В математике , то константы Стилтьесы являются число γ k {\ displaystyle \ gamma _ {k}} которые встречаются в разложении дзета-функции Римана в ряд Лорана :
ζ ( s ) знак равно 1 s - 1 + ∑ п знак равно 0 ∞ ( - 1 ) п п ! γ п ( s - 1 ) п . {\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n !}} \ gamma _ {n} (s-1) ^ {n}.} Постоянная γ 0 знак равно γ знак равно 0,577 … {\ displaystyle \ gamma _ {0} = \ gamma = 0,577 \ точки} известна как постоянная Эйлера – Маскерони .
Представления Константы Стилтьеса задаются пределом
γ п знак равно Lim м → ∞ { ∑ k знак равно 1 м ( пер k ) п k - ( пер м ) п + 1 п + 1 } . {\ displaystyle \ gamma _ {n} = \ lim _ {m \ rightarrow \ infty} {\ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {m} {\ frac {(\ ln k) ^ {n} } {k}} - {\ frac {(\ ln m) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}}.} (В случае n = 0 первое слагаемое требует вычисления 0 0 , которое принимается равным 1.)
Формула дифференцирования Коши приводит к интегральному представлению
γ п знак равно ( - 1 ) п п ! 2 π ∫ 0 2 π е - п я Икс ζ ( е я Икс + 1 ) d Икс . {\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n} n!} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- nix} \ zeta \ left (e ^ {ix} +1 \ right) dx.} Различные представления в терминах интегралов и бесконечных рядов даны в работах Дженсена , Франеля, Эрмита , Харди , Рамануджана , Эйнсворта, Хауэлла, Коппо, Коннона, Коффи, Чоя, Благушина и некоторых других авторов. [1] [2] [3] [4] [5] [6] В частности, интегральная формула Йенсена-Франеля, часто ошибочно приписываемая Эйнсворт и Хауэллу, гласит, что
γ п знак равно 1 2 δ п , 0 + 1 я ∫ 0 ∞ d Икс е 2 π Икс - 1 { ( пер ( 1 - я Икс ) ) п 1 - я Икс - ( пер ( 1 + я Икс ) ) п 1 + я Икс } , п знак равно 0 , 1 , 2 , … {\ displaystyle \ gamma _ {n} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {n, 0} + {\ frac {1} {i}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (1-ix)) ^ {n}} {1-ix}} - {\ гидроразрыв {(\ ln (1 + ix)) ^ {n}} {1 + ix}} \ right \} \ ,, \ qquad \ quad n = 0,1,2, \ ldots} где δ n, k - символ Кронекера (символ Кронекера) . [5] [6] Среди других формул находим
γ п знак равно - π 2 ( п + 1 ) ∫ - ∞ ∞ ( пер ( 1 2 ± я Икс ) ) п + 1 шиш 2 π Икс d Икс п знак равно 0 , 1 , 2 , … {\ displaystyle \ gamma _ {n} = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (\ ln \ left ({\ frac {1} {2}} \ pm ix \ right) \ right) ^ {n + 1}} {\ cosh ^ {2} \ pi x}} \, dx \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad n = 0,1,2, \ ldots} γ 1 знак равно - [ γ - пер 2 2 ] пер 2 + я ∫ 0 ∞ d Икс е π Икс + 1 { пер ( 1 - я Икс ) 1 - я Икс - пер ( 1 + я Икс ) 1 + я Икс } γ 1 знак равно - γ 2 - ∫ 0 ∞ [ 1 1 - е - Икс - 1 Икс ] е - Икс пер Икс d Икс {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ left [\ gamma - {\ frac {\ ln 2} {2}} \ right] \ ln 2 + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {\ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {\ ln (1-ix)} {1-ix}} - {\ frac {\ ln (1 + ix)} {1 + ix}} \ right \} \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} = - \ gamma ^ {2} - \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left [{\ frac {1} {1-e ^ {- x}}} - {\ frac {1} {x}} \ right] e ^ {- x} \ ln x \, dx \ end {массив}}} видеть. [1] [5] [7]
Что касается представлений серий, знаменитый ряд, подразумевающий целую часть логарифма, был дан Харди в 1912 году [8]
γ 1 знак равно пер 2 2 ∑ k знак равно 2 ∞ ( - 1 ) k k ⌊ бревно 2 k ⌋ ⋅ ( 2 бревно 2 k - ⌊ бревно 2 2 k ⌋ ) {\ displaystyle \ gamma _ {1} = {\ frac {\ ln 2} {2}} \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k}} {k }} \ lfloor \ log _ {2} {k} \ rfloor \ cdot \ left (2 \ log _ {2} {k} - \ lfloor \ log _ {2} {2k} \ rfloor \ right)} Исраилов [9] дал полусходящиеся ряды по числам Бернулли B 2 k {\ displaystyle B_ {2k}}
γ м знак равно ∑ k знак равно 1 п ( пер k ) м k - ( пер п ) м + 1 м + 1 - ( пер п ) м 2 п - ∑ k знак равно 1 N - 1 B 2 k ( 2 k ) ! [ ( пер Икс ) м Икс ] Икс знак равно п ( 2 k - 1 ) - θ ⋅ B 2 N ( 2 N ) ! [ ( пер Икс ) м Икс ] Икс знак равно п ( 2 N - 1 ) , 0 < θ < 1 {\ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {(\ ln k) ^ {m}} {k}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m + 1}} {m + 1}} - {\ frac {(\ ln n) ^ {m}} {2n}} - \ sum _ {k = 1} ^ {N-1} {\ frac {B_ {2k}} {(2k)!}} \ Left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2k-1) } - \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N}} {(2N)!}} \ left [{\ frac {(\ ln x) ^ {m}} {x}} \ right] _ {x = n} ^ {(2N-1)} \ ,, \ qquad 0 <\ theta <1} Коннон [10] Благушин [6] [11] и Коппо [1] дали несколько рядов с биномиальными коэффициентами
γ м знак равно - 1 м + 1 ∑ п знак равно 0 ∞ 1 п + 1 ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м + 1 γ м знак равно - 1 м + 1 ∑ п знак равно 0 ∞ 1 п + 2 ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м + 1 k + 1 γ м знак равно - 1 м + 1 ∑ п знак равно 0 ∞ ЧАС п + 1 ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 2 ) ) м + 1 γ м знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ | грамм п + 1 | ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м k + 1 {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 1}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 1)) ^ { m + 1} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n + 2}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {м + 1}} {к + 1}} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {m + 1}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n + 1} \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} (\ ln (k + 2)) ^ {m +1} \\ [7 мм] \ displaystyle \ gamma _ {m} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | G_ {n + 1} \ right | \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ end {массив }}} где G n - коэффициенты Грегори , также известные как обратные логарифмические числа ( G 1 = + 1/2, G 2 = -1/12, G 3 = + 1/24, G 4 = -19 / 720, ...) . Эти примеры включают более общие серии того же характера [11]
