Арифметическая функция

Эта статья представлена ​​в виде списка , но может читаться лучше как проза . Вы можете помочь, преобразовав эту статью , если это необходимо. Доступна помощь по редактированию . ( Июль 2020 г. )

В теории чисел , в арифметической , арифметической или теоретико-числовой функции ^{[1] [2]} для большинства авторов ^{[3] [4] [5]} любая функция F ( п ), область является положительными целыми числами и диапазон которого является подмножество из комплексных чисел . Харди и Райт включают в свое определение требование, чтобы арифметическая функция «выражала некоторое арифметическое свойство n ». ^[6]

Примером арифметической функции является функция делителя , значение которой при положительном целом числе n равно количеству делителей числа n .

Существует более широкий класс теоретико-числовых функций, не подпадающих под приведенное выше определение, например, функции подсчета простых чисел . В этой статье есть ссылки на функции обоих классов.

Арифметические функции часто бывают крайне нерегулярными (см. Таблицу ), но некоторые из них имеют разложение в ряд по сумме Рамануджана .

Мультипликативные и аддитивные функции [ править ]

Арифметическая функция а есть

• полностью аддитивно, если a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) для всех натуральных чисел m и n ;
• полностью мультипликативным, если a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) для всех натуральных чисел m и n ;

Два целых числа m и n называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1, то есть если нет простого числа, которое делит их оба.

Тогда арифметическая функция a есть

• аддитивно, если a ( mn ) = a ( m ) + a ( n ) для всех взаимно простых натуральных чисел m и n ;
• мультипликативным, если a ( mn ) = a ( m ) a ( n ) для всех взаимно простых натуральных чисел m и n .

Обозначение [ править ]

${\ Displaystyle \ сумма _ {р} е (р)}$   и     означают, что сумма или произведение складываются из всех простых чисел :${\ displaystyle \ prod _ {p} f (p)}$

${\displaystyle \sum _{p}f(p)=f(2)+f(3)+f(5)+\cdots }$

${\displaystyle \prod _{p}f(p)=f(2)f(3)f(5)\cdots .}$

Точно так же     и     означает, что сумма или произведение вычисляются по всем степеням простых чисел со строго положительной экспонентой (поэтому k = 0 не включается):${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})}$${\displaystyle \prod _{p^{k}}f(p^{k})}$

${\displaystyle \sum _{p^{k}}f(p^{k})=\sum _{p}\sum _{k>0}f(p^{k})=f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(7)+f(8)+f(9)+\cdots }$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}f(d)}$   и     означают, что сумма или произведение складываются по всем положительным делителям n , включая 1 и n . Например, если n = 12,${\displaystyle \prod _{d\mid n}f(d)}$

${\displaystyle \prod _{d\mid 12}f(d)=f(1)f(2)f(3)f(4)f(6)f(12).\ }$

Обозначения могут быть объединены:     и     означает , что сумма или произведение берется по всем простым делителям п . Например, если n = 18,${\displaystyle \sum _{p\mid n}f(p)}$${\displaystyle \prod _{p\mid n}f(p)}$

${\displaystyle \sum _{p\mid 18}f(p)=f(2)+f(3),\ }$

и аналогично     и     означают, что сумма или произведение вычисляются по всем степеням простого деления n . Например, если n = 24,${\displaystyle \sum _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid n}f(p^{k})}$

${\displaystyle \prod _{p^{k}\mid 24}f(p^{k})=f(2)f(3)f(4)f(8).\ }$

Ω ( n ), ω ( n ), ν _p ( n ) - разложение по степени простого числа [ править ]

Основная теорема арифметических состояний , что любой положительный целое число п может быть представлен единственным образом в виде произведения степеней простых чисел:     где р ₁ < р ₂ <... < р _к простым числа и в _J являются положительными целыми числами. (1 дается пустым произведением.)${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}}}$

Часто удобно записывать это как бесконечное произведение по всем простым числам, где все числа, кроме конечного, имеют нулевой показатель степени. Определим p -адическое нормирование ν _p ( n ) как показатель наивысшей степени простого числа p, которое делит n . То есть, если p является одним из p _i, то ν _p ( n ) = a _i , в противном случае он равен нулю. потом

${\displaystyle n=\prod _{p}p^{\nu _{p}(n)}.}$

В терминах изложенного выше простые омега-функции ω и Ω определяются равенствами

ω ( n ) = k ,

Ω ( п ) знак равно а ₁ + а ₂ + ... + а _к .

