Составное число

Демонстрация делителей составного числа 10 с помощью стержней Кюизенера.

Сравнение простых и составных чисел

Составное число является положительным целым числом , которое может быть образовано путем умножения двух меньших положительных целых чисел. Эквивалентно, это положительное целое число, у которого есть хотя бы один делитель, отличный от 1 и самого себя. ^{[1] [2]} Каждое положительное целое число является составным, простым или единицей  1, поэтому составные числа - это в точности числа, которые не являются простыми и не единицами. ^{[3] [4]}

Например, целое число 14 является составным числом, потому что оно является произведением двух меньших целых чисел 2  ×  7 . Точно так же целые числа 2 и 3 не являются составными числами, потому что каждое из них может быть разделено только на одно и само.

Составные числа до 150 - это

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150. (последовательность A002808 в OEIS )

Каждое составное число можно записать как произведение двух или более (не обязательно различных) простых чисел. ^[5] Например, составное число 299 можно записать как 13 × 23, а составное число 360 можно записать как 2 ³ × 3 ² × 5; более того, это представление уникально до порядка факторов. Этот факт называется основной теоремой арифметики . ^{[6] [7] [8] [9]}

Существует несколько известных тестов на простоту, которые могут определить, является ли число простым или составным, не обязательно раскрывая факторизацию составного ввода.

Типы [ править ]

Один из способов классификации составных чисел - это подсчет количества простых множителей. Составное число с двумя простыми множителями является полупростым или 2-почти простым числом (множители не обязательно должны быть различными, поэтому учитываются квадраты простых чисел). Составное число с тремя различными простыми множителями - это сфеническое число . В некоторых приложениях необходимо различать составные числа с нечетным числом различных простых множителей и числами с четным числом различных простых множителей. Для последнего

${\ Displaystyle \ му (п) = (- 1) ^ {2x} = 1}$

(где μ - функция Мёбиуса, а x - половина суммы простых множителей), а для первого

${\ displaystyle \ mu (n) = (- 1) ^ {2x + 1} = - 1.}$

Однако для простых чисел функция также возвращает -1 и . Для числа n с одним или несколькими повторяющимися простыми множителями${\ Displaystyle \ mu (1) = 1}$

${\ Displaystyle \ му (п) = 0}$. ^[10]

Если все простые множители числа повторяются, это называется сильным числом (все совершенные степени - мощные числа). Если ни один из его простых множителей не повторяется, он называется бесквадратным . (Все простые числа и 1 не содержат квадратов.)

Например, 72 = 2 ³ × 3 ² , все простые множители повторяются, поэтому 72 - сильное число. 42 = 2 × 3 × 7, ни один из простых множителей не повторяется, поэтому 42 не содержит квадратов.

Эйлер диаграмма из обильных , примитивных обильных , весьма обильных , обильных , колоссально обильных , высоко композитных , превосходящих высоко композитных , странных и совершенных чисел под 100 в связи с дефицитом и составных числами

Другой способ классификации составных чисел - подсчет количества делителей. Все составные числа имеют не менее трех делителей. В случае квадратов простых чисел эти делители равны . Число n, которое имеет больше делителей, чем любое x < n, является очень составным числом (хотя первые два таких числа - 1 и 2).${\ displaystyle \ {1, p, p ^ {2} \}}$

Составные числа также называются «прямоугольными числами», но это имя также может относиться к проническим числам , числам, которые являются произведением двух последовательных целых чисел.

Еще один способ классификации составных чисел - определить, все ли простые множители ниже или все выше некоторого фиксированного (простого) числа. Такие числа называются гладкими числами и приблизительными числами соответственно.

См. Также [ править ]

• Каноническое представление положительного целого числа
• Целочисленная факторизация
• Сито Эратосфена
• Таблица основных факторов

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
• Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Лонг, Кальвин Т. (1972), Элементарное введение в теорию чисел (2-е изд.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77-171950
• Маккой, Нил Х. (1968), Введение в современную алгебру, переработанное издание , Бостон: Аллин и Бэкон , LCCN  68-15225
• Петтофреццо, Энтони Дж .; Биркит, Дональд Р. (1970), Элементы теории чисел , Englewood Cliffs: Prentice Hall , LCCN  77-81766

Внешние ссылки [ править ]

• Списки композитов с простой факторизацией (первые 100, 1000, 10000, 100000 и 1000000)
• График делителя (закономерности в больших составных числах)