γ м знак равно - ( пер ( 1 + а ) ) м + 1 м + 1 + ∑ п знак равно 0 ∞ ( - 1 ) п ψ п + 1 ( а ) ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м k + 1 , ℜ ( а ) > - 1 {\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {(\ ln (1 + a)) ^ {m + 1}} {m + 1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 1} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}}, \ quad \ Re (a)> - 1} а также
γ м знак равно - 1 р ( м + 1 ) ∑ л знак равно 0 р - 1 ( пер ( 1 + а + л ) ) м + 1 + 1 р ∑ п знак равно 0 ∞ ( - 1 ) п N п + 1 , р ( а ) ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м k + 1 , ℜ ( а ) > - 1 , р знак равно 1 , 2 , 3 , … {\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {r (m + 1)}} \ sum _ {l = 0} ^ {r-1} (\ ln (1 + a + l) ) ^ {m + 1} + {\ frac {1} {r}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} N_ {n + 1, r} (а) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k +1}}, \ quad \ Re (a)> - 1, \; r = 1,2,3, \ ldots} или же
γ м знак равно - 1 1 2 + а { ( - 1 ) м м + 1 ζ ( м + 1 ) ( 0 , 1 + а ) - ( - 1 ) м ζ ( м ) ( 0 ) - ∑ п знак равно 0 ∞ ( - 1 ) п ψ п + 2 ( а ) ∑ k знак равно 0 п ( - 1 ) k ( п k ) ( пер ( k + 1 ) ) м k + 1 } , ℜ ( а ) > - 1 {\ displaystyle \ gamma _ {m} = - {\ frac {1} {{\ tfrac {1} {2}} + a}} \ left \ {{\ frac {(-1) ^ {m}} { m + 1}} \, \ zeta ^ {(m + 1)} (0,1 + a) - (- 1) ^ {m} \ zeta ^ {(m)} (0) - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ psi _ {n + 2} (a) \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ frac {(\ ln (k + 1)) ^ {m}} {k + 1}} \ right \}, \ quad \ Re (a)> - 1} где ψ n ( a ) - многочлены Бернулли второго рода, а N n, r ( a ) - многочлены, заданные производящим уравнением
( 1 + z ) а + м - ( 1 + z ) а пер ( 1 + z ) знак равно ∑ п знак равно 0 ∞ N п , м ( а ) z п , | z | < 1 , {\ displaystyle {\ frac {(1 + z) ^ {a + m} - (1 + z) ^ {a}} {\ ln (1 + z)}} = \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} N_ {n, m} (a) z ^ {n}, \ qquad | z | <1,} соответственно (заметим, что N n, 1 ( a ) = ψ n ( a ) ). [12] Олоа и Таурасо [13] показали, что ряды с номерами гармоник могут приводить к постоянным Стилтьеса.
∑ п знак равно 1 ∞ ЧАС п - ( γ + пер п ) п знак равно - γ 1 - 1 2 γ 2 + 1 12 π 2 ∑ п знак равно 1 ∞ ЧАС п 2 - ( γ + пер п ) 2 п знак равно - γ 2 - 2 γ γ 1 - 2 3 γ 3 + 5 3 ζ ( 3 ) {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} - (\ gamma + \ ln n)} {n}} = - \ gamma _ {1} - {\ frac {1} {2}} \ gamma ^ {2} + {\ frac {1} {12}} \ pi ^ {2} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {H_ {n} ^ {2} - (\ gamma + \ ln n) ^ {2}} {n}} = - \ gamma _ {2} - 2 \ gamma \ gamma _ {1} - {\ frac {2} {3}} \ gamma ^ {3} + {\ frac {5} {3}} \ zeta (3) \ end {array}}} Благушин [6] получил медленно сходящиеся ряды по беззнаковым числам Стирлинга первого рода [ ⋅ ⋅ ] {\ displaystyle \ left [{\ cdot \ на \ cdot} \ right]}
γ м знак равно 1 2 δ м , 0 + ( - 1 ) м м ! π ∑ п знак равно 1 ∞ 1 п ⋅ п ! ∑ k знак равно 0 ⌊ п / 2 ⌋ ( - 1 ) k ⋅ [ 2 k + 2 м + 1 ] ⋅ [ п 2 k + 1 ] ( 2 π ) 2 k + 1 , м знак равно 0 , 1 , 2 , . . . , {\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + {\ frac {(-1) ^ {m} m!} {\ pi}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ cdot n!}} \ sum _ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} {\ frac {(- 1) ^ {k} \ cdot \ left [{2k + 2 \ atop m + 1} \ right] \ cdot \ left [{n \ atop 2k + 1} \ right]} {(2 \ pi) ^ {2k +1}}} \ ,, \ qquad m = 0,1,2, ...,} а также полусходящиеся ряды только с рациональными членами
γ м знак равно 1 2 δ м , 0 + ( - 1 ) м м ! ⋅ ∑ k знак равно 1 N [ 2 k м + 1 ] ⋅ B 2 k ( 2 k ) ! + θ ⋅ ( - 1 ) м м ! ⋅ [ 2 N + 2 м + 1 ] ⋅ B 2 N + 2 ( 2 N + 2 ) ! , 0 < θ < 1 , {\ displaystyle \ gamma _ {m} = {\ frac {1} {2}} \ delta _ {m, 0} + (- 1) ^ {m} m! \ cdot \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {\ left [{2k \ atop m + 1} \ right] \ cdot B_ {2k}} {(2k)!}} + \ Theta \ cdot {\ frac {(-1) ^ { m} m! \ cdot \ left [{2N + 2 \ atop m + 1} \ right] \ cdot B_ {2N + 2}} {(2N + 2)!}}, \ qquad 0 <\ theta <1, } где m = 0,1,2, ... В частности, ряд для первой постоянной Стилтьеса имеет удивительно простой вид
γ 1 знак равно - 1 2 ∑ k знак равно 1 N B 2 k ⋅ ЧАС 2 k - 1 k + θ ⋅ B 2 N + 2 ⋅ ЧАС 2 N + 1 2 N + 2 , 0 < θ < 1 , {\ displaystyle \ gamma _ {1} = - {\ frac {1} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} {\ frac {B_ {2k} \ cdot H_ {2k-1}} {k}} + \ theta \ cdot {\ frac {B_ {2N + 2} \ cdot H_ {2N + 1}} {2N + 2}}, \ qquad 0 <\ theta <1,} где H n - номер n- й гармоники . [6] Более сложные ряды для констант Стилтьеса приведены в работах Лемера, Лянга, Тодда, Лаврика, Исраилова, Станкуса, Кейпера, Нан-Ю, Уильямса, Коффи. [2] [3] [6]
Границы и асимптотический рост Константы Стилтьеса удовлетворяют оценке
| γ п | ≤ { 2 ( п - 1 ) ! π п , п знак равно 1 , 3 , 5 , … 4 ( п - 1 ) ! π п , п знак равно 2 , 4 , 6 , … {\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {2 (n-1)!} {\ pi ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 1 , 3,5, \ ldots \\ [3 мм] \ displaystyle {\ frac {4 (n-1)!} {\ Pi ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 2,4,6, \ ldots \ end {case}}} данные Берндтом в 1972 г. [14] Лучшие оценки в терминах элементарных функций были получены Лавриком [15]