Чтобы избежать повторения, по возможности формулы для функций, перечисленных в этой статье, даны в терминах n и соответствующих p _i , a _i , ω и Ω.

Мультипликативные функции [ править ]

σ _k ( n ), τ ( n ), d ( n ) - суммы делителей [ править ]

σ k ( n ) - это сумма k- х степеней положительных делителей числа n , включая 1 и n , где k - комплексное число.

σ ₁ ( n ) , сумма (положительных) делителей числа n , обычно обозначается через σ ( n ) .

Поскольку положительное число в нулевой степени равно единице, σ ₀ ( n ) , следовательно, количество (положительных) делителей числа n ; обычно обозначается d ( n ) или τ ( n ) (от немецкого Teiler = divisors).

${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$

Установка k = 0 во втором продукте дает

${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$

φ ( n ) - функция Эйлера [ править ]

φ ( n ) , функция Эйлера, - это количество натуральных чисел не больше n , взаимно простых с n .

${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$

J _k ( n ) - функция Джордана totient [ править ]

J k ( n ) , точечная функция Жордана, представляет собой количество k -наборов натуральных чисел, все меньше или равных n, которыевместе с n образуют взаимнопростой( k + 1) -набор. Это обобщение теории Эйлера, φ ( n ) = J ₁ ( n ) .

${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$

μ ( n ) - функция Мёбиуса [ править ]

μ ( n ) , функция Мёбиуса, важна из-заформулы обращения Мёбиуса . См. Свертку Дирихле ниже.

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$

Отсюда следует, что μ (1) = 1. (поскольку Ω (1) = ω (1) = 0.)

τ ( n ) - функция тау Рамануджана [ править ]

τ ( n ) , тау-функция Рамануджана, определяетсятождествомсвоей производящей функции :

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$

Несмотря на то, что трудно точно сказать , что «арифметическая свойство п » оно «экспрессов», ^[7] ( τ ( п ) является (2π) ^-12 раз п - й коэффициент Фурье в Q-расширения в модульном дискриминантной функции) ^[8] он включен в число арифметических функций, потому что он мультипликативен и встречается в тождествах, включающих определенные функции σ _k ( n ) и r _k ( n ) (поскольку они также являются коэффициентами в разложении модульных форм ).

c _q ( n ) - сумма Рамануджана [ править ]

c q ( n ) , сумма Рамануджана, представляет собой суммуn-х степеней примитивныхq-хкорней из единицы:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$

Несмотря на то, что оно определяется как сумма комплексных чисел (иррационально для большинства значений q ), это целое число. Для фиксированного значения n оно мультипликативно по q :

Если q и r взаимно просты , то${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

ψ ( n ) - пси-функция Дедекинда [ править ]

Дедекиндово функция фунтов на квадратный дюйм , используемая в теории модулярных функций , определяются по формуле

${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$

Полностью мультипликативные функции [ править ]

λ ( n ) - функция Лиувилля [ править ]

λ ( n ) , функция Лиувилля, определяется формулой

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$

χ ( n ) - символы [ править ]

Все характеры Дирихле χ ( n ) вполне мультипликативны. Два символа имеют специальные обозначения:

Главный характер (mod n ) обозначается через χ ₀ ( a ) (или χ ₁ ( a )). Он определяется как

${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$

Квадратичный характер ( по модулю п ) обозначаются символом Якобите для нечетного п (он не определен для четного п .):

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {a}{n}}{\Bigg )}=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$

В этой формуле есть символ Лежандра , определенный для всех целых чисел a и всех нечетных простых чисел p формулой${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$

Следуя обычному соглашению для пустого продукта, ${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

Аддитивные функции [ править ]

ω ( n ) - различные простые делители [ править ]

ω ( n ) , определенное выше как количество различных простых чисел, делящих n , является аддитивным (см. Простую омега-функцию ).

Полностью аддитивные функции [ править ]

Ω ( n ) - простые делители [ править ]

Ω ( n ) , определенная выше как количество простых делителей числа n, считая с кратностями, полностью аддитивна (см. Простую омега-функцию ).

