идеальное или полное число ). Евклид также доказал правило формации (IX.36), согласно которому является четным совершенным числом всякий раз, когда простое число имеет форму простого числа - то, что теперь называется простым числом Мерсенна . Два тысячелетия спустя Эйлер доказал, что все даже совершенные числа имеют такую ​​форму. [1] Это известно как теорема Евклида – Эйлера .

Неизвестно, существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа и существует ли бесконечно много совершенных чисел. Первые несколько совершенных чисел - 6 , 28 , 496 и 8128 (последовательность A000396 в OEIS ).

История [ править ]

Примерно за 300 г. до н.э. Евклид показал, что если 2 p  - 1 простое, то 2 p −1 (2 p  - 1) совершенно. Первые четыре совершенных числа были единственными, известными раннегреческой математике , и математик Никомах отметил 8128 еще примерно в 100 году нашей эры. [2] На современном языке Никомах утверждает без доказательства, что каждое совершенное число имеет форму, где - простое число. . [3] [4] Кажется, он не знает, что nсам должен быть простым. Он также говорит (ошибочно), что идеальные числа поочередно заканчиваются на 6 или 8. (Первые 5 совершенных чисел оканчиваются цифрами 6, 8, 6, 8, 6; но шестое также заканчивается цифрами 6.) Филон Александрийский в своей книге «О сотворении мира» первого века упоминает совершенные числа, утверждая, что мир был создан за 6 дней, а Луна вращается по орбите за 28 дней, потому что 6 и 28 - идеальные. Филон сопровождается Оригена , [5] и Дидима Слепого , который добавляет замечание , что есть только четыре совершенные числа, которые меньше , чем 10000. (Комментарий к Бытию 1. 14-19). [6] Святой Августин определяет идеальные числа в Городе Божьем.(Книга XI, Глава 30) в начале 5-го века нашей эры, повторяя утверждение, что Бог создал мир за 6 дней, потому что 6 - наименьшее совершенное число. Египетский математик Исмаил ибн Фаллус (1194–1252) упомянул следующие три совершенных числа (33 550 336, 8 589 869 056 и 137 438 691 328) и перечислил еще несколько, которые, как теперь известно, неверны. [7] Первое известное европейское упоминание о пятом совершенном числе - это рукопись, написанная между 1456 и 1461 годами неизвестным математиком. [8] В 1588 году итальянский математик Пьетро Катальди определил шестое (8 589 869 056) и седьмое (137 438 691 328) совершенных чисел, а также доказал, что каждое совершенное число, полученное по правилу Евклида, заканчивается на 6 или 8. [9] [10 ] ][11]

Даже идеальные числа [ править ]

См. Также: Теорема Евклида – Эйлера
Нерешенная задача по математике :

Бесконечно много совершенных чисел?

(больше нерешенных задач по математике)

Евклид доказал, что 2 p −1 (2 p  - 1) - четное совершенное число, если 2 p  - 1 простое число (Elements, Prop. IX.36).

Например, первые четыре совершенных числа генерируются по формуле 2 p −1 (2 p  - 1), где p - простое число , следующим образом:

для p = 2: 2 1 (2 2  - 1) = 2 × 3 = 6
для p = 3: 2 2 (2 3  - 1) = 4 × 7 = 28
для p = 5: 2 4 (2 5  - 1) = 16 × 31 = 496
для p = 7: 2 6 (2 7  - 1) = 64 × 127 = 8128.

Простые числа в форме 2 p  - 1 известны как простые числа Мерсенна в честь монаха семнадцатого века Марина Мерсенна , который изучал теорию чисел и совершенные числа. Чтобы число 2 p  - 1 было простым, необходимо, чтобы само число p было простым. Однако не все числа вида 2 p  - 1 с простым p простые; например, 2 11  - 1 = 2047 = 23 × 89 не является простым числом. [12] На самом деле, простые числа Мерсенна очень редки - из 2 610 944 простых чисел p до 43 112 609 , [13] 2 p - 1 является простым только для 47 из них.

