Мерсенн прайм

Мерсенн прайм
Названный в честь	Марин Мерсенн
Количество известных терминов	51
Предполагаемый нет. условий	Бесконечный
подпоследовательности из	Числа Мерсенна
Первые триместры	3 , 7 , 31 , 127 , 8191
Самый большой известный термин	2 ^82,589,933 - 1 (7 декабря 2018 г.)
Индекс OEIS	A000668 Простые числа Мерсенна (формы 2 ^ p - 1, где p - простое число)

В математике , А Мерсенна является простым числом , то есть один меньше , чем степень два . То есть это простое число вида $M n = 2 n - 1$ для некоторого целого $n$ . Они названы в честь Марина Мерсенна , французского монаха-миним , изучавшего их в начале 17 века. Если $п$ является составным числом , то так $2 п - 1$ . Следовательно, эквивалентное определение простых чисел Мерсенна состоит в том, что они являются простыми числами вида $M p = 2 p - 1$ для некоторого простого $p$ .

Показатели степени $n,$ которые дают простые числа Мерсенна, равны 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, ... (последовательность A000043 в OEIS ), а результирующие простые числа Мерсенна равны 3 , 7 , 31 , 127 , 8191, 131071, 524287, 2147483647 , ... (последовательность A000668 в OEIS ).

Числа вида $M n = 2 n - 1$ без требования простоты могут называться числами Мерсенна . Иногда, однако, к числам Мерсенна добавляется дополнительное требование, чтобы $n$ было простым. Наименьшее составное число Мерсенна с простым показателем n равно 2 ¹¹ - 1 = 2047 = 23 × 89 .

Простые числа Мерсенна изучались в древности из-за их тесной связи с совершенными числами : теорема Евклида – Эйлера утверждает взаимно однозначное соответствие между четными совершенными числами и простыми числами Мерсенна. Многие из самых больших известных простых чисел являются простыми числами Мерсенна, потому что числа Мерсенна легче проверить на простоту.

По состоянию на октябрь 2020 ^[ref]года известно 51 простое число Мерсенна. Самым крупным известным простым числом , 2 ^82589933 - 1 , является простым Мерсенна. ^[1] С 1997 года все вновь обретенной простые числа Мерсенна были обнаружены Большой Интернет Мерсенна Поиск , в распределенной вычислительной проекта. В декабре 2020 года важная веха в проекте была пройдена после того, как все экспоненты ниже 100 миллионов были проверены хотя бы один раз. ^[2]

О простых числах Мерсенна [ править ]

Нерешенная задача по математике :

Бесконечно много простых чисел Мерсенна?

(больше нерешенных задач по математике)

Многие фундаментальные вопросы о простых числах Мерсенна остаются нерешенными. Неизвестно даже, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна. Гипотеза Ленстры – Померанса – Вагстаффа утверждает, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и предсказывает порядок их роста . Также неизвестно, являются ли составными бесконечно много чисел Мерсенна с простыми показателями , хотя это следует из широко распространенных гипотез о простых числах, например, бесконечности простых чисел Софи Жермен, конгруэнтных 3 ( mod 4 ). Для этих простых чисел $р$ , $2 р + 1$ (который также является первичным) , будет делить $М р$ , например, $23 | M 11$ , $47 | M 23$ , $167 | M 83$ , $263 | M 131$ , $359 | M 179$ , $383 | M 191$ , $479 | M 239$ и $503 | M 251$ (последовательность A002515 в OEIS ). Так как для этих простых чисел $р$ , $2 р + 1$ сравнимо с 7 по модулю 8, так что 2 представляет собой квадратичный вычет мод $2 р + 1$ , а мультипликативный порядок 2 по модулю $2 p + 1$ должен делить = $p$ . Поскольку $p$ простое число, оно должно быть $p$ или 1. Однако оно не может быть 1, поскольку 1 не имеет простых делителей , поэтому оно должно быть $p$ . Следовательно, $2$ $p$ $+ 1$ делится и не может быть простым. ${\frac {(2p+1)-1}{2}}$ $\Phi _{1}(2)=1$ $\Phi _{p}(2)=2^{p}-1$ $2^{p}-1=M_{p}$

Первые четыре простых числа Мерсенна - это $M 2 = 3$ , $M 3 = 7$ , $M 5 = 31$ и $M 7 = 127,$ и, поскольку первое простое число Мерсенна начинается с $M 2$ , все простые числа Мерсенна конгруэнтны 3 (mod 4). За исключением $M 0 = 0$ и $M 1 = 1$ , все другие числа Мерсенна также совпадают с 3 (mod 4). Следовательно, при простой факторизации числа Мерсенна ( $\geq M 2$ ) должен быть хотя бы один простой множитель, конгруэнтный 3 (mod 4).

Основная теорема о числах Мерсенна утверждает, что если $M p$ простое, то показатель $p$ также должен быть простым. Это следует из тождества

{\begin{aligned}2^{ab}-1&=(2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\cdots +2^{(b-1)a}\right)\\&=(2^{b}-1)\cdot \left(1+2^{b}+2^{2b}+2^{3b}+\cdots +2^{(a-1)b}\right).\end{aligned}}

Это исключает простоту чисел Мерсенна с составным показателем, например $M 4 = 2 4 - 1 = 15 = 3 \times 5 = (2 2 - 1) \times (1 + 2 2)$ .

Хотя приведенные выше примеры могут предполагать, что $M p$ является простым для всех простых чисел $p$ , это не так, и наименьший контрпример - это число Мерсенна.

М 11 = 2 11 - 1 = 2047 = 23 \times 89

.

Имеющиеся данные свидетельствуют о том, что случайно выбранное число Мерсенна с гораздо большей вероятностью будет простым, чем произвольно выбранное случайным образом нечетное целое число аналогичного размера. ^[3] Тем не менее, простые значения $M p, по-$ видимому, становятся все более редкими $с$ увеличением $p$ . Например, восемь из первых 11 простых чисел $p$ дают начало простому числу Мерсенна $M p$ (правильные члены в исходном списке Мерсенна), тогда как $M p$ является простым только для 43 из первых двух миллионов простых чисел (до 32 452 843).

Отсутствие какого-либо простого теста для определения того, является ли данное число Мерсенна простым, делает поиск простых чисел Мерсенна сложной задачей, поскольку числа Мерсенна растут очень быстро. Тест на простоту Лукаса – Лемера (LLT) - это эффективный тест на простоту, который значительно помогает в решении этой задачи, значительно упрощая проверку простоты чисел Мерсенна по сравнению с большинством других чисел того же размера. Поиск самого большого из известных простых чисел стал чем-то вроде культа . Следовательно, много компьютерных мощностей было затрачено на поиск новых простых чисел Мерсенна, большая часть которых теперь выполняется с использованием распределенных вычислений .

Арифметика по модулю числа Мерсенна особенно эффективна на двоичном компьютере , что делает их популярным выбором, когда требуется простой модуль, например, генератор случайных чисел Парка – Миллера . Чтобы найти примитивный многочлен порядка чисел Мерсенна, необходимо знать факторизацию этого числа, поэтому простые числа Мерсенна позволяют находить примитивные многочлены очень высокого порядка. Такие примитивные трехчлены используются в генераторах псевдослучайных чисел с очень большими периодами, таких как твистер Мерсенна , обобщенный регистр сдвига и генераторы Фибоначчи с задержкой .

Совершенные числа [ править ]

Простые числа Мерсенна $M p$ тесно связаны с совершенными числами . В 4 веке до нашей эры Евклид доказал, что если $2 p - 1$ простое число, то $2 p - 1 (2 p - 1$ ) - совершенное число. В 18 веке Леонард Эйлер доказал, что, наоборот, все четные совершенные числа имеют такую форму. ^[4] Это известно как теорема Евклида – Эйлера . Неизвестно, существуют ли совершенные нечетные числа .

История [ править ]

2	3	5	7	11	13	17	19
23	29	31 год	37	41 год	43	47	53
59	61	67	71	73	79	83	89
97	101	103	107	109	113	127	131
137	139	149	151	157	163	167	173
179	181	191	193	197	199	211	223
227	229	233	239	241	251	257	263
269	271	277	281	283	293	307	311
Первые 64 простых показателя степени, соответствующие простым числам Мерсенна, заштрихованы голубым и жирным шрифтом, а те, которые, как полагал Мерсенн, сделали красным и жирным шрифтом.

Простые числа Мерсенна получили свое название от французского ученого 17-го века Марина Мерсенна , который составил то, что должно было быть списком простых чисел Мерсенна с показателями до 257. Показатели, перечисленные Мерсенном, были следующими:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257.

Его список воспроизводил известные простые числа своего времени с показателями до 19. Его следующая запись, 31, была правильной, но затем список стал в значительной степени неверным, поскольку Мерсенн ошибочно включил $M 67$ и $M 257$ (которые являются составными) и пропустил $M 61.$ , $M 89$ и $M 107$ (простые). Мерсенн не дал особых указаний на то, как он составил свой список. ^[5]

Эдуард Лукас доказал в 1876 году, что $M 127$ действительно простая, как утверждал Мерсенн. Это было самое большое известное простое число за 75 лет и самое большое, когда-либо найденное вручную (без помощи компьютеров). ^{[ необходима цитата ]} $M 61$ был определен как простое число в 1883 году Иваном Михеевичем Первушиным , хотя Мерсенн утверждал, что оно составное, и по этой причине его иногда называют числом Первушина. Это было второе по величине известное простое число, и оставалось им до 1911 года. Лукас показал еще одну ошибку в списке Мерсенна в 1876 году. Не найдя множителя, Лукас продемонстрировал, что $M 67$ на самом деле составное. Никакого фактора не было найдено до знаменитого выступленияФрэнк Нельсон Коул в 1903 году. ^[6] Не говоря ни слова, он подошел к доске и возвысил 2 до 67-й степени, а затем вычел единицу. На другой стороне доски он умножил 193 707 721 × 761 838 257 287 и получил то же число, затем вернулся на свое место (под аплодисменты), не говоря ни слова. ^[7] Позже он сказал, что на поиск результата у него ушло «три года воскресенья». ^[8] Правильный список всех простых чисел Мерсенна в этом диапазоне чисел был завершен и тщательно проверен только примерно через три столетия после того, как Мерсенн опубликовал свой список.

Поиск простых чисел Мерсенна [ править ]

Доступны быстрые алгоритмы поиска простых чисел Мерсенна, и по состоянию на июнь 2019 ^[update]года семь крупнейших известных простых чисел являются простыми числами Мерсенна.

Первые четыре простых числа Мерсенна $M 2 = 3$ , $M 3 = 7$ , $M 5 = 31$ и $M 7 = 127$ были известны в древности. Пятый, $M 13 = 8191$ , был обнаружен анонимно до 1461 года; следующие два ( $M 17$ и $M 19$ ) были обнаружены Пьетро Катальди в 1588 году. Спустя почти два столетия Леонард Эйлер в 1772 году подтвердил , что $M 31$ является простым числом. Следующим (в историческом, а не в числовом порядке) был $M$ $127$ , найденЭдуар Лукас в 1876 году, а затем $М 61$ от Ivan Михеевич Первушиным в 1883 году еще два ( $М 89$ и $М 107$ ) были обнаружены в начале 20 - го века, на RE Сил в 1911 и 1914, соответственно.

Лучшим известным в настоящее время методом проверки простоты чисел Мерсенна является критерий простоты Лукаса – Лемера . В частности, можно показать, что для простого $p > 2$ , $M p = 2 p - 1$ является простым, если и только если $M p$ делит $S p - 2$ , где $S 0 = 4$ и $S k = (S k - 1) 2 - 2$ при $k > 0$ .

В эпоху ручного расчета все показатели вплоть до 257 были проверены с помощью теста Лукаса – Лемера и оказались составными. Заметный вклад был внесен бывшим профессором физики Йельского университета Хорасом Скаддером Улером, который провел вычисления для показателей 157, 167, 193, 199, 227 и 229. ^[9] К сожалению для этих исследователей, интервал, который они тестировали, содержит самый большой из известных значений. относительный разрыв между простыми числами Мерсенна: следующий показатель простого числа Мерсенна, 521, окажется более чем в четыре раза больше, чем предыдущий рекорд - 127.

График числа цифр в наибольшем известном простом числе Мерсенна по годам - электронная эра. Вертикальная шкала является логарифмической по количеству цифр и, таким образом, является функцией от значения простого числа.

\log(\log(y))

Поиск простых чисел Мерсенна произвел революцию с появлением электронных цифровых компьютеров. Алан Тьюринг искал их на Manchester Mark 1 в 1949 г. ^[10], но первое успешное определение простого числа Мерсенна, $M 521$ , таким образом было достигнуто в 22:00 30 января 1952 г. с использованием Национального бюро США. Стандарты Western Automatic Computer (SWAC) в Институте численного анализа Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе под руководством Лемера с программой компьютерного поиска, написанной и запущенной профессором Р. М. Робинсоном. Это было первое простое число Мерсенна, идентифицированное за тридцать восемь лет; следующий, $M 607$ , был обнаружен компьютером чуть менее чем через два часа. Еще три - $M 1279$ , $M 2203$ и $M 2281$ - были обнаружены той же программой в течение следующих нескольких месяцев. $M 4253$ - первое число Мерсенна, которое является титаническим , $M 44 497$ - первое гигантское , а $M 6 972 593$ - первое мегапростое число, которое было обнаружено, будучи простым числом , состоящим как минимум из 1 000 000 цифр. ^[11]Все трое были первыми известными простыми числами такого размера. Количество цифр в десятичном представлении $М п$ равна $⌊ п \times войти 10 2⌋ + 1$ , где $⌊ х ⌋$ обозначает функцию пол (или , что эквивалентно $⌊log 10 М п ⌋ + 1$ ).

В сентябре 2008 года математики из Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе, участвовавшие в Большом Интернет-поиске Мерсенна Прайм (GIMPS), выиграли часть приза в 100000 долларов от Electronic Frontier Foundation за открытие почти 13-миллионного простого числа Мерсенна. Приз, окончательно подтвержденный в октябре 2009 года, - это первое известное простое число с минимум 10 миллионами цифр. Простое число было обнаружено на Dell OptiPlex 745 23 августа 2008 года. Это было восьмое простое число Мерсенна, обнаруженное в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. ^[12]

12 апреля 2009 года журнал сервера GIMPS сообщил, что, возможно, было найдено 47-е простое число Мерсенна. Находку впервые заметили 4 июня 2009 года, а неделю спустя подтвердили. Простое число - 2 ^{42 643 801} - 1 . Хотя в хронологическом порядке это 47-е простое число Мерсенна, которое было обнаружено, оно меньше самого большого из известных в то время, которое было 45-м открытым.

