Функция Мебиуса μ ( n ) - важная мультипликативная функция в теории чисел, введенная немецким математиком Августом Фердинандом Мебиусом (также транслитерированным Мебиусом ) в 1832 году. [I] [ii] [2] Она широко распространена в элементарной и аналитической теории чисел и чаще всего появляется как часть одноименной формулы обращения Мебиуса . Следуя работе Джан-Карло Рота в 1960-х годах, в комбинаторику были введены обобщения функции Мёбиуса, которые аналогичным образом обозначаются μ (x) .
Определение
Для любого натурального числа n определим μ ( n ) как сумму первообразных корней n- й степени из единицы . Он имеет значение в {-1, 0, 1} в зависимости от разложения из п в простые множители :
- μ ( n ) = если 1, n -положительное целое число без квадратов с четным числом простых множителей.
- μ ( n ) = −1, если n - положительное целое число без квадратов с нечетным числом простых множителей.
- μ ( n ) = если 0, n имеет квадрат простого множителя.
В качестве альтернативы функцию Мёбиуса можно представить в виде
где это Кронекера , λ ( п ) является функцией лиувиллевское , ω ( п ) есть число различных простых делителей п , а Ω ( п ) есть число простых множителей п , с учетом кратности.
Значения μ ( n ) для первых 30 положительных чисел (последовательность A008683 в OEIS ) равны
п | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
μ ( п ) | 1 | −1 | −1 | 0 | −1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 |
п | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
μ ( п ) | −1 | 0 | −1 | 1 | 1 | 0 | −1 | 0 | −1 | 0 |
п | 21 год | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 год | 27 | 28 год | 29 | 30 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
μ ( п ) | 1 | 1 | −1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | −1 | −1 |
Первые 50 значений функции показаны ниже:
Приложения
Математический ряд
В серии Дирихле , что генерирует функция Мёбиуса является (мультипликативный) обратной по отношению к дзета - функции Римана ; если s - комплексное число с действительной частью больше 1, мы имеем
Это видно из его произведения Эйлера
Также:
Серии Ламберта для функции Мёбиуса является:
который сходится при | q | <1 . Для прайма, у нас также есть
Алгебраическая теория чисел
Гаусс [1] доказал, что для простого числа p сумма его первообразных корней сравнима с μ ( p - 1) (mod p ) .
Если F q обозначает конечное поле порядка q (где q обязательно является степенью простого числа), то число N монических неприводимых многочленов степени n над F q определяется следующим образом: [3]
Характеристики
Функция Мёбиуса является мультипликативной ( т.е. μ ( AB ) = μ ( ) μ ( б ) ) всякий раз , когда и б являются взаимно простыми .
Сумма функции Мёбиуса по всем положительным делителям n (включая само n и 1) равна нулю, кроме случаев, когда n = 1 :
Приведенное выше равенство приводит к важной формуле обращения Мёбиуса и является основной причиной того, почему μ имеет значение в теории мультипликативных и арифметических функций.
Другие приложения μ ( n ) в комбинаторике связаны с использованием теоремы Пойа о перечислении в комбинаторных группах и комбинаторных перечислениях.
Существует формула [4] для вычисления функции Мёбиуса без прямого знания факторизации ее аргумента:
т.е. μ ( п ) является суммой примитивных п -х корней из единицы . (Однако вычислительная сложность этого определения по крайней мере такая же, как у определения произведения Эйлера.)
Доказательство формулы для ∑ d | п µ ( г )
С использованием
формула
можно рассматривать как следствие того факта, что сумма корней n- й степени из единицы равна 0, поскольку каждый корень n- й степени из единицы является примитивным корнем степени d из единицы ровно для одного делителя d числа n .
Однако это также можно доказать из первых принципов. Прежде всего отметим, что это тривиально верно, когда n = 1 . Предположим тогда, что n > 1 . Тогда существует взаимно однозначное соответствие между множителями d числа n, для которых μ ( d ) 0, и подмножествами множества всех простых множителей числа n . Утвержденный результат следует из того факта, что каждое непустое конечное множество имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности.