Хотя Никомах утверждал (без доказательства), что все совершенные числа имеют форму, где есть простое число (хотя он сформулировал это несколько иначе), Ибн аль-Хайтам (Альхазен) около 1000 г. н.э. предположил только, что каждое четное совершенное число имеет такую форму. [14] Лишь в 18 веке Леонард Эйлер доказал, что формула 2 p −1 (2 p  - 1) дает все четные совершенные числа. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствиемежду четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна; каждое простое число Мерсенна порождает одно четное совершенное число, и наоборот. Этот результат часто называют теоремой Евклида – Эйлера .

Исчерпывающий поиск в рамках проекта распределенных вычислений GIMPS показал, что первые 47 четных совершенных чисел равны 2 p −1 (2 p  - 1) для

р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 и 43112609 (последовательность A000043 в OEIS ). [15]

Также были обнаружены четыре высших совершенных числа, а именно те, для которых p = 57885161, 74207281, 77232917 и 82589933, хотя в этом диапазоне могут быть и другие. По состоянию на декабрь 2018 года известно 51 простое число Мерсенна [16] и, следовательно, 51 четное совершенное число (наибольшее из которых составляет 2 82589932 × (2 82589933  - 1) с 49 724 095 цифрами). Это не известно , есть ли бесконечно много чисел совершенные, не существует ли бесконечно много простых чисел Мерсенна.

Помимо формы 2 p −1 (2 p  - 1), каждое четное совершенное число является (2 p  - 1) -м треугольным числом (и, следовательно, равно сумме целых чисел от 1 до 2 p  - 1 ). и 2 p −1- е гексагональное число . Кроме того, каждое совершенное четное число, кроме 6, является ((2 p  + 1) / 3) -м центрированным неагональным числом и равно сумме первых 2 ( p −1) / 2 нечетных кубов:

Даже совершенные числа (кроме 6) имеют вид

с каждым полученным треугольным числом T 7 = 28 , T 31 = 496 , T 127 = 8128 (после вычитания 1 из совершенного числа и деления результата на 9), заканчивающегося на 3 или 5, последовательность, начинающаяся с T 2 = 3 , T 10 = 55 , T 42 = 903, T 2730 = 3727815, ... [17] Это можно переформулировать следующим образом: сложение цифр любого четного совершенного числа (кроме 6), затем сложение цифр полученного числа и повторяя этот процесс, пока не появится одна цифра (называемая цифровым корнем) всегда дает число 1. Например, цифровой корень 8128 равен 1, потому что 8 + 1 + 2 + 8 = 19, 1 + 9 = 10 и 1 + 0 = 1. Это работает со всеми идеальными числа 2 p −1 (2 p  - 1) с нечетным простым p и, фактически, со всеми числами вида 2 m −1 (2 m  - 1) для нечетного целого (не обязательно простого) m .

Благодаря своей форме 2 p −1 (2 p  - 1) каждое четное совершенное число представляется в двоичной форме как p единиц, за которыми следуют  p  - 1 нули; Например,

6 10 = 2 2 + 2 1 = 110 2 ,
28 10 = 2 4 + 2 3 + 2 2 = 11100 2 ,
496 10 = 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 4 = 111110000 2 , и
8128 10 = 2 12 + 2 11 + 2 10 + 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 = 1111111000000 2 .

Таким образом, каждое четное совершенное число - пагубное число .

Каждое четное совершенное число также является практическим числом (см. Связанные понятия ).

Нечетные идеальные числа [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Есть ли идеальные нечетные числа?

(больше нерешенных задач по математике)

Неизвестно, существует ли какое-нибудь нечетное совершенное число, хотя были получены разные результаты. В 1496 году Жак Лефевр заявил, что правило Евклида дает все совершенные числа [18], таким образом подразумевая, что не существует нечетных совершенных чисел. Эйлер заявил: «Существуют ли какие-нибудь нечетные совершенные числа - это самый трудный вопрос». [19] Совсем недавно Карл Померанс представил эвристический аргумент, предполагающий, что на самом деле не должно существовать нечетного совершенного числа. [20] Все совершенные числа также являются гармоническими числами Оре , и было высказано предположение, что не существует нечетных гармонических чисел Оре, кроме 1.