ν _p ( n ) - p -адическая оценка целого числа n [ править ]

Для фиксированного простого р , ν _р ( п ) , определенные выше в качестве показателя степени наибольшей степени р деления п , вполне аддитивно.

Ни мультипликативный, ни аддитивный [ править ]

π ( x ), Π ( x ), θ ( x ), ψ ( x ) - функции простого счета [ править ]

Эти важные функции (которые не являются арифметическими функциями) определены для неотрицательных вещественных аргументов и используются в различных утверждениях и доказательствах теоремы о простых числах . Это функции суммирования (см. Основной раздел чуть ниже) арифметических функций, которые не являются ни мультипликативными, ни аддитивными.

π ( x ) , функция подсчета простых чисел, - это количество простых чисел, не превосходящихx. Это функция суммированияхарактеристической функциипростых чисел.

${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$

Связанная функция подсчитывает простые степени с весом 1 для простых чисел, 1/2 для их квадратов, 1/3 для кубов, ... Это функция суммирования арифметической функции, которая принимает значение 1 / k на целых числах, которые являются k -я степень одного простого числа и значение 0 для других целых чисел.

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$

θ ( x ) и ψ ( x ), функции Чебышева, определяются как суммы натуральных логарифмов простых чисел, не превосходящихx.

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$

Функция Чебышева ψ ( x ) является функцией суммирования функции фон Мангольдта чуть ниже.

Λ ( n ) - функция фон Мангольдта [ править ]

Λ ( n ) , функция фон Мангольдта, равна 0, если аргумент n не является степенью простого числа p ^k , и в этом случае это натуральный логарифм простого числа p :

${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$

p ( n ) - функция раздела [ править ]

p ( n ) , статистическая сумма, - это количество способов представленияnкак суммы положительных целых чисел, где два представления с одинаковыми слагаемыми в разном порядке не считаются разными:

${\displaystyle p(n)=|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}|.}$

λ ( n ) - функция Кармайкла [ править ]

λ ( п ) , функция Кармайкл, является наименьшее положительное число такоечто   для всехвкопервичных кп. Эквивалентно, этонаименьшее общее кратноепорядков элементовмультипликативной группы целых чисел по модулю n .${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$

Для степеней нечетных простых чисел, а также для 2 и 4 λ ( n ) равно тотальной функции Эйлера от n ; для степеней 2 больше 4 он равен половине тотальной функции Эйлера от n :

${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$

и для общего n это наименьшее общее кратное λ каждого простого коэффициента мощности n :

${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$

h ( n ) - Номер класса [ править ]

h ( n ) , функция числа классов, является порядкомидеальной группы классовалгебраического расширения рациональных чисел сдискриминантом n. Обозначения неоднозначны, так как обычно существует множество расширений с одним и тем же дискриминантом. См.Классические примеры вквадратичном полеикруговом поле.

r _k ( n ) - Сумма k квадратов [ править ]

r k ( n ) - количество способов, которымиnможет быть представлено в виде суммыkквадратов, где представления, которые отличаются только порядком слагаемых или знаками квадратных корней, считаются разными.

${\displaystyle r_{k}(n)=|\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\}|}$

D ( n ) - арифметическая производная [ править ]

Используя обозначение Хевисайда для производной, D ( n ) - такая функция, что

${\displaystyle D(n)=1}$если n простое, и

${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$( Правило продукта )

Функции суммирования [ править ]

Для арифметической функции a ( n ) ее функция суммирования A ( x ) определяется как

${\displaystyle A(x):=\sum _{n\leq x}a(n).}$

A можно рассматривать как функцию действительной переменной. Если задано положительное целое число m , A постоянна на открытых интервалах m < x < m + 1 и имеет разрыв скачка в каждом целом числе, для которого a ( m ) ≠ 0.

Поскольку такие функции часто представляются рядами и интегралами, для достижения поточечной сходимости обычно значение на разрывах определяется как среднее значение слева и справа:

${\displaystyle A_{0}(m):={\frac {1}{2}}\left(\sum _{n<m}a(n)+\sum _{n\leq m}a(n)\right)=A(m)-{\frac {1}{2}}a(m).}$

Отдельные значения арифметических функций могут сильно колебаться - как в большинстве приведенных выше примеров. Функции суммирования «сглаживают» эти колебания. В некоторых случаях может оказаться возможным найти асимптотику функции суммирования для больших x .