25 января 2013 года Кертис Купер , математик из Университета Центрального Миссури , обнаружил 48-е простое число Мерсенна 2 ^{57 885 161} - 1 (число из 17 425 170 цифр) в результате поиска, выполненного сетью серверов GIMPS. ^[13]

19 января 2016 года Купер опубликовал свое открытие 49-го простого числа Мерсенна 2 ^{74 207 281} - 1 (число с 22 338 618 цифрами) в результате поиска, выполненного сетью серверов GIMPS. ^[14]^[15]^[16] Это было четвертое простое число Мерсенна, обнаруженное Купером и его командой за последние десять лет.

2 сентября 2016 года система Great Internet Mersenne Prime Search завершила проверку всех тестов ниже M _{37 156 667} , тем самым официально подтвердив свою позицию 45-го простого числа Мерсенна. ^[17]

3 января 2018 года было объявлено, что Джонатан Пейс, 51-летний инженер-электрик, живущий в Джермантауне, штат Теннесси, нашел 50-е простое число Мерсенна, 2 ^{77 232 917} - 1 (число с 23 249 425 цифрами), в результате поиск, выполняемый сетью серверов GIMPS. ^[18]

21 декабря 2018 года было объявлено, что The Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) обнаружил наибольшее известное простое число 2 ^{82 589 933} - 1 , состоящее из 24 862 048 цифр. Компьютер, вызванный Патриком Ларошем из Окалы, Флорида, сделал находку 7 декабря 2018 г. ^[19]

Теоремы о числах Мерсенна [ править ]

Если a и p - натуральные числа такие, что a ^p - 1 простое, то a = 2 или p = 1 .
- Доказательство : $a \equiv 1 ( mod a - 1)$ . Тогда $a p \equiv 1 (mod a - 1)$ , поэтому $a p - 1 \equiv 0 (mod a - 1)$ . Таким образом, $a - 1 | а п - 1$ . Однако $a p - 1$ простое число, поэтому $a - 1 = a p - 1$ или $a - 1 = \pm 1$ . В первом случае $a = a p$ , следовательно, $a = 0, 1$ (противоречие, поскольку ни −1, ни 0 не простые числа) или $p = 1.$ В последнем случае $a = 2$ или $a = 0$ . Если , однако, $a = 0$ , $0 p - 1 = 0 - 1 = -1,$ что не является простым. Следовательно, $a = 2$ .
Если 2 ^p - 1 простое число, то p простое число.
- Доказательство . Предположим, что $p$ составное, поэтому можно записать $p = ab$ с $a$ и $b > 1$ . Тогда $2 p - 1$ $= 2 ab - 1$ $= (2 a) b - 1$ $= (2 a - 1) ((2 a) b -1 + (2 a) b -2 +\dots + 2 a + 1),$ поэтому $2 п - 1$ составное. Напротив, если $2 p - 1$ простое, то p простое.
Если p нечетное простое число, то каждое простое число q, которое делит 2 ^p - 1, должно быть 1 плюс кратное 2 p . Это верно, даже когда 2 ^p - 1 простое число.
- Например, 2 ⁵ - 1 = 31 простое число, а 31 = 1 + 3 × (2 × 5) . Составной пример: 2 ¹¹ - 1 = 23 × 89 , где 23 = 1 + (2 × 11) и 89 = 1 + 4 × (2 × 11) .
- Доказательство : По малой теореме Ферма , $д$ является фактором $2 д -1 - 1$ . Так как $д$ является фактором $2 р - 1$ , для всех положительных целых чисел $с$ , $д$ является также фактор $2 шт - 1$ . Поскольку $p$ простое число, а $q$ не делится на 2 ¹ - 1 , $p$ также является наименьшим положительным целым числом $x$ таким, что $q$ делится на $2 x - 1.$ . В результате для всех положительных целых чисел $x$ , $q$ является фактором $2 x - 1$ тогда и только тогда, когда $p$ является фактором $x$ . Следовательно, поскольку $q$ множитель $2 q -1 - 1$ , $p$ множитель $q - 1,$ поэтому $q \equiv 1 (mod p)$ . Кроме того, поскольку $q$ делится на $2 p - 1$ , что нечетно, $q$ нечетно. Следовательно, $q \equiv 1 (mod 2 p)$ .
- Этот факт приводит к доказательству теоремы Евклида , которая утверждает бесконечность простых чисел, в отличие от доказательства, написанного Евклидом: для каждого нечетного простого числа $p$ все простые числа, делящие $2 p - 1$ , больше $p$ ; таким образом, всегда есть простые числа большего размера, чем любое конкретное простое число.
- Из этого факта следует, что для любого простого числа $p > 2$ существует хотя бы одно простое число вида $2 kp +1,$ меньшее или равное $M p$ для некоторого целого числа $k$ .
Если p нечетное простое число, то каждое простое число q, которое делит 2 ^p - 1 , сравнимо с ± 1 (mod 8) .
- Доказательство : $2 p +1 2 (mod q)$ , поэтому $2 1 / 2 (p + 1)$ - квадратный корень из $2 по модулю q$ . По квадратичной взаимности каждый простой модуль, в котором число 2 имеет квадратный корень, конгруэнтен ± 1 ( модуль 8) .
Простое число Мерсенна не может быть простым числом Вифериха .
- Доказательство . Мы показываем, что если $p = 2 m - 1$ простое число Мерсенна, то сравнение $2 p -1 \equiv 1 (mod p 2)$ неверно. По малой теореме Ферма $m | п - 1$ . Следовательно, можно записать $p - 1 = mλ$ . Если данное сравнение выполняется, то $p 2 | 2 mλ - 1$ , поэтому $0 \equiv 2 мλ - 1 / 2 мес. - 1$ $Знак равно 1 + 2 м + 2 2 м + ... + 2 (λ - 1) m$ $\equiv - λ mod (2 м - 1)$ . Следовательно, $2 m - 1 | λ$ , а значит, $λ \geq 2 m - 1$ . Это приводит к $p - 1 \geq m (2 m - 1)$ , что невозможно, поскольку $m \geq 2$ .
Если $т$ и $п$ являются натуральные числа , то $т$ и $п$ являются взаимно простыми , если и только если $2 м - 1$ и $2 п - 1$ взаимно просты. Следовательно, простое число делит не более одного простого показателя Мерсенна. ^[20] То есть набор вредоносных чисел Мерсенна попарно взаимно прост.
Если р и 2 р + 1 оба штриха ( это означает , что р является главным Софи Жермен ), и р является конгруэнтно с 3 ( по модулю 4) , затем 2 р + 1 делит 2 ^р - 1 . ^[21]
- Пример : 11 и 23 простые числа, 11 = 2 × 4 + 3 , поэтому 23 делит 2 ¹¹ - 1 .
- Доказательство . Пусть $q$ равно $2 p + 1$ . По малой теореме Ферма $2 2 p \equiv 1 (mod q)$ , поэтому либо $2 p \equiv 1 (mod q),$ либо $2 p \equiv -1 (mod q)$ . Если последнее верно, то $2 p +1 = (2 1 / 2 (p + 1)) 2 \equiv -2 (mod q)$ , поэтому −2 будет квадратичным вычетом по модулю $q$ . Однако, поскольку $p$ конгруэнтно 3 (mod 4) , $q$ конгруэнтно 7 (mod 8), и, следовательно, 2 является квадратичным вычетом по модулю $q$ . Кроме того, поскольку $q$ конгруэнтно 3 (mod 4) , −1 является квадратичным невычетом по модулю $q$ , поэтому −2 является произведением вычета и невычета и, следовательно, является невычетом, противоречие. Следовательно, первое сравнение должно быть верным и $2 p + 1$ делит $M p$ .
Все составные делители простых экспонент чисел Мерсенна являются сильными псевдопростыми числами с основанием 2.
За исключением 1, число Мерсенна не может быть совершенной степенью. То есть, в соответствии с теоремой Михэилеску , уравнение $2 m - 1 = n k$ не имеет решений, где $m$ , $n$ и $k$ - целые числа с $m > 1$ и $k > 1$ .

Список известных простых чисел Мерсенна [ править ]

В таблице ниже перечислены все известные простые числа Мерсенна (последовательность A000043 ( $p$ ) и A000668 ( $M p$ ) в OEIS ):

#	$п$	$M p$	$M p$ цифр	Обнаруженный	Первооткрыватель	Используемый метод
1	2	3	1	c. 430 г. до н.э.	Древнегреческие математики ^[22]
2	3	7	1	c. 430 г. до н.э.	Древнегреческие математики ^[22]
3	5	31 год	2	c. 300 г. до н.э.	Древнегреческие математики ^[23]
4	7	127	3	c. 300 г. до н.э.	Древнегреческие математики ^[23]
5	13	8191	4	1456 ^[24]	Аноним ^[25]^[26]^[24]	Пробный отдел
6	17	131071	6	1588 ^[27]^[24]	Пьетро Катальди ^[24]	Судебное отделение ^[28]
7	19	524287	6	1588 ^[24]	Пьетро Катальди ^[24]	Судебное отделение ^[29]
8	31 год	2147483647	10	1772 г.	Леонард Эйлер ^[30]^[31]	Пробное деление с модульными ограничениями ^[32]
9	61	2305843009213693951	19	1883 Ноябрь ^[33]	Иван Михайлович Первушин	Последовательности Лукаса
10	89	618970019642 ... 137449562111	27	1911 июнь ^[34]	Ральф Эрнест Пауэрс	Последовательности Лукаса
11	107	162259276829 ... 578010288127	33	1914 г. 1 ^[35]^[36]^[37] июня	Ральф Эрнест Пауэрс ^[38]	Последовательности Лукаса
12	127	170141183460 ... 715884105727	39	1876 г. 10 января ^[39]	Эдуард Лукас	Последовательности Лукаса
13	521	686479766013 ... 291115057151	157	1952 30 января ^[40]	Рафаэль М. Робинсон	LLT / SWAC
14	607	531137992816 ... 219031728127	183	1952 30 января ^[40]	Рафаэль М. Робинсон	LLT / SWAC
15	1,279	104079321946 ... 703168729087	386	1952 25 июня ^[41]	Рафаэль М. Робинсон	LLT / SWAC
16	2 203	147597991521 ... 686697771007	664	1952 7 октября ^[42]	Рафаэль М. Робинсон	LLT / SWAC
17	2281	446087557183 ... 418132836351	687	1952, 9 октября ^[42]	Рафаэль М. Робинсон	LLT / SWAC
18	3 217	259117086013 ... 362909315071	969	1957 8 сентября ^[43]	Ханс Ризель	LLT / BESK
19	4 253	190797007524 ... 815350484991	1,281	1961 г. 3 ноября ^[44]^[45]	Александр Гурвиц	LLT / IBM 7090
20	4 423	285542542228 ... 902608580607	1,332	1961 г. 3 ноября ^[44]^[45]	Александр Гурвиц	LLT / IBM 7090
21 год	9 689	478220278805 ... 826225754111	2 917	1963 11 мая ^[46]	Дональд Б. Гиллис	LLT / ILLIAC II
22	9 941	346088282490 ... 883789463551	2,993	1963 16 мая ^[46]	Дональд Б. Гиллис	LLT / ILLIAC II
23	11 213	281411201369 ... 087696392191	3 376	2 июня 1963 г. ^[46]	Дональд Б. Гиллис	LLT / ILLIAC II
24	19 937	431542479738 ... 030968041471	6 002	4 марта 1971 г. ^[47]	Брайант Такерман	LLT / IBM 360/91
25	21 701	448679166119 ... 353511882751	6 533	1978 30 октября ^[48]	Лэндон Курт Нолл и Лаура Никель	LLT / CDC Cyber 174
26	23 209	402874115778 ... 523779264511	6 987	1979 Февраль 9 ^[49]	Лэндон Курт Нолл	LLT / CDC Cyber 174
27	44 497	854509824303 ... 961011228671	13 395	1979 8 ^[50]^[51] апреля	Гарри Л. Нельсон и Дэвид Словински	LLT / Cray 1
28	86 243	536927995502 ... 709433438207	25 962	1982 25 сентября	Дэвид Словински	LLT / Cray 1
29	110 503	521928313341 ... 083465515007	33 265	1988 29 января ^[52]^[53]	Уолтер Колкитт и Люк Уэлш	LLT / NEC SX-2 ^[54]
30	132 049	512740276269 ... 455730061311	39 751	19 сентября 1983 г. ^[55]	Дэвид Словински	LLT / Cray X-MP
31 год	216 091	746093103064 ... 103815528447	65 050	1 сентября 1985 г. ^[56]^[57]	Дэвид Словински	LLT / Cray X-MP / 24
32	756 839	174135906820 ... 328544677887	227 832	1992 17 февраля	Дэвид Словински и Пол Гейдж	LLT / Harwell Lab 's Cray-2 ^[58]
33	859 433	129498125604 ... 243500142591	258 716	1994 4 ^[59]^[60]^[61] января	Дэвид Словински и Пол Гейдж	LLT / Cray C90
34	1,257,787	412245773621 ... 976089366527	378 632	3 сентября 1996 г. ^[62]	Дэвид Словински и Пол Гейдж ^[63]	LLT / Cray T94
35 год	1,398,269	814717564412 ... 868451315711	420 921	1996 13 ноября	GIMPS / Жоэль Арменго ^[64]	LLT / Prime95 на базе Pentium 90 МГц
36	2 976 221	623340076248 ... 743729201151	895 932	1997 24 августа	GIMPS / Гордон Спенс ^[65]	LLT / Prime95 на Pentium 100 МГц
37	3 021 377	127411683030 ... 973024694271	909 526	1998 27 января	GIMPS / Роланд Кларксон ^[66]	LLT / Prime95 на Pentium 200 МГц
38	6 972 593	437075744127 ... 142924193791	2,098,960	1 июня 1999 г.	GIMPS / Наян Хаджратвала ^[67]	LLT / Prime95 на 350 МГц Pentium II IBM Aptiva
39	13 466 917	924947738006 ... 470256259071	4 053 946	14 ноября 2001 г.	GIMPS / Майкл Кэмерон ^[68]	LLT / Prime95 на Athlon T-Bird 800 МГц
40	20 996 011	125976895450 ... 762855682047	6,320,430	17 ноября 2003 г.	GIMPS / Майкл Шафер ^[69]	LLT / Prime95 на 2 ГГц Dell Dimension
41 год	24 036 583	299410429404 ... 882733969407	7 235 733	2004 15 мая	GIMPS / Джош Финдли ^[70]	LLT / Prime95 на Pentium 4 2,4 ГГц
42	25 964 951	122164630061 ... 280577077247	7 816 230	2005 18 февраля	GIMPS / Мартин Новак ^[71]	LLT / Prime95 на Pentium 4 2,4 ГГц
43	30 402 457	315416475618 ... 411652943871	9 152 052	2005 15 декабря	GIMPS / Кертис Купер и Стивен Бун ^[72]	LLT / Prime95 на Pentium 4 2 ГГц
44	32 582 657	124575026015 ... 154053967871	9 808 358	2006 4 сентября	GIMPS / Кертис Купер и Стивен Бун ^[73]	LLT / Prime95 на 3 ГГц Pentium 4
45	37 156 667	202254406890 ... 022308220927	11 185 272	6 сентября 2008 г.	GIMPS / Ханс-Михаэль Эльвенич ^[74]	LLT / Prime95 на базе Core 2 Duo с тактовой частотой 2,83 ГГц
46	42 643 801	169873516452 ... 765562314751	12 837 064	4 июня 2009 г. ^{[n 1]}	GIMPS / Одд М. Стриндмо ^[75]^{[n 2]}	LLT / Prime95 на 3 ГГц Core 2
47	43 112 609	316470269330 ... 166697152511	12 978 189	2008 23 августа	GIMPS / Эдсон Смит ^[74]	LLT / Prime95 на Dell Optiplex 745
48 ^{[n 3]}	57 885 161	581887266232 ... 071724285951	17 425 170	2013 25 января	GIMPS / Кертис Купер ^[76]	LLT / Prime95 на процессоре Intel Core2 Duo E8400 с тактовой частотой 3 ГГц ^[77]
49 ^{[n 3]}	74 207 281	300376418084 ... 391086436351	22 338 618	2016 7 января ^{[n 4]}	GIMPS / Кертис Купер ^[14]	LLT / Prime95 на Intel Core i7-4790
50 ^{[n 3]}	77 232 917	467333183359 ... 069762179071	23 249 425	2017 26 декабря	GIMPS / Джон Пейс ^[78]	LLT / Prime95 на процессоре Intel Core i5-6600 с тактовой частотой 3,3 ГГц ^[79]
51 ^{[n 3]}	82 589 933	148894445742 ... 325217902591	24 862 048	2018 7 декабря	GIMPS / Патрик Ларош ^[1]	LLT / Prime95 на Intel Core i5-4590T