Любое нечетное совершенное число N должно удовлетворять следующим условиям:

  • N > 10 1500 . [21]
  • N не делится на 105. [22]
  • N имеет форму N ≡ 1 (мод. 12), N 117 (мод. 468) или N ≡ 81 (мод. 324). [23]
  • N имеет вид
куда:
  • q ,  p 1 , ...,  p k - различные простые числа (Эйлера).
  • q ≡ α ≡ 1 ( mod 4) (Эйлер).
  • Наименьший простой делитель числа N меньше (2 k  + 8) / 3. [24]
  • Либо q α  > 10 62 , либо p j 2 e j  > 10 62 для некоторого j . [21]
  • [25] [26]
  • . [27] [28]
  • . [29]
  • Наибольший простой делитель N больше 10 8 [30] и меньше [31].
  • Второй по величине простой множитель больше 10 4 и меньше . [32] [33]
  • Третий по величине простой фактор больше 100. [34]
  • N имеет не менее 101 простого делителя и не менее 10 различных простых множителей. [21] [35] Если 3 не является одним из делителей N , то N имеет не менее 12 различных простых делителей. [36]

Кроме того, известно несколько второстепенных результатов, касающихся показателей e 1 , ...,  e k в

  • Не все e i  ≡ 1 ( mod 3). [37]
  • Не все e i  ≡ 2 ( mod 5). [38]
  • Если все e i  ≡ 1 ( mod 3) или 2 ( mod 5), то наименьший простой множитель N должен находиться между 10 8 и 10 1000 . [38]
  • В более общем плане , если все 2 е я + 1 имеют простой множитель в заданном конечном множестве S , то наименьшее простое фактор N должно быть меньше , чем эффективно вычислимой константой , зависящей только от S . [38]
  • Если ( e 1 , ...,  e k ) = (1, ..., 1, 2, ..., 2) с t единицами и u двойками, то . [39]
  • ( e 1 , ...,  e k ) ≠ (1, ..., 1, 3), [40] (1, ..., 1, 5), (1, ..., 1, 6) . [41]
  • Если e 1 = ... = e k = e , то
    • e не может быть 3, [42] 5, 24, [43] 6, 8, 11, 14 или 18. [41]
    • и . [44]

В 1888 году Сильвестр заявил: [45]

... длительное размышление на эту тему убедило меня в том, что существование любого такого [нечетного совершенного числа] - его выход, так сказать, из сложной сети условий, сужающих его со всех сторон, - было бы немного недолгим. чуда.

Многие из доказанных свойств нечетных совершенных чисел также применимы к подделке нечетных совершенных чисел , и Пейс Нильсен предположил, что достаточное изучение этих чисел может привести к доказательству того, что нечетных совершенных чисел не существует. [46]

Незначительные результаты [ править ]

Все даже совершенные числа имеют очень точную форму; нечетные совершенные числа либо не существуют, либо встречаются редко. Есть ряд результатов об идеальных числах, которые на самом деле довольно легко доказать, но, тем не менее, внешне они впечатляют; некоторые из них попадают под Ричард Гай «s сильный закон малых чисел :