| γ п | ≤ п ! 2 п + 1 , п знак равно 1 , 2 , 3 , … {\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n!} {2 ^ {n + 1}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots} Исраилова [9]
| γ п | ≤ п ! C ( k ) ( 2 k ) п , п знак равно 1 , 2 , 3 , … {\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ frac {n! C (k)} {(2k) ^ {n}}}, \ qquad n = 1,2,3, \ ldots} с k = 1,2, ... и C (1) = 1/2, C (2) = 7/12, ..., Нан-Ю и Уильямс [16]
| γ п | ≤ { 2 ( 2 п ) ! п п + 1 ( 2 π ) п , п знак равно 1 , 3 , 5 , … 4 ( 2 п ) ! п п + 1 ( 2 π ) п , п знак равно 2 , 4 , 6 , … {\ displaystyle | \ gamma _ {n} | \ leq {\ begin {case} \ displaystyle {\ frac {2 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}}} \ ,, \ qquad & n = 1,3,5, \ ldots \\ [4 мм] \ displaystyle {\ frac {4 (2n)!} {n ^ {n + 1} (2 \ pi) ^ {n}} } \ ,, \ qquad & n = 2,4,6, \ ldots \ end {case}}} Автор Blagouchine [6]
- | B м + 1 | м + 1 < γ м < ( 3 м + 8 ) ⋅ | B м + 3 | 24 - | B м + 1 | м + 1 , м знак равно 1 , 5 , 9 , … | B м + 1 | м + 1 - ( 3 м + 8 ) ⋅ | B м + 3 | 24 < γ м < | B м + 1 | м + 1 , м знак равно 3 , 7 , 11 , … - | B м + 2 | 2 < γ м < ( м + 3 ) ( м + 4 ) ⋅ | B м + 4 | 48 - | B м + 2 | 2 , м знак равно 2 , 6 , 10 , … | B м + 2 | 2 - ( м + 3 ) ( м + 4 ) ⋅ | B м + 4 | 48 < γ м < | B м + 2 | 2 , м знак равно 4 , 8 , 12 , … {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} <\ gamma _ { m} <{\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 3} {\ big |}} {24}} - {\ frac {{\ big |} {B } _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, & m = 1,5,9, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} B_ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}} - {\ frac {(3m + 8) \ cdot {\ big |} B_ {m + 3} {\ big |}} {24}} <\ gamma _ {m} <{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 1} {\ big |}} {m + 1}}, & m = 3,7,11, \ ldots \\ [12pt ] \ displaystyle - {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} <\ gamma _ {m} <{\ frac {(m + 3) ( m + 4) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 4} {\ big |}} {48}} - {\ frac {{\ big |} B_ {m + 2} {\ big | }} {2}}, \ qquad & m = 2,6,10, \ ldots \\ [12pt] \ displaystyle {\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}} - {\ frac {(m + 3) (m + 4) \ cdot {\ big |} {B} _ {m + 4} {\ big |}} {48}} <\ gamma _ { m} <{\ frac {{\ big |} {B} _ {m + 2} {\ big |}} {2}}, & m = 4,8,12, \ ldots \\\ end {array}} } где B n - числа Бернулли , а по Мацуока [17] [18]
| γ п | < 10 - 4 е п пер пер п , п знак равно 5 , 6 , 7 , … {\ displaystyle | \ gamma _ {n} | <10 ^ {- 4} e ^ {n \ ln \ ln n} \ ,, \ qquad n = 5,6,7, \ ldots} Что касается оценок с использованием неэлементарных функций и решений, то Кнессл, Коффи [19] и Феки-Ахмед [20] получили достаточно точные результаты. Например, Кнессл и Коффи приводят следующую формулу, которая относительно хорошо аппроксимирует константы Стилтьеса для больших n . [19] Если v - единственное решение
2 π exp ( v загар v ) знак равно п потому что ( v ) v {\ Displaystyle 2 \ пи \ ехр (v \ загар v) = п {\ гидроразрыва {\ соз (v)} {v}}} с участием 0 < v < π / 2 {\ displaystyle 0 , и если ты знак равно v загар v {\ Displaystyle и = v \ загар v} , тогда
γ п ∼ B п е п А потому что ( а п + б ) {\ displaystyle \ gamma _ {n} \ sim {\ frac {B} {\ sqrt {n}}} e ^ {nA} \ cos (an + b)} где
А знак равно 1 2 пер ( ты 2 + v 2 ) - ты ты 2 + v 2 {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} \ ln (u ^ {2} + v ^ {2}) - {\ frac {u} {u ^ {2} + v ^ {2}} }} B знак равно 2 2 π ты 2 + v 2 [ ( ты + 1 ) 2 + v 2 ] 1 / 4 {\ displaystyle B = {\ frac {2 {\ sqrt {2 \ pi}} {\ sqrt {u ^ {2} + v ^ {2}}}} {[(u + 1) ^ {2} + v ^ {2}] ^ {1/4}}}} а знак равно загар - 1 ( v ты ) + v ты 2 + v 2 {\ displaystyle a = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) + {\ frac {v} {u ^ {2} + v ^ {2}}}} б знак равно загар - 1 ( v ты ) - 1 2 ( v ты + 1 ) . {\ displaystyle b = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {v} {u}} \ right) - {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {v} {u +1}} \ right).} До n = 100000 приближение Кнессла-Коффи правильно предсказывает знак γ n за единственным исключением n = 137. [19]
Числовые значения Первые несколько значений: [21]
п приблизительное значение γ n OEIS 0 +0,5772156649015328606065120900824024310421593359 A001620 1 -0,0728158454836767248605863758749013191377363383 A082633 2 -0,0096903631928723184845303860352125293590658061 A086279 3 +0,0020538344203033458661600465427533842857158044 A086280 4 +0.0023253700654673000574681701775260680009044694 A086281 5 +0.0007933238173010627017533348774444448307315394 A086282 6 -0,0002387693454301996098724218419080042777837151 A183141 7 -0,0005272895670577510460740975054788582819962534 A183167 8 -0,0003521233538030395096020521650012087417291805 A183206 9 -0,0000343947744180880481779146237982273906207895 A184853 10 +0.0002053328149090647946837222892370653029598537 A184854 100 −4,2534015717080269623144385197278358247028931053 × 10 17 1000 -1,5709538442047449345494023425120825242380299554 × 10 486 10000 −2.2104970567221060862971082857536501900234397174 × 10 6883 100000 +1.9919273063125410956582272431568589205211659777 × 10 83432
При больших n константы Стилтьеса быстро растут по абсолютной величине и меняют знаки сложным образом.
