Основная функция омега

В теории чисел , то простые функции , омега и подсчитать число простых множителей натурального числа , таким образом , (мало омеги) подсчитывает каждый отличный простой множитель, в то время как соответствующие функции (большая омега) подсчитывает общее число простых факторов в честь их кратности ( см. арифметическую функцию ). Например, если мы имеем разложение на простые множители из формы для различных простых чисел ( ), то соответствующие функции премьера - омеги определяется и . Эти функции подсчета простых множителей имеют много важных теоретико-числовых соотношений.${\ Displaystyle \ omega (п)}$${\ Displaystyle \ Omega (п)}$${\ displaystyle n.}$${\ Displaystyle \ omega (п)}$${\ Displaystyle \ Omega (п)}$${\ displaystyle n,}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = p_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} p_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ cdots p_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\displaystyle 1\leq i\leq k}$${\displaystyle \omega (n)=k}$${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$

Свойства и отношения [ править ]

Функция является добавкой и является вполне аддитивным . ${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1}$

Если делится хотя бы один раз, мы считаем его только один раз, например${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}$

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha }$

Если делит время, мы считаем показатели, например${\displaystyle p}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$

${\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}$

Если тогда это бесквадратным , и связан с функцией Мёбиуса по ${\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}$

Если тогда - простое число.${\displaystyle \Omega (n)=1}$${\displaystyle n}$

Известно, что средний порядок функции делителей удовлетворяет . ^[1]${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}}$

Как и для многих арифметических функций, здесь нет явной формулы для или, но есть приближения.${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$

Асимптотический ряд для среднего порядка имеет вид ^[2]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

где есть постоянная Мертенс и являются постоянной Стилтьеса .${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$${\displaystyle \gamma _{j}}$

Функция связана с делителями сумм по функции Мёбиуса и функции делителей , включая следующие суммы. ^[3]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

Характеристическая функция из простых чисел может быть выражена с помощью свертки с функцией Мёбиуса : ^[4]

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

Точное тождество, связанное с разбиением, дается формулой ^[5]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

где - статистическая сумма , - функция Мёбиуса , а треугольная последовательность расширяется на${\displaystyle p(n)}$${\displaystyle \mu (n)}$${\displaystyle s_{n,k}}$

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

в терминах бесконечного символа q-Поххаммера и ограниченных статистических сумм, которые соответственно обозначают количество 's во всех разбиениях на нечетное ( четное ) количество различных частей. ^[6]${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$

Продолжение на комплексную плоскость [ править ]

Было найдено продолжение , но не везде аналитическое. ^[7] Обратите внимание, что используется нормализованная функция.${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \operatorname {sinc} }$

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}$

Функции среднего порядка и сумматора [ править ]

Средний порядок обоих и является . Когда является простым, нижняя граница значения функции равна . Аналогичным образом , если это primorial то функция такая же, как в среднем порядке. Когда это степень двойки , тогда . ^[8]${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \log \log n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log 2}}}$

Асимптотики сумматорных функций по , и вычисляются соответственно Харди и Райтом как ^{[9] [10]}${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

где снова постоянная Мертенса, а постоянная определяется как${\displaystyle B_{1}}$${\displaystyle B_{2}}$

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}.}$

Другие суммы, относящиеся к двум вариантам простых омега-функций, включают ^[11]

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

и

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

Пример 1. Модифицированная сумматорная функция [ править ]

В этом примере мы предлагаем вариант сумматорных функций, оцененных в приведенных выше результатах для достаточно больших . Затем мы доказываем асимптотическую формулу для роста этой модифицированной сумматорной функции, полученную из асимптотической оценки, приведенной в формулах в основном пункте этой статьи выше. ^[12]${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S_{\omega }(x)}$

Чтобы быть полностью точным, пусть функция сумматора с нечетным индексом определяется как

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)[n{\text{ odd}}],}$

где обозначает скобку Айверсона . Тогда у нас есть это${\displaystyle [\cdot ]}$

${\displaystyle S_{\operatorname {odd} }(x)={\frac {x}{2}}\log \log x+{\frac {(2B_{1}-1)x}{4}}+\left\{{\frac {x}{4}}\right\}-\left[x\equiv 2,3{\bmod {4}}\right]+O\left({\frac {x}{\log x}}\right).}$