  • Единственное четное совершенное число в форме x 3  + 1 - 28 ( Маковски, 1962 ). [47]
  • 28 также является единственным четным совершенным числом, которое представляет собой сумму двух положительных кубов целых чисел ( Gallardo 2010 ). [48]
  • Сумма, обратная делителям совершенного числа N, должна составлять 2 (чтобы получить это, возьмите определение совершенного числа и разделите обе части на n ):
    • Для 6 у нас есть ;
    • Для 28 у нас есть и т. Д.
  • Количество делителей совершенного числа (четного или нечетного) должно быть четным, потому что N не может быть полным квадратом. [49]
    • Из этих двух результатов следует, что каждое совершенное число является гармоническим числом Оре .
  • Четные совершенные числа не являются числами трапециевидной формы ; то есть они не могут быть представлены как разность двух положительных непоследовательных треугольных чисел . Существует только три типа нетрапецеидальных чисел: четные совершенные числа, степени двойки и числа в форме, образованные как произведение простого числа Ферма и степени двойки аналогично построению четных совершенных чисел из Простые числа Мерсенна. [50]
  • Количество совершенных чисел меньше n меньше чем , где c > 0 - константа. [51] На самом деле это так , если использовать краткие обозначения . [52]
  • Каждое четное совершенное число оканчивается на 6 или 28 с основанием десять; и, за единственным исключением 6, оканчивается на 1, основание 9. [53] [54] Поэтому, в частности, цифровой корень каждого четного совершенного числа, кроме 6, равен 1.
  • Единственное совершенное число без квадратов - 6. [55]

Понятия, связанные с данным [ править ]

Эйлер диаграмма из обильных , примитивных обильных , весьма обильных , обильных , колоссально обильных , высоко композитных , превосходящих высоко композитных , странных и совершенных чисел под 100 в связи с дефицитом и составных числами

Сумма собственных делителей дает различные другие типы чисел. Числа, у которых сумма меньше самого числа, называются неполными , а где больше числа - избыточными . Эти термины, вместе с самим совершенным , пришли из греческой нумерологии . Пары чисел, которые являются суммой собственных делителей друг друга, называются дружественными , а большие циклы чисел называются общительными . Положительное целое число, такое, что каждое меньшее положительное целое число является суммой различных делителей, является практическим числом .

По определению, совершенное число является фиксированной точкой из ограничен делителя функции , сек ( п ) = σ ( п ) - п , а последовательность Аликвоты , связанная с совершенным числом является последовательностью постоянной. Все совершенные числа также являются совершенными числами или числами Гранвиля .

Полусовершенный номер представляет собой натуральное число, равное сумме всех или некоторых из его делителей. Полусовершенное число, равное сумме всех своих собственных делителей, является совершенным числом. Наиболее распространенные числа также полусовершенны; многочисленные числа, которые не являются полусовершенными, называются странными числами .

См. Также [ править ]

  • Сверхсовершенное число
  • Leinster group
  • Список идеальных чисел
  • Умножить идеальное число
  • Суперсовершенные числа

Примечания [ править ]