Дополнительную информацию, связанную с численным вычислением констант Стилтьеса, можно найти в работах Кейпера, [22] Кременски, [23] Плуффа, [24] Йоханссона [25] [26] и Благушина. [26] Во-первых, Йоханссон предоставил значения констант Стилтьеса до n = 100000, каждая с точностью более 10000 цифр (числовые значения можно получить из LMFDB [1] . Позже Йоханссон и Благушин разработали особенно эффективный алгоритм вычисления обобщенные константы Стилтьеса (см. ниже) для больших n и комплексных a , которые также могут использоваться для обычных констант Стилтьеса. [26] В частности, это позволяет вычислять γ n до 1000 цифр в минуту для любого n до n = 10 100 .
Обобщенные константы Стилтьеса Основная информация В более общем плане можно определить константы Стилтьеса γ n (a), которые встречаются в разложении в ряд Лорана дзета-функции Гурвица :
ζ ( s , а ) знак равно 1 s - 1 + ∑ п знак равно 0 ∞ ( - 1 ) п п ! γ п ( а ) ( s - 1 ) п . {\ displaystyle \ zeta (s, a) = {\ frac {1} {s-1}} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {n!}} \ gamma _ {n} (a) (s-1) ^ {n}.} Здесь a - комплексное число с Re ( a )> 0. Поскольку дзета-функция Гурвица является обобщением дзета-функции Римана, имеем γ n (1) = γ n . Нулевая константа - это просто дигамма-функция γ 0 (a) = - Ψ (a), [27] в то время как другие константы, как известно, не сводятся к какой-либо элементарной или классической функции анализа. Тем не менее, для них существует множество представительств. Например, существует следующее асимптотическое представление
γ п ( а ) знак равно Lim м → ∞ { ∑ k знак равно 0 м ( пер ( k + а ) ) п k + а - ( пер ( м + а ) ) п + 1 п + 1 } , п знак равно 0 , 1 , 2 , … а ≠ 0 , - 1 , - 2 , … {\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ lim _ {m \ to \ infty} \ left \ {\ sum _ {k = 0} ^ {m} {\ frac {(\ ln (k + a )) ^ {n}} {k + a}} - {\ frac {(\ ln (m + a)) ^ {n + 1}} {n + 1}} \ right \}, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {array}}} благодаря Берндту и Уилтону. Аналогом формулы Йенсена-Франеля для обобщенной постоянной Стилтьеса является формула Эрмита [5]
γ п ( а ) знак равно [ 1 2 а - пер а п + 1 ] ( пер а ) п - я ∫ 0 ∞ d Икс е 2 π Икс - 1 { ( пер ( а - я Икс ) ) п а - я Икс - ( пер ( а + я Икс ) ) п а + я Икс } , п знак равно 0 , 1 , 2 , … ℜ ( а ) > 0 {\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = \ left [{\ frac {1} {2a}} - {\ frac {\ ln {a}} {n + 1}} \ right] (\ ln a ) ^ {n} -i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} -1}} \ left \ {{\ frac {(\ ln (a -ix)) ^ {n}} {a-ix}} - {\ frac {(\ ln (a + ix)) ^ {n}} {a + ix}} \ right \}, \ qquad {\ begin {массив} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 мм] \ Re (a)> 0 \ end {array}}} Подобные представления даются следующими формулами: [26]
γ п ( а ) знак равно - ( пер ( а - 1 2 ) ) п + 1 п + 1 + я ∫ 0 ∞ d Икс е 2 π Икс + 1 { ( пер ( а - 1 2 - я Икс ) ) п а - 1 2 - я Икс - ( пер ( а - 1 2 + я Икс ) ) п а - 1 2 + я Икс } , п знак равно 0 , 1 , 2 , … ℜ ( а ) > 1 2 {\ displaystyle \ gamma _ {n} (а) = - {\ frac {{\ big (} \ ln (а - {\ frac {1} {2}}) {\ big)} ^ {n + 1} } {n + 1}} + i \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {e ^ {2 \ pi x} +1}} \ left \ {{\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ big)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} - ix}} - {\ frac {{\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} + ix) {\ big)} ^ {n}} {a - {\ frac {1} {2}} + ix }} \ right \}, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] \ Re (a)> {\ frac {1} {2}} \ конец {массив}}} а также
γ п ( а ) знак равно - π 2 ( п + 1 ) ∫ 0 ∞ ( пер ( а - 1 2 - я Икс ) ) п + 1 + ( пер ( а - 1 2 + я Икс ) ) п + 1 ( шиш ( π Икс ) ) 2 d Икс , п знак равно 0 , 1 , 2 , … ℜ ( а ) > 1 2 {\ displaystyle \ gamma _ {n} (a) = - {\ frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {{\ big (}} \ ln (a - {\ frac {1} {2}} - ix) {\ big)} ^ {n + 1} + {\ big (} \ ln (a - {\ frac {1} {2}}) + ix) {\ big)} ^ {n + 1}} {{\ big (} \ cosh (\ pi x) {\ big)} ^ {2}}} \, dx, \ qquad {\ begin {array } {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1 мм] \ Re (a)> {\ frac {1} {2}} \ end {array}}} Обобщенные константы Стилтьеса удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению
γ п ( а + 1 ) знак равно γ п ( а ) - ( пер а ) п а , п знак равно 0 , 1 , 2 , … а ≠ 0 , - 1 , - 2 , … {\ displaystyle \ gamma _ {n} (a + 1) = \ gamma _ {n} (a) - {\ frac {(\ ln a) ^ {n}} {a}} \ ,, \ qquad {\ begin {array} {l} n = 0,1,2, \ ldots \\ [1mm] a \ neq 0, -1, -2, \ ldots \ end {array}}} а также теорему умножения
∑ л знак равно 0 п - 1 γ п ( а + л п ) знак равно ( - 1 ) п п [ пер п п + 1 - Ψ ( а п ) ] ( пер п ) п + п ∑ р знак равно 0 п - 1 ( - 1 ) р ( п р ) γ п - р ( а п ) ⋅ ( пер п ) р , п знак равно 2 , 3 , 4 , … {\ displaystyle \ sum _ {l = 0} ^ {n-1} \ gamma _ {p} \ left (a + {\ frac {l} {n}} \ right) = (- 1) ^ {p} n \ left [{\ frac {\ ln n} {p + 1}} - \ Psi (an) \ right] (\ ln n) ^ {p} + n \ sum _ {r = 0} ^ {p-1 } (- 1) ^ {r} {\ binom {p} {r}} \ gamma _ {pr} (an) \ cdot (\ ln n) ^ {r} \ ,, \ qquad \ qquad n = 2, 3,4, \ ldots} где ( п р ) {\ displaystyle {\ binom {p} {r}}} обозначает биномиальный коэффициент (см. [28] , [29], с. 101–102).