Классическим примером этого явления ^[9] является функция суммирования делителей, функция суммирования d ( n ), количество делителей n :

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }d(n)=2}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {\log d(n)\log \log n}{\log n}}=\log 2}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {d(1)+d(2)+\cdots +d(n)}{\log(1)+\log(2)+\cdots +\log(n)}}=1.}$

Средний порядок арифметической функции некоторая проще или лучше понимать функция , которая имеет ту же функцию суммирования асимптотический, и , следовательно , принимает то же значение «в среднем». Мы говорим, что g - средний порядок функции f, если

${\displaystyle \sum _{n\leq x}f(n)\sim \sum _{n\leq x}g(n)}$

поскольку x стремится к бесконечности. В приведенном выше примере показано, что d ( n ) имеет средний журнал заказов ( n ). ^[10]

Свертка Дирихле [ править ]

Для арифметической функции a ( n ) пусть F _a ( s ) для комплексного s - функция, определенная соответствующим рядом Дирихле (где он сходится ): ^[11]

${\displaystyle F_{a}(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a(n)}{n^{s}}}.}$

Р _а ( ы ) называется производящей функции в виде ( п ). Простейший такой ряд, соответствующий постоянной функции a ( n ) = 1 для всех n , - это ς ( s ) дзета-функция Римана .

Производящая функция функции Мёбиуса является обратной по отношению к дзета-функции:

${\displaystyle \zeta (s)\,\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=1,\;\;{\mathfrak {R}}\,s>0.}$

Рассмотрим две арифметические функции a и b и их соответствующие производящие функции F _a ( s ) и F _b ( s ). Произведение F _a ( s ) F _b ( s ) можно вычислить следующим образом:

${\displaystyle F_{a}(s)F_{b}(s)=\left(\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {a(m)}{m^{s}}}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b(n)}{n^{s}}}\right).}$

Это несложное упражнение, чтобы показать, что если c ( n ) определяется как

${\displaystyle c(n):=\sum _{ij=n}a(i)b(j)=\sum _{i\mid n}a(i)b\left({\frac {n}{i}}\right),}$

тогда

${\displaystyle F_{c}(s)=F_{a}(s)F_{b}(s).}$

Эта функция с называются Дирихлем свертка из и Ь , и обозначаются .${\displaystyle a*b}$

Особенно важным случаем является свертка с постоянной функцией a ( n ) = 1 для всех n , что соответствует умножению производящей функции на дзета-функцию:

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Умножение на обратную дзета-функцию дает формулу обращения Мебиуса :

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)g(d).}$

Если f мультипликативна, то g тоже . Если f полностью мультипликативен, то g мультипликативен, но может быть или не быть полностью мультипликативным.

Отношения между функциями [ править ]

Существует множество формул, связывающих арифметические функции друг с другом и с функциями анализа, особенно степеней, корней, экспоненциальных и логарифмических функций. Тождества суммы делителей страниц содержат множество более общих и связанных примеров тождеств, включающих арифметические функции.

Вот несколько примеров:

Свертки Дирихле [ править ]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$     где λ - функция Лиувилля. ^[12]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$      ^[13]

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$       Инверсия Мёбиуса

${\displaystyle \sum _{d\mid n}J_{k}(d)=n^{k}.}$      ^[14]

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$       Инверсия Мёбиуса

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$      ^[15]

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$      ^{[16] [17]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$      ^[18]

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$       Инверсия Мёбиуса

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$      

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$       Инверсия Мёбиуса

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$       Инверсия Мёбиуса

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$      

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$     где λ - функция Лиувилля .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$      ^[19]

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$       Инверсия Мёбиуса

Суммы квадратов [ править ]

Для всех     ( теорема Лагранжа о четырех квадратах ).${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$ ^[20]

где символ Кронекера имеет значения

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

В разделе номеров классов ниже приведена формула для r ₃ .