  1. ^ Колдуэлл, Крис, «Доказательство того, что все даже совершенные числа являются степенью двойки простого Мерсенна» .
  2. ^ Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги. п. 4.
  3. ^ "Совершенные числа" . www-groups.dcs.st-and.ac.uk . Проверено 9 мая 2018 .
  4. ^ Во введении в арифметику , глава 16, он говорит о совершенных числах: «Существует метод их получения, аккуратный и надежный, который не проходит мимо ни одного из совершенных чисел и не позволяет дифференцировать ни одно из тех, которые не являются таковыми, которые осуществляется следующим образом ". Затем он продолжает объяснять процедуру, которая эквивалентна нахождению треугольного числа на основе простого числа Мерсенна.
  5. ^ Комментарий к Евангелию от Иоанна 28.1.1-4, с дальнейшими ссылками на источники Chrétiennes издания: об. 385, 58–61.
  6. ^ http://torreys.org/sblpapers2015/S22-05_philonic_arithmological_exegesis.pdf
  7. ^ Рошди Рашед, Развитие арабской математики: Между Арифметика и алгебра (Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994), стр 328-329..
  8. ^ Bayerische Staatsbibliothek , Clm 14908. См Дэвид Юджин Смит (1925). История математики: Том II . Нью-Йорк: Дувр. п. 21. ISBN 0-486-20430-8.
  9. ^ Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги. п. 10.
  10. ^ Пиковер, С (2001). Чудеса чисел: приключения в математике, разуме и значении . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 360. ISBN 0-19-515799-0.
  11. ^ Петерсон, я (2002). Математические пути: от сюрреалистических чисел до волшебных кругов . Вашингтон: Математическая ассоциация Америки. п. 132. ISBN 88-8358-537-2.
  12. ^ Все множители 2 p  - 1 совпадают с 1 mod 2 p . Например, 2 11  - 1 = 2047 = 23 × 89, и 23 и 89 дают остаток 1 при делении на 11. Кроме того, когда p является простым числом Софи Жермен, то есть 2 p  + 1 также простое число, и 2 p  + 1 конгруэнтно 1 или 7 mod 8, тогда 2 p  + 1 будет множителем 2 p  - 1, что верно для p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251, ... OEIS :  A002515 .
  13. ^ "Количество простых чисел <= 43112609" . Вольфрам Альфа . Проверено 28 октября 2018 .
  14. ^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хайтам» , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  15. ^ Отчет о вехах GIMPS . Проверено 27 февраля 2018 г.
  16. ^ "GIMPS Home" . Mersenne.org . Проверено 21 декабря 2018 .
  17. ^ Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число» . MathWorld .
  18. ^ Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги. п. 6.
  19. ^ http://www.math.harvard.edu/~knill/seminars/perfect/handout.pdf
  20. ^ Oddperfect.org . Архивировано 29 декабря 2006 года в Wayback Machine.
  21. ^ a b c Очем, Паскаль; Рао, Михаэль (2012). «Нечетные совершенные числа больше 10 1500 » (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1869–1877. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2012-02563-4 . ISSN 0025-5718 . Zbl 1263.11005 .   
  22. ^ Кюнель, Ульрих (1950). "Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen". Mathematische Zeitschrift (на немецком языке). 52 : 202–211. DOI : 10.1007 / BF02230691 .
  23. Перейти ↑ Roberts, T (2008). «О форме нечетного совершенного числа» (PDF) . Австралийский математический вестник . 35 (4): 244.
  24. Перейти ↑ Grün, O (1952). "Über ungerade vollkommene Zahlen". Mathematische Zeitschrift . 55 (3): 353–354. DOI : 10.1007 / BF01181133 .
  25. ^ Чен, Юн-Гао; Тан, Цуй-Э (2014). «Улучшены верхние границы для нечетных мультисовершенных чисел». Бюллетень Австралийского математического общества . 89 (3): 353–359.
  26. Перейти ↑ Nielsen, PP (2003). «Верхняя граница нечетных совершенных чисел» . Целые числа . 3 : A14 – A22. Архивировано из оригинального 21 февраля 2003 года . Проверено 30 марта 2011 года .
  27. ↑ Зелинский, Джошуа (25 мая 2018 г.). «Улучшение неравенства Очема и Рао относительно нечетных совершенных чисел» . Целые числа . 18 . arXiv : 1706.07009 . Bibcode : 2017arXiv170607009Z . Проверено 23 мая 2018 .
  28. ^ Очем, Паскаль; Рао, Михаэль (2014). «О количестве простых делителей нечетного совершенного числа» . Математика вычислений . 83 (289): 2435–2439. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2013-02776-7 .
  29. ^ Померанс, Карл; Лука, Флориан (2010). «О радикале совершенного числа» . Нью-Йоркский математический журнал . 16 : 23–30 . Проверено 7 декабря 2018 .
  30. ^ Гото, Т; Оно, Y (2008). «Нечетные совершенные числа имеют простой множитель, превышающий 10 8 » (PDF) . Математика вычислений . 77 (263): 1859–1868. Bibcode : 2008MaCom..77.1859G . DOI : 10.1090 / S0025-5718-08-02050-9 . Проверено 30 марта 2011 года .
  31. ^ Конягин Сергей; Акваа, Питер (2012). «О простых факторах нечетных совершенных чисел». Международный журнал теории чисел . 8 (6): 1537–1540. DOI : 10.1142 / S1793042112500935 .
  32. ↑ Зелинский, Джошуа (июль 2019). «Верхние оценки второго по величине простого множителя нечетного совершенного числа». Международный журнал теории чисел . 15 (6): 1183–1189. arXiv : 1810.11734 . DOI : 10.1142 / S1793042119500659 ..