Последний факт легко показать индукцией по мощности | S | из непустого конечного множества S . Во-первых, если | S | = 1 , существует ровно одно подмножество нечетной мощности в S , а именно само S , и ровно одно подмножество четной мощности, а именно ∅ . Далее, если | S | > 1 , а затем разделить подмножества S на два подкласса в зависимости от того, содержат ли они или нет некоторого фиксированного элемента х в S . Между этими двумя подклассами существует очевидное взаимное соответствие, объединяющее те подмножества, которые имеют одинаковое дополнение относительно подмножества { x } . Кроме того, один из этих двух подклассов состоит из всех подмножеств множества S \ { x } и, следовательно, по предположению индукции имеет равное количество подмножеств нечетной и четной мощности. Эти подмножества, в свою очередь, биективно соответствуют подмножествам S, содержащим четную и нечетную мощность { x } . Индуктивный шаг следует непосредственно из этих двух биекций.
Связанный результат состоит в том, что биномиальные коэффициенты показывают чередующиеся элементы нечетной и четной степени, которые суммируются симметрично.
Функция Мертенса
В теории чисел другой арифметической функцией, тесно связанной с функцией Мёбиуса, является функция Мертенса , определяемая формулой
для каждого натурального числа n . Эта функция тесно связана с положением нулей дзета-функции Римана . См. Статью о гипотезе Мертенса для получения дополнительной информации о связи между M ( n ) и гипотезой Римана .
Из формулы
из этого следует, что функция Мертенса определяется выражением:
где F n - последовательность Фарея порядка n .
Эта формула используется при доказательстве теоремы Франеля – Ландау . [5]
Средний заказ
Среднее значение (в смысле среднего порядка) функции Мёбиуса равна нулю. Это утверждение фактически эквивалентно теореме о простых числах . [6]
М ( п ) секции
μ ( n ) = 0 тогда и только тогда, когда n делится на квадрат простого числа. Первые числа с этим свойством (последовательность A013929 в OEIS ):
- 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, .. ..
Если n простое, то μ ( n ) = −1 , но обратное неверно. Первое непростое число n, для которого μ ( n ) = −1, равно 30 = 2 × 3 × 5 . Первыми такими числами с тремя различными простыми множителями ( сфеническими числами ) являются:
- 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154, 165, 170, 174, 182, 186, 190, 195, 222, ... (последовательность A007304 в OEIS ) .
и первые такие числа с 5 различными простыми множителями:
- 2310, 2730, 3570, 3990, 4290, 4830, 5610, 6006, 6090, 6270, 6510, 6630, 7410, 7590, 7770, 7854, 8610, 8778, 8970, 9030, 9282, 9570, 9690, ... ( последовательность A046387 в OEIS ).
Обобщения
Алгебры инцидентности
В комбинаторике каждому локально конечному частично упорядоченному множеству (ч.у.) назначается алгебра инцидентности . Одним из выдающихся членов этой алгебры является «функция Мёбиуса» того же Пауза. Классическая функция Мёбиуса, рассматриваемая в этой статье, по существу равна функции Мёбиуса множества всех натуральных чисел, частично упорядоченных по делимости . См. Статью об алгебрах инцидентности для получения точного определения и нескольких примеров этих общих функций Мёбиуса.
Функция Поповича
Константин Попович [7] определил обобщенную функцию Мёбиуса µ k = µ ∗ ... ∗ µ как k -кратную свертку Дирихле функции Мёбиуса с самой собой. Таким образом, это снова мультипликативная функция с
где биномиальный коэффициент принимается равным нулю, если a > k . Определение может быть расширено до комплексного k , читая бином как многочлен от k . [8]
Физика
Функция Мёбиуса также возникает в модели суперсимметрии примонного газа или свободного газа Римана . В этой теории фундаментальные частицы или «примоны» имеют энергии log p . При вторичном квантовании учитываются многочастичные возбуждения; они даются log n для любого натурального числа n . Это следует из того факта, что разложение натуральных чисел на простые числа однозначно.
В свободном газе Римана может встречаться любое натуральное число, если примоны взяты за бозоны . Если их рассматривать как фермионы , то принцип исключения Паули исключает квадраты. Тогда оператор (−1) F, который различает фермионы и бозоны, есть не что иное, как функция Мёбиуса μ ( n ) .