^ Хотя $M 42643801$ было впервые сообщено в машине 12 апреля 2009 года, ничеловек не обратил внимание на этот факт до 4 июня 2009 года.
^ Стриндмо также использует псевдоним Стиг М. Вальстад.
^ a b c d Не проверено, существуют ли какие-либо неоткрытые простые числа Мерсенна между 47-м ( $M 43 112 609$ ) и 51-м ( $M 82 589 933$ ) на этой диаграмме; поэтому рейтинг является предварительным.
^ Хотя $M 74207281$ было впервые сообщено в машине 17 сентября 2015 года, ничеловек не обратил внимание на этот факт до 7 января 2016 года.

Все числа Мерсенна ниже 51-го простого числа Мерсенна ( $M 82 589 933$ ) были проверены по крайней мере один раз, но некоторые из них не проверялись дважды. Простые числа не всегда обнаруживаются в порядке возрастания. Например, 29-е простое число Мерсенна было обнаружено после 30-го и 31-го. Точно так же за $M 43 112 609$ последовали два меньших простых числа Мерсенна, сначала через две недели, а затем через 9 месяцев. ^[80] $M 43 112 609$ было первым обнаруженным простым числом с более чем 10 миллионами десятичных цифр.

Наибольшее известное простое число Мерсенна (2 ^{82 589 933} - 1) также является наибольшим известным простым числом . ^[1]

Самым большим известным простым числом было простое число Мерсенна с 1952 года, за исключением периода с 1989 по 1992 год ^[81].

Факторизация составных чисел Мерсенна [ править ]

Поскольку это простые числа, простые числа Мерсенна делятся только на 1 и сами по себе. Однако не все числа Мерсенна являются простыми числами Мерсенна, и составные числа Мерсенна можно разложить на множители нетривиально. Числа Мерсенна являются очень хорошими тестовыми примерами для алгоритма сита специального числового поля , поэтому часто наибольшее число, факторизованное с помощью этого алгоритма, было числом Мерсенна. По состоянию на июнь 2019 г. рекордсменом является ^[update]2 ^1,193 - 1 ^[82] , факторизованный с помощью варианта сита специального числового поля, позволяющего разложить на множители сразу несколько чисел. См. Записи целочисленной факторизацииссылки на дополнительную информацию. Сито специального числового поля может разложить числа на несколько множителей. Если число имеет только один очень большой множитель, то другие алгоритмы могут факторизовать большие числа, сначала находя маленькие множители, а затем выполняя проверку на простоту кофактора. По состоянию на июнь 2019 ^[update]года максимальная факторизация с вероятными допустимыми простыми множителями составляет 2 7 ^{313 983} - 1 = 305 492 080 276 193 × $q$ , где $q$ - вероятное простое число из 2 ²⁰¹ 714 цифр. Его открыл Оливер Круз. ^[83] По состоянию на июнь 2019 ^[update]года номер Мерсенна M ₁₂₇₇наименьшее составное число Мерсенна без известных факторов; у него нет простых множителей меньше 2 ⁶⁷ . ^[84]

В таблице ниже показаны факторизации первых 20 составных чисел Мерсенна (последовательность A244453 в OEIS ).

$п$	$M p$	Факторизация $M p$
11	2047	23 × 89
23	8388607	47 × 178 481
29	536870911	233 × 1 103 × 2089
37	137438953471	223 × 616 318 177
41 год	2199023255551	13,367 × 164,511,353
43	8796093022207	431 × 9719 × 2 099 863
47	140737488355327	2351 × 4513 × 13 264 529
53	9007199254740991	6 361 × 69 431 × 20 394 401
59	57646075230343487	179 951 × 3 203 431 780 337 (13 цифр)
67	147573952589676412927	193,707,721 × 761,838,257,287 (12 цифр)
71	2361183241434822606847	228,479 × 48,544,121 × 212,885,833
73	9444732965739290427391	439 × 2,298,041 × 9,361,973,132,609 (13 цифр)
79	604462909807314587353087	2,687 × 202,029,703 × 1,113,491,139,767 (13 цифр)
83	967140655691 ... 033397649407	167 × 57,912,614,113,275,649,087,721 (23 цифры)
97	158456325028 ... 187087900671	11,447 × 13,842,607,235,828,485,645,766,393 (26 цифр)
101	253530120045 ... 993406410751	7,432,339,208,719 (13 цифр) × 341,117,531,003,194,129 (18 цифр)
103	101412048018 ... 973625643007	2,550,183,799 × 3,976,656,429,941,438,590,393 (22 цифры)
109	649037107316 ... 312041152511	745,988,807 × 870,035,986,098,720,987,332,873 (24 цифры)
113	103845937170 ... 992658440191	3,391 × 23,279 × 65,993 × 1,868,569 × 1,066,818,132,868,207 (16 цифр)
131	272225893536 ... 454145691647	263 × 10,350,794,431,055,162,386,718,619,237,468,234,569 (38 цифр)

Количество факторов для первых 500 чисел Мерсенна можно найти по адресу (последовательность A046800 в OEIS ).

Числа Мерсенна в природе и в других местах [ править ]

В математической задаче Tower of Hanoi решение головоломки с башней из $n$ дисков требует $M n$ шагов при условии, что не было сделано никаких ошибок. ^[85] Число зерен риса на всей шахматной доске в пшеницы и шахматной доске задачи является $М 64$ .

Астероид с малой планетой номер 8191 назван 8191 Мерсенна после Мерсенн, потому что 8191 является простым Мерсенна ( 3 Juno , 7 Iris , 31 Евфросиния и 127 Johanna найденние и назван в течение 19 - го века). ^[86]

В геометрии целочисленный прямоугольный треугольник, который является примитивным и имеет четную ногу со степенью 2 ( $\geq 4$ ), порождает уникальный прямоугольный треугольник, внутренний радиус которого всегда является числом Мерсенна. Например, если четный отрезок равен $2 n + 1,$ то, поскольку он примитивен, он ограничивает нечетный отрезок равным $4 n - 1$ , гипотенузу - $4 n + 1,$ а ее внутренний радиус - $2 n - 1$ . ^[87]

Числа Мерсенна были изучены относительно общего числа принимающих путей недетерминированных машин Тьюринга с полиномиальным временем в 2018 году ^[88], и были обнаружены интересные включения.

Простые числа Мерсенна – Ферма [ править ]

Номер Мерсенн-Ферма определяется как $2 п р - 1 / 2 п р - 1 - 1$ , с простым $p$ , натуральным числом $r$ и может быть записано как $MF (p, r)$ . Когда $r = 1$ , это число Мерсенна. Когда $p = 2$ , это число Ферма . Единственные известные простые числа Мерсенна – Ферма с $r > 1$ - это

MF (2, 2), MF (2, 3), MF (2, 4), MF (2, 5), MF (3, 2), MF (3, 3), MF (7, 2)

и

МФ (59, 2)

. ^[89]

Фактически, $MF (p, r) = Φ p r (2)$ , где $Φ$ - круговой многочлен .

Обобщения [ править ]

Простейшие обобщенные простые числа Мерсенна - это простые числа вида $f (2 n)$ , где $f (x)$ - многочлен низкой степени с малыми целыми коэффициентами . ^[90] Пример: $264 - 2 32 + 1$ , в данном случае $n = 32$ , и $f (x) = x 2 - x + 1$ ; другой пример - $2192 - 2 64 - 1$ , в данном случае $n = 64$ , а $f (x) = x 3 - x - 1$ .

Также естественно попытаться обобщить простые числа вида $2 n - 1$ на простые числа вида $b n - 1$ (для $b \neq 2$ и $n > 1$ ). Однако (см. Также теоремы выше ), $b n - 1$ всегда делится на $b - 1$ , поэтому, если последнее не является единицей , первое не является простым. Это можно исправить, разрешив b быть алгебраическим целым числом вместо целого:

Комплексные числа [ править ]

В кольце целых чисел (на действительных числах ), если $b - 1$ - единица , то $b$ равно 2 или 0. Но $2 n - 1$ - обычные простые числа Мерсенна, а формула $0 n - 1$ ни к чему не приводит. интересно (поскольку он всегда равен −1 для всех $n > 0$ ). Таким образом, мы можем рассматривать кольцо «целых» на комплексных числах вместо действительных чисел , таких как гауссовские целые числа и целые числа Эйзенштейна .

Гауссовы простые числа Мерсенна [ править ]

Если мы рассмотрим кольцо гауссовских целых чисел , мы получим случай $b = 1 + i$ и $b = 1 - i$ , и можем спросить ( WLOG ), для какого $n$ число $(1 + i) n - 1$ является гауссовым простым числом, которое будет затем называть гауссовым простым числом Мерсенна . ^[91]

$(1 + i) n - 1$ является гауссовским простым числом для следующих $n$ :

2, 3, 5, 7, 11, 19, 29, 47, 73, 79, 113, 151, 157, 163, 167, 239, 241, 283, 353, 367, 379, 457, 997, 1367, 3041, 10141, 14699, 27529, 49207, 77291, 85237, 106693, 160423, 203789, 364289, 991961, 1203793, 1667321, 3704053, 4792057, ... (последовательность A057429 в OEIS )

Как и последовательность показателей для обычных простых чисел Мерсенна, эта последовательность содержит только (рациональные) простые числа.

Что касается всех гауссовских простых чисел, нормы (то есть квадраты абсолютных значений) этих чисел являются рациональными простыми числами:

5, 13, 41, 113, 2113, 525313, 536903681, 140737471578113, ... (последовательность A182300 в OEIS ).

Простые числа Эйзенштейна-Мерсенна [ править ]

Можно встретить случаи, когда такое простое число Мерсенна также является простым числом Эйзенштейна , имея вид $b = 1 + ω$ и $b = 1 - ω$ . В этих случаях такие числа называются простыми числами Эйзенштейна-Мерсенна .

$(1 + ω) n - 1$ является простым числом Эйзенштейна для следующих $n$ :

2, 5, 7, 11, 17, 19, 79, 163, 193, 239, 317, 353, 659, 709, 1049, 1103, 1759, 2029, 5153, 7541, 9049, 10453, 23743, 255361, 534827, 2237561, ... (последовательность A066408 в OEIS )

Нормы (то есть квадраты абсолютных значений) этих простых чисел Эйзенштейна являются рациональными простыми числами:

7, 271, 2269, 176419, 129159847, 1162320517, ... (последовательность A066413 в OEIS )

Разделить целое число [ править ]

Повторное объединение простых чисел [ править ]

Другой способ справиться с тем фактом, что $b n - 1$ всегда делится на $b - 1$ , - просто вычесть этот множитель и спросить, какие значения $n$ дают

{\frac {b^{n}-1}{b-1}}

быть первоклассным. (Целое число $b$ может быть положительным или отрицательным.) Если, например, мы возьмем $b = 10$ , мы получим $n$ значений:

2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ... (последовательность A004023 в OEIS ),
соответствующие простым числам 11, 1111111111111111111, 11111111111111111111111, ... (последовательность A004022 в OEIS ).

Эти простые числа называются простыми числами повторного объединения. Другой пример: когда мы берем $b = -12$ , мы получаем $n$ значений:

2, 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ... (последовательность A057178 в OEIS ),
соответствующие простым числам −11, 19141, 57154490053, ....