Доказательство этого результата следует, сначала заметив, что

${\displaystyle \omega (2n)={\begin{cases}\omega (n)+1,&{\text{if }}n{\text{ is odd; }}\\\omega (n),&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\end{cases}}}$

а затем применяя асимптотический результат Харди и Райта для сумматорной функции над , обозначенной как , в следующей форме:${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle S_{\omega }(x):=\sum _{n\leq x}\omega (n)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\omega }(x)&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor }\omega (2n)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (4n)+\omega (4n+2)\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+\sum _{n\leq \left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor }\left(\omega (2n)+\omega (2n+1)+1\right)\\&=S_{\operatorname {odd} }(x)+S_{\omega }\left(\left\lfloor {\frac {x}{2}}\right\rfloor \right)+\left\lfloor {\frac {x}{4}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

Пример II: Сумматорные функции для так называемых факториальных моментов ${\displaystyle \omega (n)}$[ править ]

Вычисления, развернутые в главе 22.11 Харди и Райта, дают асимптотические оценки сумматорной функции

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\},}$

оценивая произведение этих двухкомпонентных омега-функций как

${\displaystyle \omega (n)\left\{\omega (n)-1\right\}=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{\stackrel {p\neq q}{p,q{\text{ prime}}}}}1=\sum _{\stackrel {pq\mid n}{p,q{\text{ prime}}}}1-\sum _{\stackrel {p^{2}\mid n}{p{\text{ prime}}}}1.}$

Мы можем аналогичным образом вычислить асимптотические формулы в более общем виде для связанных сумматорных функций по так называемым факториальным моментам функции .${\displaystyle \omega (n)}$

Серия Дирихле [ править ]

Известен ряд Дирихле с участием и дзета - функция Римана задается ^[13]${\displaystyle \omega (n)}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

Функция является вполне аддитивной , где это сильно аддитивным (добавка) . Теперь мы можем доказать короткую лемму в следующей форме, которая дает точные формулы для разложений ряда Дирихле по обоим и : ${\displaystyle \Omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)}$${\displaystyle \Omega (n)}$

Лемма. Предположим, что это сильно аддитивная арифметическая функция, определенная так, что ее значения при простых степенях задаются , т. Е. Для различных простых чисел и показателей . Ряд Дирихле из расширяется ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

Доказательство. Мы видим, что

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

Отсюда следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

везде, где сходятся соответствующие серии и произведения. В последнем уравнении мы использовали представление произведения Эйлера дзета-функции Римана .${\displaystyle \boxdot }$

Из леммы следует , что для , ${\displaystyle \Re (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega \lambda }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda (n)\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s),\end{aligned}}}$

где - простая дзета-функция, а - лямбда-функция Лиувилля .${\displaystyle P(s)}$${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

Распределение разности простых омега-функций [ править ]

Распределение различных целочисленных значений разностей является регулярным по сравнению с полуслучайными свойствами компонентных функций. В самом деле, пусть множества ${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$${\displaystyle k\geq 0}$

${\displaystyle N_{k}(x):=\#\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)=k\}.}$

У этих множеств есть соответствующая последовательность предельных плотностей, такая что при${\displaystyle d_{k}}$${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

Эти плотности генерируются основными продуктами

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

При абсолютной постоянной плотности удовлетворяют ${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$${\displaystyle d_{k}}$

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

Сравните с определением простых произведений, определенным в последнем разделе ^[14] в связи с теоремой Эрдеша – Каца .

См. Также [ править ]

• Аддитивная функция
• Арифметическая функция
• Теорема Эрдеша – Каца
• Омега-функция (значения)
• простое число
• Целое число без квадратов

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Г. Х. Харди и Э. М. Райт (2006). Введение в теорию чисел (6-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• HL Montgomery и RC Vaughan (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория (1-е изд.). Издательство Кембриджского университета.
• Шмидт, Макси (2017). "Теоремы факторизации для произведений Адамара и производные высшего порядка производящих функций ряда Ламберта". arXiv : 1712.00608 [ math.NT ].
• Вайсштейн, Эрик. «Разные основные факторы» . MathWorld . Проверено 22 апреля 2018 года .

Внешние ссылки [ править ]

• OEIS Wiki для связанных порядковых номеров и таблиц
• OEIS Wiki по основным факторам