  33. ^ Iannucci, DE (1999). «Второй по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает десять тысяч» (PDF) . Математика вычислений . 68 (228): 1749–1760. Bibcode : 1999MaCom..68.1749I . DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01126-6 . Проверено 30 марта 2011 года .
  34. ^ Iannucci, DE (2000). «Третий по величине простой делитель нечетного совершенного числа превышает сотню» (PDF) . Математика вычислений . 69 (230): 867–879. Bibcode : 2000MaCom..69..867I . DOI : 10.1090 / S0025-5718-99-01127-8 . Проверено 30 марта 2011 года .
  35. Перейти ↑ Nielsen, PP (2015). «Нечетные совершенные числа, диофантовы уравнения и оценки сверху» (PDF) . Математика вычислений . 84 (295): 2549–2567. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2015-02941-X . Дата обращения 13 августа 2015 .
  36. Перейти ↑ Nielsen, PP (2007). «Нечетные совершенные числа имеют по крайней мере девять различных простых множителей» (PDF) . Математика вычислений . 76 (260): 2109–2126. arXiv : math / 0602485 . Bibcode : 2007MaCom..76.2109N . DOI : 10.1090 / S0025-5718-07-01990-4 . Проверено 30 марта 2011 года .
  37. ^ Макдэниел, Уэйн Л. (1970). «Отсутствие нечетных совершенных чисел определенной формы». Archiv der Mathematik . 21 (1): 52–53. DOI : 10.1007 / BF01220877 . ISSN 1420-8938 . Руководство по ремонту 0258723 .  
  38. ^ a b c Флетчер, С. Адам; Nielsen, Pace P .; Очем, Паскаль (2012). «Методы сита для нечетных совершенных чисел» (PDF) . Математика вычислений . 81 (279): 1753–1776. DOI : 10.1090 / S0025-5718-2011-02576-7 . ISSN 0025-5718 . Руководство по ремонту 2904601 .   
  39. ^ Коэн, GL (1987). «О наибольшей составляющей нечетного совершенного числа» . Журнал австралийского математического общества серии A . 42 (2): 280–286. DOI : 10.1017 / S1446788700028251 . ISSN 1446-8107 . Руководство по ремонту 0869751 .  
  40. ^ Канольд, Ханс-Иоахим (1950). "Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre Anwendungen auf einige zahlentheoretisehe Probleme. II". Журнал für die reine und angewandte Mathematik . 188 (1): 129–146. DOI : 10,1515 / crll.1950.188.129 . ISSN 1435-5345 . Руководство по ремонту 0044579 .  
  41. ^ a b Коэн, GL; Уильямс, RJ (1985). «Расширения некоторых результатов, касающихся нечетных совершенных чисел» (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 23 (1): 70–76. ISSN 0015-0517 . Руководство по ремонту 0786364 .   
  42. ^ Хагис, Питер младший; Макдэниел, Уэйн Л. (1972). «Новый результат о структуре нечетных совершенных чисел» . Труды Американского математического общества . 32 (1): 13–15. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1972-0292740-5 . ISSN 1088-6826 . Руководство по ремонту 0292740 .  
  43. ^ Макдэниел, Уэйн Л .; Хагис, Питер младший (1975). «Некоторые результаты об отсутствии нечетных совершенных чисел вида » (PDF) . Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 13 (1): 25–28. ISSN 0015-0517 . Руководство по ремонту 0354538 . p α M 2 β {\displaystyle p^{\alpha }M^{2\beta }}   
  44. ↑ Ямада, Томохиро (2019). «Новая верхняя оценка нечетных совершенных чисел особого вида». Colloquium Mathematicum . 156 (1): 15–21. arXiv : 1706.09341 . DOI : 10.4064 / cm7339-3-2018 . ISSN 1730-6302 . 
  45. ^ Собрание математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра стр. 590, тр. из "Sur les nombres dits de Hamilton", Compte Rendu de l'Association Française (Тулуза, 1887 г.), стр. 164–168.
  46. ^ Nadis, Стив (10 сентября 2020). «Математики открывают новый фронт в решении древней числовой проблемы» . Журнал Quanta . Дата обращения 10 сентября 2020 .
  47. ^ Маковски, А. (1962). «Замечание о совершенных числах». Elem. Математика . 17 (5): 109.
  48. ^ Галлардо, Луис Х. (2010). «По замечанию Маковского о совершенных числах» . Elem. Математика . 65 : 121–126. DOI : 10,4171 / EM / 149 ..
  49. ^ Ян, Сонг Ю. (2012), Вычислительная теория чисел и современная криптография , John Wiley & Sons, раздел 2.3, упражнение 2 (6), ISBN 9781118188613.
  50. ^ Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999). «Характеризуя нетрапециевидные числа». Математический вестник . Математическая ассоциация. 83 (497): 262–263. DOI : 10.2307 / 3619053 . JSTOR 3619053 . 
  51. ^ Hornfeck, В (1955). "Zur Dichte der Menge der vollkommenen zahlen". Arch. Математика . 6 (6): 442–443. DOI : 10.1007 / BF01901120 .
  52. ^ Kanold, HJ (1956). "Eine Bemerkung ¨uber die Menge der vollkommenen zahlen". Математика. Энн . 131 (4): 390–392. DOI : 10.1007 / BF01350108 .
  53. ^ Х. Новарезе. Обратите внимание на парфюмерные номера Texeira J. VIII (1886), 11–16.
  54. ^ Диксон, LE (1919). История теории чисел, Vol. Я . Вашингтон: Вашингтонский институт Карнеги. п. 25.
  55. ^ Редмонд, Дон (1996). Теория чисел: введение в чистую и прикладную математику . Чепмен и Холл / CRC Чистая и прикладная математика. 201 . CRC Press. Задача 7.4.11, п. 428. ISBN 9780824796969..