Свободный газ Римана имеет ряд других интересных связей с теорией чисел, включая тот факт, что статистическая сумма является дзета-функцией Римана . Эта идея лежит в основе попытки Алена Конна доказательства гипотезы Римана . [9]
Смотрите также
- Функция Лиувилля
- Функция Мертенса
- Сумма Рамануджана
- Сфеническое число
Заметки
- ^ Харди и Райт, Примечания к гл. XVI: «... μ ( n ) неявно встречается в работах Эйлера еще в 1748 году, но Мёбиус в 1832 году был первым, кто систематически исследовал его свойства». ( Харди и Райт 1980 , примечания к главе XVI)
- ^ В Disquisitiones Arithmeticae (1801) Карл Фридрих Гаусс показал, что сумма примитивных корней ( mod p ) равна μ ( p - 1) (см. # Свойства и приложения ), но он не использовал эту функцию в дальнейшем. В частности, он не использовал инверсию Мёбиуса в Disquisitiones . [1] " Disquisitiones Arithmeticae" переведена с латыни на английский и немецкий языки. Немецкое издание включает все его работы по теории чисел: все доказательства квадратичной взаимности, определение знака суммы Гаусса, исследования биквадратичной взаимности и неопубликованные заметки.
Цитаты
- ^ a b Гаусс 1986 , ст. 81.
- Перейти ↑ Möbius 1832 , pp. 105–123.
- ^ Якобсон 2009 , §4.13.
- ^ Харди и Райт 1980 , (16.6.4), стр. 239.
- ^ Эдвардс 1974 , гл. 12.2.
- ↑ Апостол 1976 , §3.9.
- ^ Поповича 1963 , стр. 493-499.
- ^ Шандор & Crstici 2004 , стр. 107.
- ^ Bost & Конн 1995 , стр. 411-457.
Источники
- Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для бакалавров по математике, Нью-Йорк; Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001
- Bost, J.-B .; Конн, Ален (1995), "Hecke Алгебра, тип III факторов и фазовые переходы со спонтанным нарушением симметрии в теории чисел" , Selecta Mathematica , Новая серия, 1 (3): 411-457, DOI : 10.1007 / BF01589495 , S2CID 116418599
- Делеглиз, Марк; Рива, Жоэль (1996), "Вычисление суммирования функции Мебиуса" , Экспериментальная Математика , 5 (4): 291-295, DOI : 10,1080 / 10586458.1996.10504594
- Эдвардс, Гарольд (1974), дзета-функция Римана , Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-41740-9
- Гаусс, Карл Фридрих (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae и другие статьи по теории чисел) , Х. Мазер (немецкий переводчик) (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 0-8284-0191-8
- Гаусс, Карл Фридрих (1986), Disquisitiones Arithemeticae , Артур А. Кларк (английский переводчик) (исправленное 2-е изд.), Нью-Йорк: Springer , ISBN 0-387-96254-9
- Харди, GH ; Райт, EM (1980) [Первое издание опубликовано в 1938 году], Введение в теорию чисел (5-е изд.), Oxford: Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853171-5- через Интернет-архив
- Джейкобсон, Натан (2009) [Впервые опубликовано в 1985 г.], Основная алгебра I (2-е изд.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
- Климов, Н.И. (2001) [1994], "Функция Мёбиуса" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Мебиус, AF (1832), «Uber eine besondere Art von Umkehrung der Reihen» , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 9 : 105–123
- Пегг, Эд, младший (2003), "Функция Мёбиуса (и бесквадратные числа)" , Математические игры Эда Пегга
- Поповичи, Константин П. (1963), «Обобщение функции Мебиуса», Studii şi Cercetări Matematice , 14 : 493–499, MR 0181602
- Шандор, Йожеф; Crstici, Borislav (2004), Справочник по теории чисел II , Dordrecht: Kluwer Academic, ISBN 1-4020-2546-7, Zbl 1079,11001
- Шандор, Йожеф; Mitrinović, Dragoslav S .; Crstici, Борислав, ред. (2006), Справочник по теории чисел I , Дордрехт: Springer-Verlag , стр. 187–226, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151,11300
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Функция Мёбиуса» . MathWorld .