Это гипотеза, что для любого целого числа $b,$ которое не является совершенной степенью , существует бесконечно много значений $n$ таких, что $б н - 1 / б - 1$ простое. (Когда $b$ - идеальная степень, можно показать, что существует не более одного значения $n$ такое, что $б н - 1 / б - 1$ простое)

Как минимум $n$ таких, что $б н - 1 / б - 1$ простое число (начиная с $b = 2$ , $0,$ если такого $n не$ существует)

2, 3, 2, 3, 2, 5, 3, 0, 2, 17, 2, 5, 3, 3, 2, 3, 2, 19, 3, 3, 2, 5, 3, 0, 7, 3, 2, 5, 2, 7, 0, 3, 13, 313, 2, 13, 3, 349, 2, 3, 2, 5, 5, 19, 2, 127, 19, 0, 3, 4229, 2, 11, 3, 17, 7, 3, 2, 3, 2, 7, 3, 5, 0, 19, 2, 19, 5, 3, 2, 3, 2, ... (последовательность A084740 в OEIS )

Для отрицательных оснований $b$ они равны (начиная с $b = -2$ , $0,$ если такого $n не$ существует)

3, 2, 2, 5, 2, 3, 2, 3, 5, 5, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 2, 17, 2, 3, 3, 11, 2, 3, 11, 0, 3, 7, 2, 109, 2, 5, 3, 11, 31, 5, 2, 3, 53, 17, 2, 5, 2, 103, 7, 5, 2, 7, 1153, 3, 7, 21943, 2, 3, 37, 53, 3, 17, 2, 7, 2, 3, 0, 19, 7, 3, 2, 11, 3, 5, 2, ... (последовательность A084742 в OEIS ) (обратите внимание, что эта последовательность OEIS не допускает

n = 2

)

Наименьшее основание $b$ такое, что $b простое (n) - 1 / б - 1$ просты

2, 2, 2, 2, 5, 2, 2, 2, 10, 6, 2, 61, 14, 15, 5, 24, 19, 2, 46, 3, 11, 22, 41, 2, 12, 22, 3, 2, 12, 86, 2, 7, 13, 11, 5, 29, 56, 30, 44, 60, 304, 5, 74, 118, 33, 156, 46, 183, 72, 606, 602, 223, 115, 37, 52, 104, 41, 6, 338, 217, ... (последовательность A066180 в OEIS )

Для отрицательных оснований $b$ они равны

3, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 7, 2, 16, 61, 2, 6, 10, 6, 2, 5, 46, 18, 2, 49, 16, 70, 2, 5, 6, 12, 92, 2, 48, 89, 30, 16, 147, 19, 19, 2, 16, 11, 289, 2, 12, 52, 2, 66, 9, 22, 5, 489, 69, 137, 16, 36, 96, 76, 117, 26, 3, ... (последовательность A103795 в OEIS )

Другие обобщенные простые числа Мерсенна [ править ]

Другое обобщенное число Мерсенна

{\frac {a^{n}-b^{n}}{a-b}}

с $a$ , $b$ любыми взаимно простыми целыми числами, $a > 1$ и $- a < b < a$ . (Так как $a n - b n$ всегда делится на $a - b$ , деление необходимо для того, чтобы была хоть какая-то возможность найти простые числа. Фактически, это число совпадает с числом Люка $U n (a + b, ab)$ , так как и $б$ являются корни изквадратное уравнение $x 2 - (a + b) x + ab = 0$ , и это число равно 1, когда $n = 1$ ) Мы можем спросить, какое $n$ делает это число простым. Можно показать, что такие $n$ сами должны быть простыми или равными 4, и $n$ может быть 4 тогда и только тогда, когда $a + b = 1$ и $a 2 + b 2$ простое число. (С $а 4 - б 4 / а - б = (a + b) (a 2 + b 2)$ . Таким образом, в этом случае пара $(a, b)$ должна быть $(x + 1, - x),$ а $x 2 + (x + 1) 2$ должна быть простой. То есть $x$ должен быть в OEIS : A027861 .) Это гипотеза, что для любой пары $(a, b)$ такой, что для любого натурального числа $r > 1$ , $a$ и $b$ не являются одновременно совершенной $r-$ й степенью , и $-4 ab$ не является совершенной четвертой степенью . существует бесконечно много значений $n$ таких, что $а н - б н / а - б$ простое. (Когда $a$ и $b$ оба являются совершенными степенями $r$ для $r > 1$ или когда $-4 ab$ является совершенной четвертой степенью, можно показать, что существует не более двух значений $n$ с этим свойством, так как если это так, то $а н - б н / а - б$ можно факторизовать алгебраически) Однако это не было доказано ни для одного значения $(a, b)$ .

Для получения дополнительной информации см. ^[92]^[93]^[94]^[95]^[96]^[97]^[98]^[99]^[100]^[101]
$а$	$б$	числа $n$ такие, что $а н - б н / а - б$ является простым (некоторые большие члены являются только вероятными простыми числами , эти $n$ проверяются до 100000 для $\| b \| \leq 5$ или $\| b \| = a - 1$ , 20000 для $5 <\| b \| < a - 1$ )	Последовательность OEIS
2	1	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 431605801 ... ..., 74207281, ..., 77232917, ..., 82589933, ...	A000043
2	−1	3, 4 ^* , 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807 , 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, ..., 13347311, 13372531, ...	A000978
3	2	2, 3, 5, 17, 29, 31, 53, 59, 101, 277, 647, 1061, 2381, 2833, 3613, 3853, 3929, 5297, 7417, 90217, 122219, 173191, 256199, 336353, 485977, 591827, 1059503, ...	A057468
3	1	3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, 483611, 877843, ...	A028491
3	−1	2 ^* , 3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897 , 1205459, ...	A007658
3	−2	3, 4 ^* , 7, 11, 83, 149, 223, 599, 647, 1373, 8423, 149497, 388897, ...	A057469
4	3	2, 3, 7, 17, 59, 283, 311, 383, 499, 521, 541, 599, 1193, 1993, 2671, 7547, 24019, 46301, 48121, 68597, 91283, 131497, 148663, 184463, 341233, ...	A059801
4	1	2 (других нет)
4	−1	2 ^* , 3 (других нет)
4	−3	3, 5, 19, 37, 173, 211, 227, 619, 977, 1237, 2437, 5741, 13463, 23929, 81223, 121271, ...	A128066
5	4	3, 43, 59, 191, 223, 349, 563, 709, 743, 1663, 5471, 17707, 19609, 35449, 36697, 45259, 91493, 246497, 265007, 289937, ...	A059802
5	3	13, 19, 23, 31, 47, 127, 223, 281, 2083, 5281, 7411, 7433, 19051, 27239, 35863, 70327, ...	A121877
5	2	2, 5, 7, 13, 19, 37, 59, 67, 79, 307, 331, 599, 1301, 12263, 12589, 18443, 20149, 27983, ...	A082182
5	1	3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, 201359, 396413, 1888279, ...	A004061
5	−1	5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 335429, ...	A057171
5	−2	2 ^* , 3, 17, 19, 47, 101, 1709, 2539, 5591, 6037, 8011, 19373, 26489, 27427, ...	A082387
5	−3	2 ^* , 3, 5, 7, 17, 19, 109, 509, 661, 709, 1231, 12889, 13043, 26723, 43963, 44789, ...	A122853
5	−4	4 ^* , 5, 7, 19, 29, 61, 137, 883, 1381, 1823, 5227, 25561, 29537, 300893, ...	A128335
6	5	2, 5, 11, 13, 23, 61, 83, 421, 1039, 1511, 31237, 60413, 113177, 135647, 258413, ...	A062572
6	1	2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, 79987, 608099, ...	A004062
6	−1	2 ^* , 3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337, ...	A057172
6	−5	3, 4 ^* , 5, 17, 397, 409, 643, 1783, 2617, 4583, 8783, ...	A128336
7	6	2, 3, 7, 29, 41, 67, 1327, 1399, 2027, 69371, 86689, 355039, ...	A062573
7	5	3, 5, 7, 113, 397, 577, 7573, 14561, 58543, ...	A128344
7	4	2, 5, 11, 61, 619, 2879, 2957, 24371, 69247, ...	A213073
7	3	3, 7, 19, 109, 131, 607, 863, 2917, 5923, 12421, ...	A128024
7	2	3, 7, 19, 79, 431, 1373, 1801, 2897, 46997, ...	A215487
7	1	5, 13, 131, 149, 1699, 14221, 35201, 126037, 371669, 1264699, ...	A004063
7	−1	3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653, ...	A057173
7	−2	2 ^* , 5, 23, 73, 101, 401, 419, 457, 811, 1163, 1511, 8011, ...	A125955
7	−3	3, 13, 31, 313, 3709, 7933, 14797, 30689, 38333, ...	A128067
7	−4	2 ^* , 3, 5, 19, 41, 47, 8231, 33931, 43781, 50833, 53719, 67211, ...	A218373
7	−5	2 ^* , 11, 31, 173, 271, 547, 1823, 2111, 5519, 7793, 22963, 41077, 49739, ...	A128337
7	−6	3, 53, 83, 487, 743, ...	A187805
8	7	7, 11, 17, 29, 31, 79, 113, 131, 139, 4357, 44029, 76213, 83663, 173687, 336419, 615997, ...	A062574
8	5	2, 19, 1021, 5077, 34031, 46099, 65707, ...	A128345
8	3	2, 3, 7, 19, 31, 67, 89, 9227, 43891, ...	A128025
8	1	3 (других нет)
8	−1	2 ^* (других нет)
8	−3	2 ^* , 5, 163, 191, 229, 271, 733, 21059, 25237, ...	A128068
8	−5	2 ^* , 7, 19, 167, 173, 223, 281, 21647, ...	A128338
8	−7	4 ^* , 7, 13, 31, 43, 269, 353, 383, 619, 829, 877, 4957, 5711, 8317, 21739, 24029, 38299, ...	A181141
9	8	2, 7, 29, 31, 67, 149, 401, 2531, 19913, 30773, 53857, 170099, ...	A059803
9	7	3, 5, 7, 4703, 30113, ...	A273010
9	5	3, 11, 17, 173, 839, 971, 40867, 45821, ...	A128346
9	4	2 (других нет)
9	2	2, 3, 5, 13, 29, 37, 1021, 1399, 2137, 4493, 5521, ...	A173718
9	1	(никто)
9	−1	3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393, ...	A057175
9	−2	2 ^* , 3, 7, 127, 283, 883, 1523, 4001, ...	A125956
9	−4	2 ^* , 3, 5, 7, 11, 17, 19, 41, 53, 109, 167, 2207, 3623, 5059, 5471, 7949, 21211, 32993, 60251, ...	A211409
9	−5	3, 5, 13, 17, 43, 127, 229, 277, 6043, 11131, 11821, ...	A128339
9	−7	2 ^* , 3, 107, 197, 2843, 3571, 4451, ..., 31517, ...	A301369
9	−8	3, 7, 13, 19, 307, 619, 2089, 7297, 75571, 76103, 98897, ...	A187819
10	9	2, 3, 7, 11, 19, 29, 401, 709, 2531, 15787, 66949, 282493, ...	A062576
10	7	2, 31, 103, 617, 10253, 10691, ...	A273403
10	3	2, 3, 5, 37, 599, 38393, 51431, ...	A128026
10	1	2, 19, 23, 317, 1031, 49081, 86453, 109297, 270343, ...	A004023
10	−1	5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207, ...	A001562
10	−3	2 ^* , 3, 19, 31, 101, 139, 167, 1097, 43151, 60703, 90499, ...	A128069
10	−7	2 ^* , 3, 5, 11, 19, 1259, 1399, 2539, 2843, 5857, 10589, ...
10	−9	4 ^* , 7, 67, 73, 1091, 1483, 10937, ...	A217095
11	10	3, 5, 19, 311, 317, 1129, 4253, 7699, 18199, 35153, 206081, ...	A062577
11	9	5, 31, 271, 929, 2789, 4153, ...	A273601
11	8	2, 7, 11, 17, 37, 521, 877, 2423, ...	A273600
11	7	5, 19, 67, 107, 593, 757, 1801, 2243, 2383, 6043, 10181, 11383, 15629, ...	A273599
11	6	2, 3, 11, 163, 191, 269, 1381, 1493, ...	A273598
11	5	5, 41, 149, 229, 263, 739, 3457, 20269, 98221, ...	A128347
11	4	3, 5, 11, 17, 71, 89, 827, 22307, 45893, 63521, ...	A216181
11	3	3, 5, 19, 31, 367, 389, 431, 2179, 10667, 13103, 90397, ...	A128027
11	2	2, 5, 11, 13, 331, 599, 18839, 23747, 24371, 29339, 32141, 67421, ...	A210506
11	1	17, 19, 73, 139, 907, 1907, 2029, 4801, 5153, 10867, 20161, 293831, ...	A005808
11	−1	5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001, ...	A057177
11	−2	3, 5, 17, 67, 83, 101, 1373, 6101, 12119, 61781, ...	A125957
11	−3	3, 103, 271, 523, 23087, 69833, ...	A128070
11	−4	2 ^* , 7, 53, 67, 71, 443, 26497, ...	A224501
11	−5	7, 11, 181, 421, 2297, 2797, 4129, 4139, 7151, 29033, ...	A128340
11	−6	2 ^* , 5, 7, 107, 383, 17359, 21929, 26393, ...
11	−7	7, 1163, 4007, 10159, ...
11	−8	2 ^* , 3, 13, 31, 59, 131, 223, 227, 1523, ...
11	−9	2 ^* , 3, 17, 41, 43, 59, 83, ...
11	−10	53, 421, 647, 1601, 35527, ...	A185239
12	11	2, 3, 7, 89, 101, 293, 4463, 70067, ...	A062578
12	7	2, 3, 7, 13, 47, 89, 139, 523, 1051, ...	A273814
12	5	2, 3, 31, 41, 53, 101, 421, 1259, 4721, 45259, ...	A128348
12	1	2, 3, 5, 19, 97, 109, 317, 353, 701, 9739, 14951, 37573, 46889, 769543, ...	A004064
12	−1	2 ^* , 5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739, ...	A057178
12	−5	2 ^* , 3, 5, 13, 347, 977, 1091, 4861, 4967, 34679, ...	A128341
12	−7	2 ^* , 3, 7, 67, 79, 167, 953, 1493, 3389, 4871, ...
12	−11	47, 401, 509, 8609, ...	A213216

^* Примечание: если $b <0$ и $n$ четно, то числа $n$ не входят в соответствующую последовательность OEIS.

Гипотеза, связанная с обобщенными простыми числами Мерсенна: ^[3]^[102] (гипотеза предсказывает, где находится следующее обобщенное простое число Мерсенна, если гипотеза верна, то для всех таких пар $(a, b)$ существует бесконечно много простых чисел )

Для любых целых чисел $a$ и $b,$ удовлетворяющих условиям:

$а > 1$ , $- а < Ь < а$ .
и $б$ являются взаимно простыми . (таким образом, $b$ не может быть 0)
Для любого натурального числа $r > 1$ , $a$ и $b$ не являются совершенными степенями $r$ . (поскольку, когда $a$ и $b$ оба являются совершенными степенями $r$ , можно показать, что существует не более двух значений $n$ таких, что $а н - б н / а - б$ является простым, и эти $п$ значения $г$ себя или корень из $г$ , или 2)
$-4 ab$ не является совершенной четвертой степенью (если это так, то число имеет безболевую факторизацию ).

имеет простые числа вида

R_{p}(a,b)={\frac {a^{p}-b^{p}}{a-b}}

для простого $p$ простые числа будут распределены около линии наилучшего соответствия

Y=G\cdot \log _{a}(\log _{a}(R_{(a,b)}(n)))+C

куда

\lim _{n\rightarrow \infty }G={\frac {1}{e^{\gamma }}}=0.561459483566\ldots

и есть около

(\log _{e}(N)+m\cdot \log _{e}(2)\cdot \log _{e}\left(\log _{e}(N))+{\frac {1}{\sqrt {N}}}-\delta \right)\cdot {\frac {e^{\gamma }}{\log _{e}(a)}}

простые числа этой формы меньше , чем $N$ .