Ссылки [ править ]

  • Евклид, Элементы , Книга IX, Предложение 36. См . Веб-сайт Д. Е. Джойса для перевода и обсуждения этого предложения и его доказательства.
  • Канольд, Х.-Дж. (1941). "Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen". Журнал für die Reine und Angewandte Mathematik . 183 : 98–109.
  • Steuerwald, R. "Verschärfung einer notwendigen Bedingung für die Existenz einer ungeraden vollkommenen Zahl". С.-Б. Байер. Акад. Wiss . 1937 : 69–72.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Нанкар, М.Л.: "История совершенных чисел", Ганита Бхарати 1, вып. 1–2 (1979), 7–8.
  • Хагис, П. (1973). «Нижняя граница для набора нечетных совершенных простых чисел» . Математика вычислений . 27 (124): 951–953. DOI : 10.2307 / 2005530 . JSTOR  2005530 .
  • Риле, Х. Дж. Дж. «Совершенные числа и кратные последовательности» в HW Lenstra и R. Tijdeman (ред.): Computational Methods in Number Theory , Vol. 154, Амстердам, 1982, стр. 141–157.
  • Ризель, Х. Простые числа и компьютерные методы факторизации , Биркхаузер , 1985.
  • Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II . Дордрехт: Kluwer Academic. стр.  15 -98. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

  • «Совершенное число» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • Дэвид Моус: Идеальные, дружелюбные и общительные числа
  • Совершенные числа - история и теория
  • Вайсштейн, Эрик В. «Идеальное число» . MathWorld .
  • Последовательность OEIS A000396 (Совершенные числа)
  • OddPerfect.org Проектируемый проект распределенных вычислений для поиска нечетных совершенных чисел.
  • Большой поиск в Интернете Мерсенн Прайм (GIMPS)
  • Perfect Numbers , математический форум в Drexel.
  • Граймс, Джеймс. «8128: Совершенные числа» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2013-05-31 . Проверено 2 апреля 2013 .