${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$    

где ν = ν ₂ ( n ) .    ^{[21] [22] [23]}

${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$

где ^[24]${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$

Определим функцию σ _k ^* ( n ) как ^[25]

${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$

То есть, если n нечетно, σ _k ^* ( n ) является суммой k- й степени делителей n , то есть σ _k ( n ), а если n четно, это сумма k- й степени четных делителей числа n за вычетом суммы k- ых степеней нечетных делителей числа n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$    ^{[24] [26]}

Примите соглашение, согласно которому τ ( x ) = 0 Рамануджана, если x не является целым числом.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$    ^[27]

Свертки суммы делителей [ править ]

Здесь «свертка» не означает «свертку Дирихле», а вместо этого относится к формуле для коэффициентов произведения двух степенных рядов :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

Последовательность называется сверткой или произведением Коши последовательностей a _n и b _n . Эти формулы можно доказать аналитически (см. Ряды Эйзенштейна ) или элементарными методами. ^[28]${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$    ^[29]

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$    ^[30]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$    ^{[30] [31]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$    ^{[29] [32]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$     где τ ( n ) - функция Рамануджана.    ^{[33] [34]}

Поскольку σ _k ( n ) (для натурального числа k ) и τ ( n ) являются целыми числами, приведенные выше формулы могут использоваться для доказательства сравнений ^[35] для функций. См. Некоторые примеры в функции тау Рамануджана .

Расширьте область определения статистической суммы, установив p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$    ^[36]   Это повторение можно использовать для вычисления p ( n ).

Связанные с номером класса [ править ]

Дирихле обнаружил формулы, связывающее число классов часов в квадратичных числовых полей на символ Якоби. ^[37]

Целое число D называется фундаментальным дискриминантом, если оно является дискриминантом поля квадратичных чисел. Это эквивалентно D ≠ 1 и либо a) D не содержит квадратов и D 1 (mod 4), либо b) D ≡ 0 (mod 4), D / 4 не содержит квадратов, и D / 4 ≡ 2 или 3 (mod 4 ). ^[38]

Расширьте символ Якоби, чтобы он принял четные числа в «знаменателе», определив символ Кронекера :

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$

Тогда если D <−4 - фундаментальный дискриминант ^{[39] [40]}

${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$

Также существует формула, связывающая r ₃ и h . Снова, пусть D - фундаментальный дискриминант, D <−4. Тогда ^[41]

${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$

Связанные с простым подсчетом [ править ]

Позвольте   быть n- м номером гармоники . потом${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$   верно для любого натурального числа n тогда и только тогда, когда верна гипотеза Римана .    ^[42]

Гипотеза Римана также эквивалентна утверждению, что для всех n > 5040

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$     (где γ - постоянная Эйлера – Маскерони ). Это теорема Робина .

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$    ^[43]

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$    ^[44]

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$    ^[45]

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$    ^[46]

Личность Менона [ править ]

В 1965 г. П. Кесава Менон доказал ^[47]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$

Это было обобщено рядом математиков. Например,

Б. Сери ^[48]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$

Н. Рао ^[49]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$

где a ₁ , a ₂ , ..., a _s - целые числа, gcd ( a ₁ , a ₂ , ..., a _s , n ) = 1.

Ласло Фейес Тот ^[50]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$

где m ₁ и m ₂ нечетные, m = lcm ( m ₁ , m ₂ ).

Фактически, если f - любая арифметическая функция ^{[51] [52]}

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$

где * обозначает свертку Дирихле.

Разное [ править ]

Пусть m и n различны, нечетны и положительны. Тогда символ Якоби удовлетворяет закону квадратичной взаимности :

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$    

Пусть D ( n ) - арифметическая производная. Тогда логарифмическая производная

${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$ ^[53]

Пусть λ ( n ) - функция Лиувилля. потом

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$     и

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$    

Пусть λ ( n ) - функция Кармайкла. потом

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$     Дальше,

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

Смотрите Мультипликативная группа целых чисел по модулю n и Примитивный корень по модулю n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$    ^{[54] [55]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$    ^[56]

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$    ^[57]     Обратите внимание, что   ^[58]${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$    

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$    ^[59]   Сравните это с 1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + ... + n ³ = (1 + 2 + 3 + ... + n ) ²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$    ^[60]

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$    ^[61]

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$     где τ ( n ) - функция Рамануджана.    ^[62]

Первые 100 значений некоторых арифметических функций [ править ]