$e$ - основание натурального логарифма .
$γ$ - постоянная Эйлера – Маскерони .
$log a$ - это логарифм по основанию $a$ .
$R (a, b) (n)$ - $n-$ е простое число в форме $а п - б п / а - б$ для простого $p$ .
$C$ - константа соответствия данных, которая изменяется в зависимости от $a$ и $b$ .
$δ$ - константа соответствия данных, которая изменяется в зависимости от $a$ и $b$ .
$m$ - наибольшее натуральное число, такое что $a$ и $- b$ являются точными $2 m - 1-$ й $степенью$ .

У нас также есть следующие три свойства:

Количество простых чисел вида $а п - б п / а - б$ (с простым $p$ ) меньше или равно $n$ составляет примерно $e γ log a (log a (n))$ .
Ожидаемое количество простых чисел вида $а п - б п / а - б$ с простым $p$ между $n$ и $an$ примерно равно $e γ$ .
Вероятность того, что номер формы $а п - б п / а - б$ простое (для простого $p$ ) примерно $e γ / p log e (а)$ .

Если эта гипотеза верна, то для всех таких пар $(a, b)$ пусть $q$ будет $n-$ м простым числом вида $а п - б п / а - б$ , график зависимости $log a (log a (q))$ от $n$ почти линейен. (См. ^[3] )

Когда $a = b + 1$ , это $(b + 1) n - b n$ , разность двух последовательных совершенных степеней $n$ , и если $a n - b n$ простое число, тогда $a$ должно быть $b + 1$ , потому что это делится на $a - b$ .

Наименьшее $n$ таких, что $(b + 1) n - b n$ простое число, равны

2, 2, 2, 3, 2, 2, 7, 2, 2, 3, 2, 17, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 5, 2, 2, 229, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 37, 2, 3, 5, 58543, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 5, 3, 4663, 54517, 17, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 2, 2, 47, 61, 19, ... (последовательность A058013 в OEIS )

Наименьшие $b$ такие, что $(b + 1) prime (n) - b prime (n)$ простое число, являются

1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 2, 1, 39, 6, 4, 12, 2, 2, 1, 6, 17, 46, 7, 5, 1, 25, 2, 41, 1, 12, 7, 1, 7, 327, 7, 8, 44, 26, 12, 75, 14, 51, 110, 4, 14, 49, 286, 15, 4, 39, 22, 109, 367, 22, 67, 27, 95, 80, 149, 2, 142, 3, 11, ... (последовательность A222119 в OEIS )

См. Также [ править ]

Repunit
Ферма Прайм
Сила двух
Константа Эрдеша – Борвейна
Гипотезы Мерсенна
Твистер Мерсенна
Двойное число Мерсенна
Prime95 / MPrime
Большой поиск в Интернете Мерсенн Прайм (GIMPS)
Наибольшее известное простое число
Титаник Прайм
Гигантский прайм
Мегапрайм
Виферих прайм
Wagstaff Prime
Каллен Прайм
Woodall Prime
Proth Prime
Солинас Прайм
Гипотеза Гиллиса
Число Вильямса

Ссылки [ править ]