Первая обобщенная постоянная Стилтьеса Первая обобщенная постоянная Стилтьеса обладает рядом замечательных свойств.
Тождество Мальмстена (формула отражения для первых обобщенных констант Стилтьеса): формула отражения для первой обобщенной постоянной Стилтьеса имеет следующий вид γ 1 ( м п ) - γ 1 ( 1 - м п ) знак равно 2 π ∑ л знак равно 1 п - 1 грех 2 π м л п ⋅ пер Γ ( л п ) - π ( γ + пер 2 π п ) детская кроватка м π п {\ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {m} {n}} {\ biggr)} - \ gamma _ {1} {\ biggl (} 1 - {\ frac {m} { n}} {\ biggr)} = 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {n-1} \ sin {\ frac {2 \ pi ml} {n}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {n}} {\ biggr)} - \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi n) \ cot {\ frac {m \ pi} {n}}} где m и n - натуральные числа такие, что m < n . Эту формулу долгое время приписывали Альмквисту и Меурману, выведшим ее в 1990-х годах. [30] Однако недавно сообщалось, что эта идентичность, хотя и в несколько иной форме, была впервые получена Карлом Мальмстеном в 1846 году. [5] [31]
Теорема о рациональных аргументах: первая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть вычислена в квазизамкнутой форме по следующей формуле γ 1 ( р м ) знак равно γ 1 + γ 2 + γ пер 2 π м + пер 2 π ⋅ пер м + 1 2 ( пер м ) 2 + ( γ + пер 2 π м ) ⋅ Ψ ( р м ) + π ∑ л знак равно 1 м - 1 грех 2 π р л м ⋅ пер Γ ( л м ) + ∑ л знак равно 1 м - 1 потому что 2 π р л м ⋅ ζ ″ ( 0 , л м ) , р знак равно 1 , 2 , 3 , … , м - 1 . {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + \ gamma ^ {2} + \ gamma \ ln 2 \ pi m + \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln {m} + {\ frac {1} {2}} (\ ln m) ^ {2} + ( \ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ cdot \ Psi \ left ({\ frac {r} {m}} \ right) \\ [5 мм] \ displaystyle & \ displaystyle \ qquad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} + \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}) } \ right) \ end {array}} \ ,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1 \ ,.} см. Благушин. [5] [27] Альтернативное доказательство было позже предложено Коффи [32] и несколькими другими авторами.
Конечное суммирование: существует множество формул суммирования для первых обобщенных констант Стилтьеса. Например, ∑ р знак равно 0 м - 1 γ 1 ( а + р м ) знак равно м пер м ⋅ Ψ ( а м ) - м 2 ( пер м ) 2 + м γ 1 ( а м ) , а ∈ C ∑ р знак равно 1 м - 1 γ 1 ( р м ) знак равно ( м - 1 ) γ 1 - м γ пер м - м 2 ( пер м ) 2 ∑ р знак равно 1 2 м - 1 ( - 1 ) р γ 1 ( р 2 м ) знак равно - γ 1 + м ( 2 γ + пер 2 + 2 пер м ) пер 2 ∑ р знак равно 0 2 м - 1 ( - 1 ) р γ 1 ( 2 р + 1 4 м ) знак равно м { 4 π пер Γ ( 1 4 ) - π ( 4 пер 2 + 3 пер π + пер м + γ ) } ∑ р знак равно 1 м - 1 γ 1 ( р м ) ⋅ потому что 2 π р k м знак равно - γ 1 + м ( γ + пер 2 π м ) пер ( 2 грех k π м ) + м 2 { ζ ″ ( 0 , k м ) + ζ ″ ( 0 , 1 - k м ) } , k знак равно 1 , 2 , … , м - 1 ∑ р знак равно 1 м - 1 γ 1 ( р м ) ⋅ грех 2 π р k м знак равно π 2 ( γ + пер 2 π м ) ( 2 k - м ) - π м 2 { пер π - пер грех k π м } + м π пер Γ ( k м ) , k знак равно 1 , 2 , … , м - 1 ∑ р знак равно 1 м - 1 γ 1 ( р м ) ⋅ детская кроватка π р м знак равно π 6 { ( 1 - м ) ( м - 2 ) γ + 2 ( м 2 - 1 ) пер 2 π - ( м 2 + 2 ) пер м } - 2 π ∑ л знак равно 1 м - 1 л ⋅ пер Γ ( л м ) ∑ р знак равно 1 м - 1 р м ⋅ γ 1 ( р м ) знак равно 1 2 { ( м - 1 ) γ 1 - м γ пер м - м 2 ( пер м ) 2 } - π 2 м ( γ + пер 2 π м ) ∑ л знак равно 1 м - 1 л ⋅ детская кроватка π л м - π 2 ∑ л знак равно 1 м - 1 детская кроватка π л м ⋅ пер Γ ( л м ) {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ sum _ {r = 0} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left (a + {\ frac {r} {m}} \ right ) = m \ ln {m} \ cdot \ Psi (am) - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} + m \ gamma _ {1} (am) \ ,, \ qquad a \ in \ mathbb {C} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {r} {m}} \ справа) = (m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m} - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {2m-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {2m}} {\ biggr)} = - \ гамма _ {1} + м (2 \ гамма + \ пер 2 + 2 \ пер м) \ пер 2 \\ [6 мм] \ Displaystyle \ сумма _ {г = 0} ^ {2 м-1} (- 1) ^ {r} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {2r + 1} {4m}} {\ biggr)} = m \ left \ {4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} - \ pi {\ big (} 4 \ ln 2 + 3 \ ln \ pi + \ ln m + \ gamma {\ big)} \ right \} \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cos { \ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = - \ gamma _ {1} + m (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ ln \ left (2 \ sin {\ frac {k \ pi} { m}} \ right) + {\ frac {m} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {k} {m}} \ right) + \ zeta '' \ left (0,1 - {\ frac {k} {m}} \ right) \ right \} \ ,, \ qquad k = 1,2, \ ld ots, m-1 \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr )} \ cdot \ sin {\ dfrac {2 \ pi rk} {m}} = {\ frac {\ pi} {2}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) (2k-m) - {\ гидроразрыв {\ pi m} {2}} \ left \ {\ ln \ pi - \ ln \ sin {\ frac {k \ pi} {m}} \ right \} + m \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ гидроразрыва {к} {m}} {\ biggr)} \ ,, \ qquad k = 1,2, \ ldots, m-1 \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {м-1} \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} \ cdot \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} = \ displaystyle {\ frac {\ pi} {6}} {\ Big \ {} (1-m) (m-2) \ gamma +2 (m ^ {2} -1) \ ln 2 \ pi - (m ^ { 2} +2) \ ln {m} {\ Big \}} - 2 \ pi \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {l} {m}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ sum _ {r = 1} ^ {m-1} {\ frac {r} {m}} \ cdot \ gamma _ {1} {\ biggl ( } {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = {\ frac {1} {2}} \ left \ {(m-1) \ gamma _ {1} -m \ gamma \ ln {m } - {\ frac {m} {2}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} - {\ frac {\ pi} {2m}} (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} l \ cdot \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cot {\ frac {\ pi l} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {l} {m}} {\ biggr)} \ end {array} }} Подробнее и дальнейшие формулы суммирования см. [5] [29]
Некоторые частные значения: некоторые частные значения первой обобщенной константы Стилтьеса при рациональных аргументах могут быть сведены к гамма-функции , первой константе Стилтьеса и элементарным функциям. Например, γ 1 ( 1 2 ) знак равно - 2 γ пер 2 - ( пер 2 ) 2 + γ 1 знак равно - 1,353459680 … {\ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = - 2 \ gamma \ ln 2 - (\ ln 2) ^ {2} + \ gamma _ {1} = -1,353459680 \ ldots} В точках 1/4, 3/4 и 1/3 значения первых обобщенных констант Стилтьеса были независимо получены Конноном [33] и Благушиным [29].
γ 1 ( 1 4 ) знак равно 2 π пер Γ ( 1 4 ) - 3 π 2 пер π - 7 2 ( пер 2 ) 2 - ( 3 γ + 2 π ) пер 2 - γ π 2 + γ 1 знак равно - 5,518076350 … γ 1 ( 3 4 ) знак равно - 2 π пер Γ ( 1 4 ) + 3 π 2 пер π - 7 2 ( пер 2 ) 2 - ( 3 γ - 2 π ) пер 2 + γ π 2 + γ 1 знак равно - 0,3912989024 … γ 1 ( 1 3 ) знак равно - 3 γ 2 пер 3 - 3 4 ( пер 3 ) 2 + π 4 3 { пер 3 - 8 пер 2 π - 2 γ + 12 пер Γ ( 1 3 ) } + γ 1 знак равно - 3,259557515 … {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) = 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) - {\ frac {3 \ pi} {2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma +2 \ pi) \ ln 2 - {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 5.518076350 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {3} {4}} \ right) = - 2 \ pi \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {4}} \ right) + {\ frac {3 \ pi} { 2}} \ ln \ pi - {\ frac {7} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ gamma -2 \ pi) \ ln 2 + {\ frac {\ gamma \ pi} {2}} + \ gamma _ {1} = - 0,3912989024 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} + {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}} } \ left \ {\ ln 3-8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ { 1} = - 3.259557515 \ ldots \ end {array}}} В точках 2/3, 1/6 и 5/6
γ 1 ( 2 3 ) знак равно - 3 γ 2 пер 3 - 3 4 ( пер 3 ) 2 - π 4 3 { пер 3 - 8 пер 2 π - 2 γ + 12 пер Γ ( 1 3 ) } + γ 1 знак равно - 0,5989062842 … γ 1 ( 1 6 ) знак равно - 3 γ 2 пер 3 - 3 4 ( пер 3 ) 2 - ( пер 2 ) 2 - ( 3 пер 3 + 2 γ ) пер 2 + 3 π 3 2 пер Γ ( 1 6 ) - π 2 3 { 3 пер 3 + 11 пер 2 + 15 2 пер π + 3 γ } + γ 1 знак равно - 10,74258252 … γ 1 ( 5 6 ) знак равно - 3 γ 2 пер 3 - 3 4 ( пер 3 ) 2 - ( пер 2 ) 2 - ( 3 пер 3 + 2 γ ) пер 2 - 3 π 3 2 пер Γ ( 1 6 ) + π 2 3 { 3 пер 3 + 11 пер 2 + 15 2 пер π + 3 γ } + γ 1 знак равно - 0,2461690038 … {\ displaystyle {\ begin {array} {l} \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {2} {3}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - {\ frac {\ pi} {4 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {\ ln 3- 8 \ ln 2 \ pi -2 \ gamma +12 \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {3}} \ right) \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0,5989062842 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2}} \ ln 3 - {\ frac {3 } {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2 + {\ frac {3 \ pi {\ sqrt { 3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [5 мм] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad - {\ frac {\ pi} { 2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \ gamma \ right \} + \ gamma _ {1} = - 10.74258252 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} \ left ({\ frac {5} {6}} \ right) = - {\ frac {3 \ gamma} {2} } \ ln 3 - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} - (\ ln 2) ^ {2} - (3 \ ln 3 + 2 \ gamma) \ ln 2- { \ frac {3 \ pi {\ sqrt {3}}} {2}} \ ln \ Gamma \ left ({\ frac {1} {6}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ qquad \ qquad \ quad + {\ frac {\ pi} {2 {\ sqrt {3}}}} \ left \ {3 \ ln 3 + 11 \ ln 2 + {\ frac {15} {2}} \ ln \ pi +3 \гамма \ right \} + \ gamma _ {1} = - 0,2461690038 \ ldots \ end {array}}} Эти значения были рассчитаны Благушиным. [29] Этому автору также причитаются