^ a b c «Проект GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 82 589 933 -1» . Мерсенна Research, Inc . 21 декабря 2018 . Проверено 21 декабря 2018 года .
^ "Отчет о вехах GIMPS" . Mersenne.org . Мерсенна Research, Inc . Дата обращения 5 декабря 2020 .
^ a b c Колдуэлл, Крис. «Эвристика: вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна» .
^ Крис К. Колдуэлл, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки
↑ Prime Pages, гипотеза Мерсенна .
^ Коул, FN (1903), "О факторизации больших чисел", Bull. Амер. Математика. Soc. , 10 (3): 134-137, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1903-01079-9 , СУЛ 34.0216.04
^ Белл, ET и математическая ассоциация Америки (1951). Математика, царица и служанка науки . Макгроу-Хилл Нью-Йорк.п. 228.
^ "h2g2: Числа Мерсенна" . BBC News . Архивировано из оригинала на 5 декабря 2014 года.
^ Гораций С. Улер (1952). «Краткая история исследований чисел Мерсенна и последних огромных простых чисел» . Scripta Mathematica . 18 : 122–131.
^ Брайан Нэппер, математический факультет и Mark 1 .
^ Основные страницы, Главный глоссарий: мегапрайм .
^ Maugh II, Томас Х. (2008-09-27). «Математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе открывают простое число, состоящее из 13 миллионов цифр» . Лос-Анджелес Таймс . Проверено 21 мая 2011 .
^ Тиа Гхош. «Обнаружено наибольшее простое число» . Scientific American . Проверено 7 февраля 2013 .
^ a b Купер, Кертис (7 января 2016 г.). "Открытие простого числа Мерсенна - 2 74207281 - 1 является простым !" . Мерсенна Research, Inc . Проверено 22 января +2016 .
Рианна Брук, Роберт (19 января 2016 г.). «Простое число с 22 миллионами цифр - самое большое из когда-либо найденных» . Новый ученый . Проверено 19 января +2016 .
Рианна Чанг, Кеннет (21 января 2016 г.). «Новое наибольшее простое число = от 2 до 74 миллионов ... эээ, оно большое» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 22 января +2016 .
^ "Вехи" . Архивировано из оригинала на 2016-09-03.
^ "Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 77232917-1 это Прайм!" . www.mersenne.org . Проверено 3 января 2018 .
^ «GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 ^ 82,589,933-1» . Проверено 1 января 2019 .
^ Мерсенна страница будет Эджингтон по архивации 2014-10-14 в Wayback Machine
^ Колдуэлл, Крис К. "Доказательство результата Эйлера и Лагранжа о делителях Мерсенна" . Prime Pages .
^ a b Древние египтяне не упоминали простые числа, и у них не было никакого известного сегодня понятия простых чисел. В папирусе Ринда (1650 г. до н.э.) разложения египетских дробей имеют довольно разные формы для простых и составных чисел, поэтому можно утверждать, что они знали о простых числах. «Египтяне использовали ($) в таблице выше для первых простых чисел $r$ = 3, 5, 7 или 11 (также для $r$ = 23). Вот еще одно интригующее наблюдение: египтяне прекратили использование ($) в 11 предполагает, что они поняли (по крайней мере, некоторые части) Решета Эратосфена за 2000 лет до того, как Эратосфен «открыл» его ». Ринд 2 / п Таблица[Проверено 11 ноября 2012 г.]. В школе Пифагора (р. Около 570 - р. Около 495 г. до н.э.) и пифагорейцев мы находим первые достоверные наблюдения простых чисел. Следовательно, первые два простых числа Мерсенна, 3 и 7, были известны и, можно даже сказать, были ими открыты. Однако здесь нет ссылки на их особую форму 2 ² - 1 и 2 ³ - 1 как таковую. Источники знания простых чисел у пифагорейцев запаздывают. Философ-неоплатоник Ямвлих , н.э. ок. 245 – с. 325, утверждает, что греческий философ-платоник Спевсипп , ок. 408 - 339/8 до н.э., написал книгу под названием « О числах Пифагора».. Согласно Ямвлиху, эта книга была основана на трудах пифагорейца Филолая , ок. 470 – ок. 385 г. до н.э., живший через столетие после Пифагора , 570 - ок. 495 г. до н.э. В своей « Теологии арифметики» в главе «Десятилетие» Ямвлих пишет: «Спевсипп, сын Потона, сестры Платона, и глава Академии до Ксенократа, составил отточенную небольшую книгу из пифагорейских сочинений, которые особенно ценились в любое время и особенно из сочинений Филолая; он озаглавил книгу О пифагорейских числах. В первой половине книги он элегантно излагает линейные числа [то есть простые числа], многоугольные числа и всевозможные плоские числа, твердые числа и пять цифр, которые относятся к элементам вселенной, обсуждая их индивидуальные атрибутов и их общих черт, а также их соразмерности и взаимности ». Ямвлих « Богословие арифметики », перевод Робина Уотерфилда, 1988, стр. 112f. [Проверено 11 ноября 2012 г.]. Ямвлих также приводит прямую цитату из книги Спевсиппа , где Спевсиппсреди прочего пишет: «Во-вторых, необходимо, чтобы совершенное число [понятие« идеальное число »не используется здесь в современном смысле], содержало равное количество простых и несоставных чисел, а также вторичных и составных чисел». Ямвлих «Богословие арифметики» в переводе Робина Уотерфилда, 1988, стр. 113. [Проверено 11 ноября 2012 г.]. О греческом оригинальном тексте см. Спевсипп Афинский: Критическое исследование со сборником родственных текстов и комментариями Леонардо Тарана, 1981, с. 140 линий 21-22 [Источник 2012-11-11] В своих комментариях к Никомаху из Gerasas «s Введения в арифметику , Ямвлихи также упоминает , что Тимаридас, ок. 400 г. до н.э. - ок. 350 г. до н.э. использует термин прямолинейный для простых чисел, и что Теон из Смирны , эт. 100 г. н.э. в качестве альтернативных терминов используются эвтиметрический и линейный . Никомах Герасинский, Введение в арифметику, 1926, стр. 127 [Проверено 11 ноября 2012 г.] Однако неясно, когда это сказано, что Тимарид жил. «В весьма подозрительном отрывке из Ямвлиха Фимарид указан как ученик самого Пифагора». Пифагореизм [Проверено 11.11.2012] До Филолая , ок. 470 – ок. 385 г. до н.э., у нас нет никаких доказательств знания простых чисел.
^ a b «Элементы Евклида, Книга IX, Предложение 36» .
^ a b c d e f Арабский математик Исмаил ибн Ибрагим ибн Фаллус (1194–1239) знал первые семь совершенных чисел за много лет до того, как они были обнаружены в Европе; см. Совершенные числа из архива истории математики MacTutor . Ссылка: Brentjes, Sonja (1987). "Die ersten sieben vollkommenen Zahlen und drei Arten befreundeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismā'īl b. Ibrāhīm b. Fallūs" [Первые семь совершенных чисел и три вида дружественных чисел в работе Исмы по элементарной теории чисел īl b. Ибрахим б. Фаллус]. NTM Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin(на немецком). 24 (1): 21–30. OCLC 812888599 . Zbl 0625.01005 ..
^ Основные страницы, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки .
^ Мы находим самую старую (бесспорную) заметку о результате в Кодексе № 14908, который происходит от Bibliotheca monasterii ord. S. Benedicti ad S. Emmeramum Ratisbonensis теперь в архиве Bayerische Staatsbibliothek, см. «Хальм, Карл / Лаубманн, Георг фон / Мейер, Вильгельм: Catalogus codicum latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis, Bd .: 2,2, Monachii, 1876, стр. 250 ".[проверено 17 сентября 2012 г.] Кодекс №. 14908 состоит из 10 различных средневековых работ по математике и смежным предметам. Авторы большинства этих произведений известны. Некоторые авторы считают монаха Фридерикуса Герхарта (Амман), 1400–1465 (Frater Fridericus Gerhart monachus ordinis sancti Benedicti astrologus Professus in monasterio sancti Emmerani diocesis Ratisponensis et in ciuitate eiusdem) автором части, где упоминается простое число 8191. Geschichte Der Mathematik [обнаружено 17 сентября 2012 г.] Вторая рукопись Codex nr. 14908 имеет название «Regulae et instance arithmetica, algebraica, geometrya» и 5-е совершенное число, и все факторы, включая 8191, упомянуты на листе №. 34 a tergo (оборотная сторона стр. 34). Части рукописи опубликованы вArchiv der Mathematik und Physik, 13 (1895), стр. 388–406 [получено 23 сентября 2012 г. ]
^ "A i lettori. Nel trattato de 'numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à Trouarne molti auertite molte cose, se era anco ampamente dilatatala Tauola de' numeri composti, di ciascuno de 'quali per ordine li components, onde preposto unnum. " п. 1 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ стр. 13–18 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ стр. 18–22 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ http://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36 Архивировано 31 марта 2012 г.в Wayback Machine Nouveaux Mémoires de l 'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, стр. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, Concerant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands, состоящих из сомнительного элемента géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Проверено 2 октября 2011.
^ http://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 Дата и год открытия неизвестны. Возможны даты между 1752 и 1772 годами.
^ Крис К. Колдуэлл. «Модульные ограничения на дивизоры Мерсенна» . Primes.utm.edu . Проверено 21 мая 2011 .
^ «En novembre de l'année 1883, dans la correance de Notre Académie se Trouve une communication, contient l'assertion que le nombre 2 ⁶¹ - 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /… / Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l'Académie /… / contient le compte-rendu de la séance du 20 декабря 1883, dans lequel l'objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision ». Бюллетень имперской академии наук Санкт-Петербурга, с. 3, т. 31, 1887 г., кол. 532–533. https://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up[получено 17 сентября 2012 г.] См. также Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), pp. 553–554. См. Также Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg: Sciences mathématiques, Physiques et Naturelles, vol. 48
^ Пауэрс, RE (1 января 1911). «Десятое идеальное число». Американский математический ежемесячник . 18 (11): 195–197. DOI : 10.2307 / 2972574 . JSTOR 2972574 .
^ "М.Э. Фокенберг и его результаты исследований заместителя Феврие, et j'en ai reçu message le 7 Juin; M. Powers посланник 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich [секретарь Лондонского математического общества] для $M 107.$ Sur ma demande, ces deux auteurs m'ont adressé leurs remarquables résultats, et je m'empresse de les publier dans nos colnes, avec nos felicitations ". п. 103, Андре Жерардин, Nombres de Mersenne, стр. 85, 103–108 в Sphinx-dipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] V. 9, No. 1, 1914.
^ «Телеграмма Пауэра, объявляющая тот же самый результат, была отправлена в Лондонский математический институт. Итак, 1 июня 1914 года». Числа Мерсенна, Scripta Mathematica , v. 3, 1935, стр. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [получено 13 октября 2012 г.]
^ http://plms.oxfordjournals.org/content/s2-13/1/1.1.full.pdf Proceedings / London Mathematical Society (1914) s2–13 (1): 1. Результат представлен на встрече с Лондонским математическим обществом 11 июня 1914. Проверено 2011-10-02.
↑ Prime Pages, M 107 : Fauquembergue или Powers? .
^ http://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3039&I=166&M=chemindefer Представлено на встрече с Академией наук (Франция) 10 января 1876 года. Дата обращения 2 октября 2011 г.
^ a b «Используя стандартный тест Лукаса для простых чисел Мерсенна, запрограммированный Р. М. Робинсоном, SWAC обнаружил простые числа 2 ⁵²¹ - 1 и 2 ⁶⁰⁷ - 1 30 января 1952 года». Д.Х. Лемер, Недавние открытия больших простых чисел , Математика вычислений, т. 6, № 37 (1952), с. 61, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-52-99404-0/S0025-5718-52-99404-0.pdf [Дата обращения 18 сентября 2012 г. ]
^ «Программа, описанная в примечании 131 (c), произвела 15-е простое число Мерсенна 2¹²⁷⁹ - 1 25 июня. SWAC проверяет это число за 13 минут и 25 секунд». Д.Х. Лемер, Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 6, № 39 (1952), с. 205, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-039/S0025-5718-52-99387-3/S0025-5718-52-99387-3.pdf [Дата обращения 18сентября2012 г. ]
^ a b «Еще два простых числа Мерсенна, 2 ²²⁰³ - 1 и 2 ²²⁸¹ - 1, были обнаружены SWAC 7 и 9 октября 1952 года». Д.Х. Лемер, Два новых простых числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 7, № 41 (1952), с. 72, http://www.ams.org/journals/mcom/1953-07-041/S0025-5718-53-99371-5/S0025-5718-53-99371-5.pdf [Дата обращения 18 сентября 2012 г. ]
^ "8 сентября 1957 года шведская электронная вычислительная машина BESK установила, что число Мерсенна $M 3217$ = 2 ³²¹⁷ - 1 является простым". Ханс Ризель, Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 12 (1958), стр. 60, http://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-061/S0025-5718-1958-0099752-6/S0025-5718-1958-0099752-6.pdf [Дата обращения 18сентября2012 г. ]
^ a b А. Гурвиц и Дж. Л. Селфридж, Числа Ферма и совершенные числа , Уведомления Американского математического общества, т. 8, 1961, стр. 601, аннотация 587-104.
^ a b «Если $p$ простое число, $M p = 2 p - 1$ называется числом Мерсенна. Простые числа $M 4253$ и $M 4423$ были обнаружены путем кодирования теста Лукаса-Лемера для IBM 7090.» Александр Гурвиц, Новые простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 16, No. 78 (1962), pp. 249–251, http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-078/S0025-5718-1962-0146162-X/S0025-5718-1962 -0146162-X.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]
^ a b c « $Простые$ числа $M 9689$ , $M 9941$ и $M 11213,$ которые в настоящее время являются самыми большими известными простыми числами, были обнаружены Иллиаком II в лаборатории цифровых компьютеров Университета Иллинойса». Дональд Б. Гиллис, Три новых простых числа Мерсенна и статистическая теория , Математика вычислений, т. 18, No. 85 (1964), pp. 93–97, http://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-085/S0025-5718-1964-0159774-6/S0025-5718-1964 -0159774-6.pdf [ проверено 18 сентября 2012 г.]
^ Tuckerman, Bryant (1 октября 1971). «24-й прайм Мерсенна» . Труды Национальной академии наук . 68 (10): 2319–2320. DOI : 10.1073 / pnas.68.10.2319 .
^ «30 октября 1978 года в $21:40$ мы обнаружили, что $M 21701$ является простым. Время процессора, необходимое для этого теста, составило 7:40:20. Позднее Такерман и Лемер подтвердили этот результат». Курт Нолл и Лаура Никель, 25-е и 26-е простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980 -0583517-4.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]
^ "Из 125 оставшихся $M p$ только $M 23209$ оказался простым. Тест был завершен 9 февраля 1979 года в 4:06 после 8:39:37 процессорного времени. Позже Лемер и МакГроган подтвердили результат". Курт Нолл и Лаура Никель, 25-е и 26-е простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980 -0583517-4.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]
↑ Дэвид Словински, «В поисках 27-го числа Мерсенна», Journal of Recreational Mathematics , v. 11 (4), 1978–79, стр. 258–261, MR 80g # 10013
^ "27-е простое число Мерсенна. Оно состоит из 13395 цифр и равно 2⁴⁴⁴⁹⁷ - 1. [...] Его простота была определена 8 апреля 1979 года с помощью теста Лукаса-Лемера. Тест был запрограммирован на компьютере CRAY-1 Дэвид Словински и Гарри Нельсон ». (стр. 15) «Результатом было то, что после применения теста Лукаса – Лемера примерно к тысяче чисел, код определил в воскресенье, 8 апреля, что 2⁴⁴⁴⁹⁷ - 1 на самом деле является 27-м простым^числом Мерсенна». (стр. 17), Дэвид Словински, «В поисках 27-го прайма Мерсенна», Cray Channels , vol. 4, вып. 1. (1982), стр. 15–17.
^ «БПФ, содержащее 8192 сложных элемента, что было минимальным размером, необходимым для тестирования M₁₁₀₅₀₃ , проработало примерно 11 минут на SX-2. Открытие $M 110503$ (29 января 1988 г.) было подтверждено». Колкитт, Л. Уэлш мл., Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 56, No. 194 (апрель 1991 г.), стр. 867–870, http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068823-9/S0025-5718- 1991-1068823-9.pdf [ проверено 18 сентября 2012 г.]
^ «На этой неделе два компьютерных эксперта нашли 31-е простое число Мерсенна. Но, к их удивлению, недавно обнаруженное простое число находится между двумя ранее известными простыми числами Мерсенна. Оно происходит, когда $p = 110 503$ , что делает его третьим по величине известнымпростым простым числомМерсенна». И. Петерсон, Подготовка к удачному удару Science News; 06.02.88, т. 133 Выпуск 6, стр. 85–85. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=3&hid=23&sid=9a9d7493-ffed-410b-9b59-b86c63a93bc4%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8824187 [Источник 2012-09-18 ]
^ "Простые числа Мерсенна" . Omes.uni-bielefeld.de. 2011-01-05 . Проверено 21 мая 2011 .
^ «Словински, инженер-программист компании Cray Research Inc. в Чиппева-Фолс, обнаружил это число в понедельник в 11:36. [То есть 19 сентября 1983 года]» Джим Хиггинс, «Число неуловимых цифр выросло» и «Ученый находит большое номер »в The Milwaukee Sentinel - 24 сентября 1983 г., стр. 1 , стр. 11 [получено 23 октября 2012 г.]
^ "Это 30-й известный пример простого числа Мерсенна, числа, делящегося только на 1 и самого себя и записанного в форме $2 p - 1$ , где показатель $p$ также является простым числом. Например, 127 - это число Мерсенна. для которых показатель степени равен 7. Показатель экспоненты рекордного простого числа равен 216 091 ». И. Петерсон, Лучшее время для суперкомпьютеров Новости науки; 28.09.85, Т. 128 Выпуск 13, с. 199. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=4&hid=22&sid=c11090a2-4670-469f-8f75-947b593a56a0%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8840537 [Источник 2012-09 -18]
^ "Программа Словински также нашла 28-е число в 1982 году, 29-е в 1983 году и 30-е [известное в то время] в прошедшие выходные, посвященные Дню труда. [ То есть 31 августа - 1 сентября 1985 года]" Рэд Салли, "Суперкомпьютер" '/ Счетное устройство Chevron находит большее простое число " Houston Chronicle , Friday 20.09.1985, Раздел 1, Страница 26, 4 Star Edition [извлечено 23.10.2012]
↑ Prime Pages, Находка 32- го Мерсенна .
^ Крис Колдуэлл, Наибольшие известные простые числа .
^ Пресс-релиз Crays
^ "Электронная почта Словинскиса" .
^ Пресс-релиз Silicon Graphics https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [последнее посещение - 30 сентября 2012 г.]
^ Основные страницы, лучший рекордный размер! 2 1257787 - 1 .
^ GIMPS Обнаруживает тридцать пятой Мерсенна .
^ GIMPS Обнаруживает тридцать шестой Известный Мерсенна .
^ GIMPS Обнаруживает тридцать седьмой Известный Мерсенна .
^ GIMPS находит первое простое число в миллион цифр и претендует на премию EFF в размере 50 000 долларов .
^ GIMPS, исследователи открывают крупнейшее многомиллионное число простых чисел, используя Entropia Distributed Computing Grid .
^ GIMPS, проект Мерсенна обнаруживает наибольшее известное простое число во всемирной добровольной компьютерной сети .
^ GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 24 036 583 - 1 .
^ GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 25 964 951 - 1 .
^ GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 30,402,457 - 1 .
^ GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает наибольшее известное простое число, 2 32 582 657 - 1 .
^ a b « Титаник Праймз» выиграл гонку за исследовательскую премию в размере 100 000 долларов . Проверено 16 сентября 2008.
^ "12 апреля [2009], 47-е известное простое число Мерсенна, 2^{42 643 801} - 1, 12 837 064 цифры было найдено Odd Magnar Strindmo из Мельхуса, Норвегия! Это простое число является вторым по величине известным простым числом," всего лишь "141 125 цифры меньше, чем простое число Мерсенна, найденное в августе прошлого года. ", Домашняя страница списка наибольших известных простых чисел, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=88847 [получено 18сентября2012 г.]
^ «GIMPS открывает 48-й Мерсенн-Прайм, 2 57,885,161 - 1 теперь является самым большим известным праймом » . Отличный Интернет-поиск Mersenne Prime . Проверено 19 января 2016 .
^ "Список известных простых чисел Мерсенна" . Проверено 29 ноября 2014 года .
^ «Проект GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 77 232 917 -1» . Мерсенна Research, Inc . 3 января 2018 . Проверено 3 января 2018 .
^ "Список известных простых чисел Мерсенна" . Проверено 3 января 2018 .
^ Отчет о вехах GIMPS . Дата обращения 17 мая 2019
^ Колдуэлл, « Самый большой известный премьер по годам: краткая история » свеб-сайта Prime Pages , Университет Теннесси в Мартине .
^ Торстен Кляйнджунг , Йоппе Бос , Арьен Ленстра «Фабрика факторизации Мерсенна» http://eprint.iacr.org/2014/653.pdf
^ Анри Лифшиц и Рено Лифшиц. "PRP Top Records" . Проверено 21 марта 2018 .
^ "Статус экспоненты для M1277" . Проверено 22 июня 2018 .
^ Петкович, Миодраг (2009). Известные загадки великих математиков . Книжный магазин AMS. п. 197. ISBN 978-0-8218-4814-2.
^ Алан Чемберлин. "Браузер базы данных малых тел JPL" . Ssd.jpl.nasa.gov . Проверено 21 мая 2011 .
^ "OEIS A016131" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.
^ Тайфун Пэй и Джеймс Л. Кокс. «Обзор некоторых классов семантической и синтаксической сложности» .
^ "Исследование простых чисел Мерсенна и Ферма" . Архивировано из оригинала на 2012-05-29.
^ Солинас, Джером А. (1 января 2011). «Обобщенное прайм Мерсенна». В Тилборге, фургон Хенк Калифорния; Jajodia, Sushil (ред.). Энциклопедия криптографии и безопасности . Springer США. С. 509–510. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-5906-5_32 . ISBN 978-1-4419-5905-8.
↑ Крис Колдуэлл: Главный Глоссарий: Гауссовский Мерсенн (часть Prime Pages )
^ Zalnezhad Али; Зальнежад, Хоссейн; Шабани, Гасем; Зальнежад, Мехди (март 2015 г.). «Взаимосвязи и алгоритм для достижения наибольших простых чисел». arXiv : 1503.07688 .
^ ( x , 1) и ( x , −1) для x = от 2 до 50
^ ( x , 1) для x = от 2 до 160
^ ( x , −1) для x = 2 до 160
^ ( x + 1, x ) для x = от 1 до 160
^ ( x + 1, - x ) для x = от 1 до 40
^ ( x + 2, x ) для нечетных x = от 1 до 107
^ ( x , −1) для x = от 2 до 200
^ Записи PRP, поиск (a ^ nb ^ n) / c, то есть ( a , b )
^ Записи PRP, поиск (a ^ n + b ^ n) / c, то есть ( a , - b )
^ "Обобщенная гипотеза о воссоединении" .

Внешние ссылки [ править ]

Найдите Mersenne prime в Викисловаре, бесплатном словаре.

"Число Мерсенна" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Домашняя страница GIMPS
Статус GIMPS - на странице статуса представлена различная статистика о прогрессе поиска, обычно обновляемая каждую неделю, включая прогресс в доказательстве порядка наибольших известных простых чисел Мерсенна.
GIMPS, известные множители чисел Мерсенна
$M q = (8 x) 2 - (3 qy) 2$ Свойство составных чисел Мерсенна с простой экспонентой (PDF)
$M q = x 2 + d \cdot y 2$ математическая диссертация (PS)
Грайм, Джеймс. «Число 31 и Мерсенна» . Numberphile . Брэди Харан . Архивировано из оригинала на 2013-05-31 . Проверено 6 апреля 2013 .
Библиография Мерсенна с гиперссылками на оригинальные публикации
отчет о простых числах Мерсенна - подробное обнаружение (на немецком языке)
GIMPS вики
Страница Уилла Эджингтона Мерсенна - содержит множители для малых чисел Мерсенна
Известные факторы чисел Мерсенна
Десятичные цифры и английские названия простых чисел Мерсенна
Prime curios: 2305843009213693951
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2-.txt Архивировано 5 ноября 2014 г. в Wayback Machine
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/2+.txt Архивировано 2 мая 2013 г. на Wayback Machine
Последовательность OEIS A250197 (Числа n такие, что левая примитивная часть Аурифейля 2 ^ n + 1 является простой) - Факторизация чисел Мерсенна $M n$ ( $n$ до 1280)
Факторизация полностью факторизованных чисел Мерсенна
Проект Каннингема, факторизация b n ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/cunningham/main.htm Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine.
http://www.leyland.vispa.com/numth/factorization/anbn/main.htm Архивировано 2 февраля 2016 г. на Wayback Machine.

Ссылки MathWorld [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Число Мерсенна» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Прайм Мерсенна" . MathWorld .
Найдена 47-я Прайм Мерсенна

[date_issue-75] Хотя $M 42643801$ было впервые сообщено в машине 12 апреля 2009 года, ничеловек не обратил внимание на этот факт до 4 июня 2009 года.

[Strindmo-77] Стриндмо также использует псевдоним Стиг М. Вальстад.

[unverified_index-78] Не проверено, существуют ли какие-либо неоткрытые простые числа Мерсенна между 47-м ( $M 43 112 609$ ) и 51-м ( $M 82 589 933$ ) на этой диаграмме; поэтому рейтинг является предварительным.

[date_issue_2-81] Хотя $M 74207281$ было впервые сообщено в машине 17 сентября 2015 года, ничеловек не обратил внимание на этот факт до 7 января 2016 года.

[GIMPS-2018-1] «Проект GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 82 589 933 -1» . Мерсенна Research, Inc . 21 декабря 2018 . Проверено 21 декабря 2018 года .

[2] "Отчет о вехах GIMPS" . Mersenne.org . Мерсенна Research, Inc . Дата обращения 5 декабря 2020 .

[Wagstaff-3] Колдуэлл, Крис. «Эвристика: вывод гипотезы Вагстаффа Мерсенна» .

[4] Крис К. Колдуэлл, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки

[5] Prime Pages, гипотеза Мерсенна .

[6] Коул, FN (1903), "О факторизации больших чисел", Bull. Амер. Математика. Soc. , 10 (3): 134-137, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1903-01079-9 , СУЛ 34.0216.04

[7] Белл, ET и математическая ассоциация Америки (1951). Математика, царица и служанка науки . Макгроу-Хилл Нью-Йорк.п. 228.

[8] "h2g2: Числа Мерсенна" . BBC News . Архивировано из оригинала на 5 декабря 2014 года.

[9] Гораций С. Улер (1952). «Краткая история исследований чисел Мерсенна и последних огромных простых чисел» . Scripta Mathematica . 18 : 122–131.

[10] Брайан Нэппер, математический факультет и Mark 1 .

[11] Основные страницы, Главный глоссарий: мегапрайм .

[12] Maugh II, Томас Х. (2008-09-27). «Математики Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе открывают простое число, состоящее из 13 миллионов цифр» . Лос-Анджелес Таймс . Проверено 21 мая 2011 .

[13] Тиа Гхош. «Обнаружено наибольшее простое число» . Scientific American . Проверено 7 февраля 2013 .

[GIMPS-2016-14] Купер, Кертис (7 января 2016 г.). "Открытие простого числа Мерсенна - 2 74207281 - 1 является простым !" . Мерсенна Research, Inc . Проверено 22 января +2016 .

[15] Рианна Брук, Роберт (19 января 2016 г.). «Простое число с 22 миллионами цифр - самое большое из когда-либо найденных» . Новый ученый . Проверено 19 января +2016 .

[NYT-20160121-16] Рианна Чанг, Кеннет (21 января 2016 г.). «Новое наибольшее простое число = от 2 до 74 миллионов ... эээ, оно большое» . Нью-Йорк Таймс . Проверено 22 января +2016 .

[17] "Вехи" . Архивировано из оригинала на 2016-09-03.

[18] "Мерсенн Прайм Дискавери - 2 ^ 77232917-1 это Прайм!" . www.mersenne.org . Проверено 3 января 2018 .

[19] «GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 ^ 82,589,933-1» . Проверено 1 января 2019 .

[20] Мерсенна страница будет Эджингтон по архивации 2014-10-14 в Wayback Machine

[21] Колдуэлл, Крис К. "Доказательство результата Эйлера и Лагранжа о делителях Мерсенна" . Prime Pages .

[Philolaus-22] Древние египтяне не упоминали простые числа, и у них не было никакого известного сегодня понятия простых чисел. В папирусе Ринда (1650 г. до н.э.) разложения египетских дробей имеют довольно разные формы для простых и составных чисел, поэтому можно утверждать, что они знали о простых числах. «Египтяне использовали ($) в таблице выше для первых простых чисел $r$ = 3, 5, 7 или 11 (также для $r$ = 23). Вот еще одно интригующее наблюдение: египтяне прекратили использование ($) в 11 предполагает, что они поняли (по крайней мере, некоторые части) Решета Эратосфена за 2000 лет до того, как Эратосфен «открыл» его ». Ринд 2 / п Таблица[Проверено 11 ноября 2012 г.]. В школе Пифагора (р. Около 570 - р. Около 495 г. до н.э.) и пифагорейцев мы находим первые достоверные наблюдения простых чисел. Следовательно, первые два простых числа Мерсенна, 3 и 7, были известны и, можно даже сказать, были ими открыты. Однако здесь нет ссылки на их особую форму 2 ² - 1 и 2 ³ - 1 как таковую. Источники знания простых чисел у пифагорейцев запаздывают. Философ-неоплатоник Ямвлих , н.э. ок. 245 – с. 325, утверждает, что греческий философ-платоник Спевсипп , ок. 408 - 339/8 до н.э., написал книгу под названием « О числах Пифагора».. Согласно Ямвлиху, эта книга была основана на трудах пифагорейца Филолая , ок. 470 – ок. 385 г. до н.э., живший через столетие после Пифагора , 570 - ок. 495 г. до н.э. В своей « Теологии арифметики» в главе «Десятилетие» Ямвлих пишет: «Спевсипп, сын Потона, сестры Платона, и глава Академии до Ксенократа, составил отточенную небольшую книгу из пифагорейских сочинений, которые особенно ценились в любое время и особенно из сочинений Филолая; он озаглавил книгу О пифагорейских числах. В первой половине книги он элегантно излагает линейные числа [то есть простые числа], многоугольные числа и всевозможные плоские числа, твердые числа и пять цифр, которые относятся к элементам вселенной, обсуждая их индивидуальные атрибутов и их общих черт, а также их соразмерности и взаимности ». Ямвлих « Богословие арифметики », перевод Робина Уотерфилда, 1988, стр. 112f. [Проверено 11 ноября 2012 г.]. Ямвлих также приводит прямую цитату из книги Спевсиппа , где Спевсиппсреди прочего пишет: «Во-вторых, необходимо, чтобы совершенное число [понятие« идеальное число »не используется здесь в современном смысле], содержало равное количество простых и несоставных чисел, а также вторичных и составных чисел». Ямвлих «Богословие арифметики» в переводе Робина Уотерфилда, 1988, стр. 113. [Проверено 11 ноября 2012 г.]. О греческом оригинальном тексте см. Спевсипп Афинский: Критическое исследование со сборником родственных текстов и комментариями Леонардо Тарана, 1981, с. 140 линий 21-22 [Источник 2012-11-11] В своих комментариях к Никомаху из Gerasas «s Введения в арифметику , Ямвлихи также упоминает , что Тимаридас, ок. 400 г. до н.э. - ок. 350 г. до н.э. использует термин прямолинейный для простых чисел, и что Теон из Смирны , эт. 100 г. н.э. в качестве альтернативных терминов используются эвтиметрический и линейный . Никомах Герасинский, Введение в арифметику, 1926, стр. 127 [Проверено 11 ноября 2012 г.] Однако неясно, когда это сказано, что Тимарид жил. «В весьма подозрительном отрывке из Ямвлиха Фимарид указан как ученик самого Пифагора». Пифагореизм [Проверено 11.11.2012] До Филолая , ок. 470 – ок. 385 г. до н.э., у нас нет никаких доказательств знания простых чисел.

[Euclid-23] «Элементы Евклида, Книга IX, Предложение 36» .

[ibnFallus-24] Арабский математик Исмаил ибн Ибрагим ибн Фаллус (1194–1239) знал первые семь совершенных чисел за много лет до того, как они были обнаружены в Европе; см. Совершенные числа из архива истории математики MacTutor . Ссылка: Brentjes, Sonja (1987). "Die ersten sieben vollkommenen Zahlen und drei Arten befreundeter Zahlen in einem Werk zur elementaren Zahlentheorie von Ismā'īl b. Ibrāhīm b. Fallūs" [Первые семь совершенных чисел и три вида дружественных чисел в работе Исмы по элементарной теории чисел īl b. Ибрахим б. Фаллус]. NTM Schriftenreihe für Geschichte der Naturwissenschaften, Technik und Medizin(на немецком). 24 (1): 21–30. OCLC 812888599 . Zbl 0625.01005 ..

[primepages-25] Основные страницы, Простые числа Мерсенна: история, теоремы и списки .

[26] Мы находим самую старую (бесспорную) заметку о результате в Кодексе № 14908, который происходит от Bibliotheca monasterii ord. S. Benedicti ad S. Emmeramum Ratisbonensis теперь в архиве Bayerische Staatsbibliothek, см. «Хальм, Карл / Лаубманн, Георг фон / Мейер, Вильгельм: Catalogus codicum latinorum Bibliothecae Regiae Monacensis, Bd .: 2,2, Monachii, 1876, стр. 250 ".[проверено 17 сентября 2012 г.] Кодекс №. 14908 состоит из 10 различных средневековых работ по математике и смежным предметам. Авторы большинства этих произведений известны. Некоторые авторы считают монаха Фридерикуса Герхарта (Амман), 1400–1465 (Frater Fridericus Gerhart monachus ordinis sancti Benedicti astrologus Professus in monasterio sancti Emmerani diocesis Ratisponensis et in ciuitate eiusdem) автором части, где упоминается простое число 8191. Geschichte Der Mathematik [обнаружено 17 сентября 2012 г.] Вторая рукопись Codex nr. 14908 имеет название «Regulae et instance arithmetica, algebraica, geometrya» и 5-е совершенное число, и все факторы, включая 8191, упомянуты на листе №. 34 a tergo (оборотная сторона стр. 34). Части рукописи опубликованы вArchiv der Mathematik und Physik, 13 (1895), стр. 388–406 [получено 23 сентября 2012 г. ]

[27] "A i lettori. Nel trattato de 'numeri perfetti, che giàfino dell anno 1588 composi, oltrache se era passato auáti à Trouarne molti auertite molte cose, se era anco ampamente dilatatala Tauola de' numeri composti, di ciascuno de 'quali per ordine li components, onde preposto unnum. " п. 1 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[28] стр. 13–18 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[29] стр. 18–22 в Trattato de 'nvumeri perfetti Di Pietro Antonio Cataldo 1603. http://fermi.imss.fi.it/rd/bdv?/bdviewer@selid=1373775# ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[30] ttp://bibliothek.bbaw.de/bbaw/bibliothek-digital/digitalequellen/schriften/anzeige/index_html?band=03-nouv/1772&seite:int=36 Архивировано 31 марта 2012 г.в Wayback Machine Nouveaux Mémoires de l 'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres 1772, стр. 35–36 EULER, Leonhard: Extrait d'une lettre à M. Bernoulli, Concerant le Mémoire imprimé parmi ceux de 1771. p. 318 [intitulé: Recherches sur les diviseurs de quelques nombres très grands, состоящих из сомнительного элемента géométrique 1 + 101 + 102 + 103 + ... + 10T = S]. Проверено 2 октября 2011.

[31] ttp://primes.utm.edu/notes/by_year.html#31 Дата и год открытия неизвестны. Возможны даты между 1752 и 1772 годами.

[32] Крис К. Колдуэлл. «Модульные ограничения на дивизоры Мерсенна» . Primes.utm.edu . Проверено 21 мая 2011 .

[33] «En novembre de l'année 1883, dans la correance de Notre Académie se Trouve une communication, contient l'assertion que le nombre 2 ⁶¹ - 1 = 2305843009213693951 est un nombre premier. /… / Le tome XLVIII des Mémoires Russes de l'Académie /… / contient le compte-rendu de la séance du 20 декабря 1883, dans lequel l'objet de la communication du père Pervouchine est indiqué avec précision ». Бюллетень имперской академии наук Санкт-Петербурга, с. 3, т. 31, 1887 г., кол. 532–533. https://www.biodiversitylibrary.org/item/107789#page/277/mode/1up[получено 17 сентября 2012 г.] См. также Mélanges mathématiques et astronomiques tirés du Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg v. 6 (1881–1888), pp. 553–554. См. Также Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg: Sciences mathématiques, Physiques et Naturelles, vol. 48

[34] Пауэрс, RE (1 января 1911). «Десятое идеальное число». Американский математический ежемесячник . 18 (11): 195–197. DOI : 10.2307 / 2972574 . JSTOR 2972574 .

[35] "М.Э. Фокенберг и его результаты исследований заместителя Феврие, et j'en ai reçu message le 7 Juin; M. Powers посланник 1^er Juin un cablógramme à M. Bromwich [секретарь Лондонского математического общества] для $M 107.$ Sur ma demande, ces deux auteurs m'ont adressé leurs remarquables résultats, et je m'empresse de les publier dans nos colnes, avec nos felicitations ". п. 103, Андре Жерардин, Nombres de Mersenne, стр. 85, 103–108 в Sphinx-dipe. [Journal mensuel de la curiosité, de concours & de mathématiques.] V. 9, No. 1, 1914.

[36] «Телеграмма Пауэра, объявляющая тот же самый результат, была отправлена в Лондонский математический институт. Итак, 1 июня 1914 года». Числа Мерсенна, Scripta Mathematica , v. 3, 1935, стр. 112–119 http://primes.utm.edu/mersenne/LukeMirror/lit/lit_008s.htm [получено 13 октября 2012 г.]

[37] ttp://plms.oxfordjournals.org/content/s2-13/1/1.1.full.pdf Proceedings / London Mathematical Society (1914) s2–13 (1): 1. Результат представлен на встрече с Лондонским математическим обществом 11 июня 1914. Проверено 2011-10-02.

[38] Prime Pages, M 107 : Fauquembergue или Powers? .

[39] ttp://visualiseur.bnf.fr/CadresFenetre?O=NUMM-3039&I=166&M=chemindefer Представлено на встрече с Академией наук (Франция) 10 января 1876 года. Дата обращения 2 октября 2011 г.

[autogenerated4-40] «Используя стандартный тест Лукаса для простых чисел Мерсенна, запрограммированный Р. М. Робинсоном, SWAC обнаружил простые числа 2 ⁵²¹ - 1 и 2 ⁶⁰⁷ - 1 30 января 1952 года». Д.Х. Лемер, Недавние открытия больших простых чисел , Математика вычислений, т. 6, № 37 (1952), с. 61, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-037/S0025-5718-52-99404-0/S0025-5718-52-99404-0.pdf [Дата обращения 18 сентября 2012 г. ]

[41] «Программа, описанная в примечании 131 (c), произвела 15-е простое число Мерсенна 2¹²⁷⁹ - 1 25 июня. SWAC проверяет это число за 13 минут и 25 секунд». Д.Х. Лемер, Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 6, № 39 (1952), с. 205, http://www.ams.org/journals/mcom/1952-06-039/S0025-5718-52-99387-3/S0025-5718-52-99387-3.pdf [Дата обращения 18сентября2012 г. ]

[autogenerated2-42] «Еще два простых числа Мерсенна, 2 ²²⁰³ - 1 и 2 ²²⁸¹ - 1, были обнаружены SWAC 7 и 9 октября 1952 года». Д.Х. Лемер, Два новых простых числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 7, № 41 (1952), с. 72, http://www.ams.org/journals/mcom/1953-07-041/S0025-5718-53-99371-5/S0025-5718-53-99371-5.pdf [Дата обращения 18 сентября 2012 г. ]

[43] "8 сентября 1957 года шведская электронная вычислительная машина BESK установила, что число Мерсенна $M 3217$ = 2 ³²¹⁷ - 1 является простым". Ханс Ризель, Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 12 (1958), стр. 60, http://www.ams.org/journals/mcom/1958-12-061/S0025-5718-1958-0099752-6/S0025-5718-1958-0099752-6.pdf [Дата обращения 18сентября2012 г. ]

[Hurwitz_and_Selfridge_1961-44] А. Гурвиц и Дж. Л. Селфридж, Числа Ферма и совершенные числа , Уведомления Американского математического общества, т. 8, 1961, стр. 601, аннотация 587-104.

[autogenerated5-45] «Если $p$ простое число, $M p = 2 p - 1$ называется числом Мерсенна. Простые числа $M 4253$ и $M 4423$ были обнаружены путем кодирования теста Лукаса-Лемера для IBM 7090.» Александр Гурвиц, Новые простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 16, No. 78 (1962), pp. 249–251, http://www.ams.org/journals/mcom/1962-16-078/S0025-5718-1962-0146162-X/S0025-5718-1962 -0146162-X.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]

[autogenerated3-46] « $Простые$ числа $M 9689$ , $M 9941$ и $M 11213,$ которые в настоящее время являются самыми большими известными простыми числами, были обнаружены Иллиаком II в лаборатории цифровых компьютеров Университета Иллинойса». Дональд Б. Гиллис, Три новых простых числа Мерсенна и статистическая теория , Математика вычислений, т. 18, No. 85 (1964), pp. 93–97, http://www.ams.org/journals/mcom/1964-18-085/S0025-5718-1964-0159774-6/S0025-5718-1964 -0159774-6.pdf [ проверено 18 сентября 2012 г.]

[47] Tuckerman, Bryant (1 октября 1971). «24-й прайм Мерсенна» . Труды Национальной академии наук . 68 (10): 2319–2320. DOI : 10.1073 / pnas.68.10.2319 .

[48] «30 октября 1978 года в $21:40$ мы обнаружили, что $M 21701$ является простым. Время процессора, необходимое для этого теста, составило 7:40:20. Позднее Такерман и Лемер подтвердили этот результат». Курт Нолл и Лаура Никель, 25-е и 26-е простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980 -0583517-4.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]

[49] "Из 125 оставшихся $M p$ только $M 23209$ оказался простым. Тест был завершен 9 февраля 1979 года в 4:06 после 8:39:37 процессорного времени. Позже Лемер и МакГроган подтвердили результат". Курт Нолл и Лаура Никель, 25-е и 26-е простые числа Мерсенна , Математика вычислений, т. 35, No. 152 (1980), pp. 1387–1390, http://www.ams.org/journals/mcom/1980-35-152/S0025-5718-1980-0583517-4/S0025-5718-1980 -0583517-4.pdf [Проверено 18 сентября 2012 г.]

[50] Дэвид Словински, «В поисках 27-го числа Мерсенна», Journal of Recreational Mathematics , v. 11 (4), 1978–79, стр. 258–261, MR 80g # 10013

[51] "27-е простое число Мерсенна. Оно состоит из 13395 цифр и равно 2⁴⁴⁴⁹⁷ - 1. [...] Его простота была определена 8 апреля 1979 года с помощью теста Лукаса-Лемера. Тест был запрограммирован на компьютере CRAY-1 Дэвид Словински и Гарри Нельсон ». (стр. 15) «Результатом было то, что после применения теста Лукаса – Лемера примерно к тысяче чисел, код определил в воскресенье, 8 апреля, что 2⁴⁴⁴⁹⁷ - 1 на самом деле является 27-м простым^числом Мерсенна». (стр. 17), Дэвид Словински, «В поисках 27-го прайма Мерсенна», Cray Channels , vol. 4, вып. 1. (1982), стр. 15–17.

[52] «БПФ, содержащее 8192 сложных элемента, что было минимальным размером, необходимым для тестирования M₁₁₀₅₀₃ , проработало примерно 11 минут на SX-2. Открытие $M 110503$ (29 января 1988 г.) было подтверждено». Колкитт, Л. Уэлш мл., Новое простое число Мерсенна , Математика вычислений, т. 56, No. 194 (апрель 1991 г.), стр. 867–870, http://www.ams.org/journals/mcom/1991-56-194/S0025-5718-1991-1068823-9/S0025-5718- 1991-1068823-9.pdf [ проверено 18 сентября 2012 г.]

[53] «На этой неделе два компьютерных эксперта нашли 31-е простое число Мерсенна. Но, к их удивлению, недавно обнаруженное простое число находится между двумя ранее известными простыми числами Мерсенна. Оно происходит, когда $p = 110 503$ , что делает его третьим по величине известнымпростым простым числомМерсенна». И. Петерсон, Подготовка к удачному удару Science News; 06.02.88, т. 133 Выпуск 6, стр. 85–85. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=3&hid=23&sid=9a9d7493-ffed-410b-9b59-b86c63a93bc4%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8824187 [Источник 2012-09-18 ]

[54] "Простые числа Мерсенна" . Omes.uni-bielefeld.de. 2011-01-05 . Проверено 21 мая 2011 .

[55] «Словински, инженер-программист компании Cray Research Inc. в Чиппева-Фолс, обнаружил это число в понедельник в 11:36. [То есть 19 сентября 1983 года]» Джим Хиггинс, «Число неуловимых цифр выросло» и «Ученый находит большое номер »в The Milwaukee Sentinel - 24 сентября 1983 г., стр. 1 , стр. 11 [получено 23 октября 2012 г.]

[56] "Это 30-й известный пример простого числа Мерсенна, числа, делящегося только на 1 и самого себя и записанного в форме $2 p - 1$ , где показатель $p$ также является простым числом. Например, 127 - это число Мерсенна. для которых показатель степени равен 7. Показатель экспоненты рекордного простого числа равен 216 091 ». И. Петерсон, Лучшее время для суперкомпьютеров Новости науки; 28.09.85, Т. 128 Выпуск 13, с. 199. http://ehis.ebscohost.com/ehost/detail?vid=4&hid=22&sid=c11090a2-4670-469f-8f75-947b593a56a0%40sessionmgr10&bdata=JnNpdGU9ZWhvc3QtbGl2ZQ%3d%3d#db=afh&AN=8840537 [Источник 2012-09 -18]

[57] "Программа Словински также нашла 28-е число в 1982 году, 29-е в 1983 году и 30-е [известное в то время] в прошедшие выходные, посвященные Дню труда. [ То есть 31 августа - 1 сентября 1985 года]" Рэд Салли, "Суперкомпьютер" '/ Счетное устройство Chevron находит большее простое число " Houston Chronicle , Friday 20.09.1985, Раздел 1, Страница 26, 4 Star Edition [извлечено 23.10.2012]

[58] Prime Pages, Находка 32- го Мерсенна .

[59] Крис Колдуэлл, Наибольшие известные простые числа .

[60] Пресс-релиз Crays

[61] "Электронная почта Словинскиса" .

[62] Пресс-релиз Silicon Graphics https://web.archive.org/web/19970606011821/http://www.sgi.com/Headlines/1996/September/prime.html [последнее посещение - 30 сентября 2012 г.]

[63] Основные страницы, лучший рекордный размер! 2 1257787 - 1 .

[64] GIMPS Обнаруживает тридцать пятой Мерсенна .

[65] GIMPS Обнаруживает тридцать шестой Известный Мерсенна .

[66] GIMPS Обнаруживает тридцать седьмой Известный Мерсенна .

[67] GIMPS находит первое простое число в миллион цифр и претендует на премию EFF в размере 50 000 долларов .

[68] GIMPS, исследователи открывают крупнейшее многомиллионное число простых чисел, используя Entropia Distributed Computing Grid .

[69] GIMPS, проект Мерсенна обнаруживает наибольшее известное простое число во всемирной добровольной компьютерной сети .

[70] GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 24 036 583 - 1 .

[71] GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 25 964 951 - 1 .

[72] GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает новое наибольшее известное простое число, 2 30,402,457 - 1 .

[73] GIMPS, проект Mersenne.org обнаруживает наибольшее известное простое число, 2 32 582 657 - 1 .

[mp-74] « Титаник Праймз» выиграл гонку за исследовательскую премию в размере 100 000 долларов . Проверено 16 сентября 2008.

[76] "12 апреля [2009], 47-е известное простое число Мерсенна, 2^{42 643 801} - 1, 12 837 064 цифры было найдено Odd Magnar Strindmo из Мельхуса, Норвегия! Это простое число является вторым по величине известным простым числом," всего лишь "141 125 цифры меньше, чем простое число Мерсенна, найденное в августе прошлого года. ", Домашняя страница списка наибольших известных простых чисел, http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=88847 [получено 18сентября2012 г.]

[m48-79] «GIMPS открывает 48-й Мерсенн-Прайм, 2 57,885,161 - 1 теперь является самым большим известным праймом » . Отличный Интернет-поиск Mersenne Prime . Проверено 19 января 2016 .

[80] "Список известных простых чисел Мерсенна" . Проверено 29 ноября 2014 года .

[GIMPS-2017-82] «Проект GIMPS обнаруживает наибольшее известное простое число: 2 77 232 917 -1» . Мерсенна Research, Inc . 3 января 2018 . Проверено 3 января 2018 .

[83] "Список известных простых чисел Мерсенна" . Проверено 3 января 2018 .

[GIMPS_Milestones-84] Отчет о вехах GIMPS . Дата обращения 17 мая 2019

[85] Колдуэлл, « Самый большой известный премьер по годам: краткая история » свеб-сайта Prime Pages , Университет Теннесси в Мартине .

[86] Торстен Кляйнджунг , Йоппе Бос , Арьен Ленстра «Фабрика факторизации Мерсенна» http://eprint.iacr.org/2014/653.pdf

[87] Анри Лифшиц и Рено Лифшиц. "PRP Top Records" . Проверено 21 марта 2018 .

[88] "Статус экспоненты для M1277" . Проверено 22 июня 2018 .

[89] Петкович, Миодраг (2009). Известные загадки великих математиков . Книжный магазин AMS. п. 197. ISBN 978-0-8218-4814-2.

[90] Алан Чемберлин. "Браузер базы данных малых тел JPL" . Ssd.jpl.nasa.gov . Проверено 21 мая 2011 .

[91] "OEIS A016131" . Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей.

[92] Тайфун Пэй и Джеймс Л. Кокс. «Обзор некоторых классов семантической и синтаксической сложности» .

[93] "Исследование простых чисел Мерсенна и Ферма" . Архивировано из оригинала на 2012-05-29.

[94] Солинас, Джером А. (1 января 2011). «Обобщенное прайм Мерсенна». В Тилборге, фургон Хенк Калифорния; Jajodia, Sushil (ред.). Энциклопедия криптографии и безопасности . Springer США. С. 509–510. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-5906-5_32 . ISBN 978-1-4419-5905-8.

[95] Крис Колдуэлл: Главный Глоссарий: Гауссовский Мерсенн (часть Prime Pages )

[96] Zalnezhad Али; Зальнежад, Хоссейн; Шабани, Гасем; Зальнежад, Мехди (март 2015 г.). «Взаимосвязи и алгоритм для достижения наибольших простых чисел». arXiv : 1503.07688 .

[97] ( x , 1) и ( x , −1) для x = от 2 до 50

[98] ( x , 1) для x = от 2 до 160

[99] ( x , −1) для x = 2 до 160

[100] ( x + 1, x ) для x = от 1 до 160

[101] ( x + 1, - x ) для x = от 1 до 40

[102] ( x + 2, x ) для нечетных x = от 1 до 107

[103] ( x , −1) для x = от 2 до 200

[104] Записи PRP, поиск (a ^ nb ^ n) / c, то есть ( a , b )

[105] Записи PRP, поиск (a ^ n + b ^ n) / c, то есть ( a , - b )

[106] "Обобщенная гипотеза о воссоединении" .

[1]

vтеКлассы простых чисел
По формуле	Ферма ( 2 2 n + 1 ) Мерсенн ( 2 ч - 1 ) Двойной Мерсенн ( 2 2 p −1 - 1 ) Вагстафф (2 п + 1) / 3 Прот ( k · 2 n + 1 ) Факториал ( n ! ± 1 ) Первобытный ( p n # ± 1 ) Евклид ( p n # + 1 ) Пифагорейский ( 4 n + 1 ) Pierpont ( 2 м · 3 n + 1 ) Квартан ( x 4 + y 4 ) Солины ( 2 м ± 2 п ± 1 ) Каллен ( n · 2 n + 1 ) Вудалл ( n · 2 n - 1 ) Кубинский ( x 3 - y 3 ) / ( x - y ) Кэрол (2 н - 1) 2 - 2 Киния (2 п + 1) 2 - 2 Лейланд ( x y + y x ) Табит ( 3 · 2 n - 1 ) Уильямс ( ( b −1) · b n - 1 ) Миллс ( ⌊ A 3 n ⌋ )
По целочисленной последовательности	Фибоначчи Лукас Пелл Ньюман – Шанкс – Уильямс Перрин Перегородки Колокол Моцкин
По собственности	Виферих ( пара ) Стена – Солнце – Солнце Wolstenholme Уилсон Счастливчик Удачливый Рамануджан Пиллаи Обычный Сильный Штерн Суперсингулярный (эллиптическая кривая) Суперсингулярный (теория самогона) Хороший супер Хиггс Очень cototient
Базовая зависимость	Палиндромный Эмирп Repunit (10 п - 1) / 9 Перестановочный Круговой Усекаемый Минимальный Слабо Первобытный Полное повторение Уникальный Счастливый Себя Смарандаче – Веллин Стробограмматический Двугранный Тетрадич
Узоры	Близнец ( p , p + 2 ) Цепочка двойных двойников ( n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1,… ) Триплет ( p , p + 2 или p + 4, p + 6 ) Четверной ( p , p + 2, p + 6, p + 8 ) k −Tuple Кузен ( p , p + 4 ) Сексуальный ( p , p + 6 ) Чен Софи Жермен / Сейф ( p , 2 p + 1 ) Каннингем ( p , 2 p ± 1, 4 p ± 3, 8 p ± 7, ... ) Арифметическая прогрессия ( p + a · n , n = 0, 1, 2, 3, ... ) Сбалансированный ( последовательные p - n , p , p + n )
По размеру	Титаник (более 1000 цифр) Гигантский (более 10 000 цифр) Мега (более 1000000 цифр) Самый большой известный
Сложные числа	Эйзенштейн простое Гауссово простое число
Составные числа	Псевдопремия Каталонский Эллиптический Эйлер Эйлер – Якоби Ферма Фробениус Лукас Сомер – Лукас Сильный Число Кармайкла Почти премьер Полупростой Interprime Пагубный
похожие темы	Вероятное простое число Прайм промышленного класса Незаконный премьер Формула для простых чисел Главный разрыв
Первые 60 простых чисел	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 год 37 41 год 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
Список простых чисел