γ 1 ( 1 5 ) знак равно γ 1 + 5 2 { ζ ″ ( 0 , 1 5 ) + ζ ″ ( 0 , 4 5 ) } + π 10 + 2 5 2 пер Γ ( 1 5 ) + π 10 - 2 5 2 пер Γ ( 2 5 ) + { 5 2 пер 2 - 5 2 пер ( 1 + 5 ) - 5 4 пер 5 - π 25 + 10 5 10 } ⋅ γ - 5 2 { пер 2 + пер 5 + пер π + π 25 - 10 5 10 } ⋅ пер ( 1 + 5 ) + 5 2 ( пер 2 ) 2 + 5 ( 1 - 5 ) 8 ( пер 5 ) 2 + 3 5 4 пер 2 ⋅ пер 5 + 5 2 пер 2 ⋅ пер π + 5 4 пер 5 ⋅ пер π - π ( 2 25 + 10 5 + 5 25 + 2 5 ) 20 пер 2 - π ( 4 25 + 10 5 - 5 5 + 2 5 ) 40 пер 5 - π ( 5 5 + 2 5 + 25 + 10 5 ) 10 пер π знак равно - 8,030205511 … γ 1 ( 1 8 ) знак равно γ 1 + 2 { ζ ″ ( 0 , 1 8 ) + ζ ″ ( 0 , 7 8 ) } + 2 π 2 пер Γ ( 1 8 ) - π 2 ( 1 - 2 ) пер Γ ( 1 4 ) - { 1 + 2 2 π + 4 пер 2 + 2 пер ( 1 + 2 ) } ⋅ γ - 1 2 ( π + 8 пер 2 + 2 пер π ) ⋅ пер ( 1 + 2 ) - 7 ( 4 - 2 ) 4 ( пер 2 ) 2 + 1 2 пер 2 ⋅ пер π - π ( 10 + 11 2 ) 4 пер 2 - π ( 3 + 2 2 ) 2 пер π знак равно - 16,64171976 … γ 1 ( 1 12 ) знак равно γ 1 + 3 { ζ ″ ( 0 , 1 12 ) + ζ ″ ( 0 , 11 12 ) } + 4 π пер Γ ( 1 4 ) + 3 π 3 пер Γ ( 1 3 ) - { 2 + 3 2 π + 3 2 пер 3 - 3 ( 1 - 3 ) пер 2 + 2 3 пер ( 1 + 3 ) } ⋅ γ - 2 3 ( 3 пер 2 + пер 3 + пер π ) ⋅ пер ( 1 + 3 ) - 7 - 6 3 2 ( пер 2 ) 2 - 3 4 ( пер 3 ) 2 + 3 3 ( 1 - 3 ) 2 пер 3 ⋅ пер 2 + 3 пер 2 ⋅ пер π - π ( 17 + 8 3 ) 2 3 пер 2 + π ( 1 - 3 ) 3 4 пер 3 - π 3 ( 2 + 3 ) пер π знак равно - 29,84287823 … {\ displaystyle {\ begin {array} {ll} \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {5}} \ right) + \ zeta '' \ left (0 , {\ frac {4} {5}} \ right) \ right \} + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10 + 2 {\ sqrt {5}}}}} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {5}} {\ biggr)} \\ [5 мм] & \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ sqrt {10-2 {\ sqrt {5}}} }} {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {2} {5}} {\ biggr)} + \ left \ {{\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {2} - {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}} {\ big)} - {\ frac {5} {4} } \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}}} {10}} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 мм] & \ displaystyle - { \ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ left \ {\ ln 2+ \ ln 5+ \ ln \ pi + {\ frac {\ pi {\ sqrt {25-10 {\ sqrt {5}}) }}} {10}} \ right \} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {5}}) + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} + {\ frac {{\ sqrt {5}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {5}} {\ big)}} {8}} (\ ln 5) ^ {2} \ \ [5 мм] & \ displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {5}}} {4}} \ ln 2 \ cdot \ ln 5 + {\ frac {\ sqrt {5}} {2}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi + {\ frac {\ sqrt {5}} {4}} \ ln 5 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 2 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} + 5 {\ sqrt {25 + 2 {\ sqrt {5}}) }} {\ big)}} {20}} \ ln 2 \\ [5 мм] & \ displaystyle - {\ frac {\ pi {\ big (} 4 {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}) }} - 5 {\ sqrt {5 + 2 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {40}} \ ln 5 - {\ frac {\ pi {\ big (} 5 {\ sqrt { 5 + 2 {\ sqrt {5}}}} + {\ sqrt {25 + 10 {\ sqrt {5}}}} {\ big)}} {10}} \ ln \ pi \\ [5 мм] & \ displaystyle = -8.030205511 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {2}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {8}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {7} { 8}} \ right) \ right \} + 2 \ pi {\ sqrt {2}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {8}} {\ biggr)} - \ pi {\ sqrt {2}} {\ big (} 1 - {\ sqrt {2}} {\ big)} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} \\ [5 мм] & \ displaystyle - \ left \ {{\ frac {1 + {\ sqrt {2}}} {2}} \ pi +4 \ ln {2} + {\ sqrt {2}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {2}} {\ big)} \ right \} \ cdot \ gamma - {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} \ pi +8 \ ln 2 + 2 \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {2}}) \\ [5 мм] & \ displaystyle - {\ frac {7 {\ big ( } 4 - {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} ( \ ln 2) ^ {2} + {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 10 + 11 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {4}} \ ln 2 - {\ frac {\ pi {\ big (} 3 + 2 {\ sqrt {2}} {\ big)}} {2}} \ пер \ пи \\ [5 мм] & \ displaystyle = -16.64171976 \ ldots \\ [6 мм] \ displaystyle \ gamma _ {1} {\ biggl (} {\ frac {1} {12}} {\ biggr)} = & \ displaystyle \ gamma _ {1} + {\ sqrt {3}} \ left \ {\ zeta '' \ left (0, {\ frac {1} {12}} \ right) + \ zeta '' \ left (0, {\ frac {11} {12}} \ right) \ right \} + 4 \ pi \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {4}} {\ biggr)} + 3 \ pi {\ sqrt {3}} \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ frac {1} {3}} {\ biggr)} \\ [5 мм] & \ displaystyle - \ left \ {{\ frac { 2 + {\ sqrt {3}}} {2}} \ pi + {\ frac {3} {2}} \ ln 3 - {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}}) \ ln {2} +2 {\ sqrt {3}} \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}} {\ big)} \ right \} \ cdot \ gamma \\ [5 мм] & \ displaystyle -2 {\ sqrt {3}} {\ big (} 3 \ ln 2+ \ ln 3+ \ ln \ pi {\ big)} \ cdot \ ln {\ big (} 1 + {\ sqrt {3}} ) - {\ frac {7-6 {\ sqrt {3}}} {2}} (\ ln 2) ^ {2} - {\ frac {3} {4}} (\ ln 3) ^ {2} \\ [5 мм] & \ displaystyle + {\ frac {3 {\ sqrt {3}} (1 - {\ sqrt {3}})} {2}} \ ln 3 \ cdot \ ln 2 + {\ sqrt { 3}} \ ln 2 \ cdot \ ln \ pi - {\ frac {\ pi {\ big (} 17 +8 {\ sqrt {3}} {\ big)}} {2 {\ sqrt {3}}}} \ ln 2 \\ [5 мм] & \ displaystyle + {\ frac {\ pi {\ big (} 1 - {\ sqrt {3}} {\ big)} {\ sqrt {3}}} {4}} \ ln 3- \ pi {\ sqrt {3}} (2 + {\ sqrt {3}}) \ ln \ pi = -29.84287823 \ ldots \ end {array}}} Вторая обобщенная постоянная Стилтьеса Вторая обобщенная постоянная Стилтьеса изучена гораздо меньше, чем первая постоянная. Подобно первой обобщенной константе Стилтьеса, вторая обобщенная константа Стилтьеса при рациональном аргументе может быть вычислена по следующей формуле
γ 2 ( р м ) знак равно γ 2 + 2 3 ∑ л знак равно 1 м - 1 потому что 2 π р л м ⋅ ζ ‴ ( 0 , л м ) - 2 ( γ + пер 2 π м ) ∑ л знак равно 1 м - 1 потому что 2 π р л м ⋅ ζ ″ ( 0 , л м ) + π ∑ л знак равно 1 м - 1 грех 2 π р л м ⋅ ζ ″ ( 0 , л м ) - 2 π ( γ + пер 2 π м ) ∑ л знак равно 1 м - 1 грех 2 π р л м ⋅ пер Γ ( л м ) - 2 γ 1 пер м - γ 3 - [ ( γ + пер 2 π м ) 2 - π 2 12 ] ⋅ Ψ ( р м ) + π 3 12 детская кроватка π р м - γ 2 пер ( 4 π 2 м 3 ) + π 2 12 ( γ + пер м ) - γ ( ( пер 2 π ) 2 + 4 пер м ⋅ пер 2 π + 2 ( пер м ) 2 ) - { ( пер 2 π ) 2 + 2 пер 2 π ⋅ пер м + 2 3 ( пер м ) 2 } пер м , р знак равно 1 , 2 , 3 , … , м - 1. {\ displaystyle {\ begin {array} {rl} \ displaystyle \ gamma _ {2} {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} {\ biggr)} = \ gamma _ {2} + {\ frac {2} {3}} \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' '\ left (0, { \ frac {l} {m}} \ right) -2 (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ cos {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad + \ pi \ sum _ {l = 1} ^ { m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ zeta '' \ left (0, {\ frac {l} {m}} \ right) -2 \ pi (\ gamma + \ ln 2 \ pi m) \ sum _ {l = 1} ^ {m-1} \ sin {\ frac {2 \ pi rl} {m}} \ cdot \ ln \ Gamma {\ biggl (} {\ гидроразрыв {l} {m}} {\ biggr)} - 2 \ gamma _ {1} \ ln {m} \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad - \ gamma ^ {3} - \ left [(\ gamma + \ ln 2 \ pi m) ^ {2} - {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} \ right] \ cdot \ Psi {\ biggl (} {\ frac {r} {m}} { \ biggr)} + {\ frac {\ pi ^ {3}} {12}} \ cot {\ frac {\ pi r} {m}} - \ gamma ^ {2} \ ln {\ big (} 4 \ pi ^ {2} m ^ {3} {\ big)} + {\ frac {\ pi ^ {2}} {12}} (\ gamma + \ ln {m}) \\ [6 мм] \ displaystyle \ quad - \ gamma {\ big (} (\ ln 2 \ pi) ^ {2} +4 \ ln m \ cdot \ ln 2 \ pi +2 (\ ln m) ^ {2} {\ big)} - \ left \ {(\ ln 2 \ pi) ^ {2} +2 \ ln 2 \ pi \ cdot \ ln m + {\ frac { 2} {3}} (\ ln m) ^ {2} \ right \} \ ln m \ end {array}} \ ,, \ qquad \ quad r = 1,2,3, \ ldots, m-1. } см. Благушин. [5] Аналогичный результат был позже получен Коффи другим методом. [32]
Рекомендации ^ a b c Коппо, Марк-Антуан (1999). "Новые выражения констант де Стилтьес". Expositiones Mathematicae . 17 : 349–358. ^ а б Коффи, Марк В. "Представления ряда для констант Стилтьеса". arXiv : 0905.1111 . ^ а б Коффи, Марк В. (2010). "Представление в виде ряда Аддисона для констант Стилтьеса". J. Теория чисел . 130 : 2049–2064. DOI : 10.1016 / j.jnt.2010.01.003 . ^ Чой, Джунесан (2013). «Некоторые интегральные представления констант Стилтьеса». Журнал неравенств и приложений . 532 : 1–10. ^ Б с д е е г ч Благушин, Ярослав В. (2015). «Теорема для вычисления в закрытой форме первой обобщенной постоянной Стилтьеса при рациональных аргументах и некоторых связанных суммирования». Журнал теории чисел . 148 : 537–592. arXiv : 1401.3724 . DOI : 10.1016 / j.jnt.2014.08.009 . И т. 151, стр. 276-277, 2015. arXiv : 1401.3724 ^ a b c d e f g Ярослав В. Благушин. Разложение обобщенных констант Эйлера в ряды многочленов от π − 2 и в формальные охватывающие ряды только с рациональными коэффициентами Journal of Number Theory (Elsevier), vol. 158, pp. 365-396, 2016. Исправление: т. 173, стр. 631-632, 2017. arXiv: 1501.00740 ^ «Пара определенных интегралов, связанных с константами Стилтьеса» . Обмен стеками . ^ Харди, Г. Х. (2012). «Примечание к серии д-ра Вакки для γ». QJ Pure Appl. Математика . 43 : 215–216. ^ а б Исраилов М.И. (1981). «О разложении Лорана дзета-функции Римана». Труды Матем. Inst. Акад. Наук. СССР . 158 : 98–103. ^ Донал Ф. Коннон Некоторые применения констант Стилтьеса , arXiv: 0901.2083 ^ а б Благушин, Ярослав В. (2018), «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF) , INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел , 18A (# A3): 1–45, arXiv : 1606.02044 ^ На самом деле Благушин дает более общие формулы, которые справедливы и для обобщенных констант Стилтьеса. ^ «Закрытая форма для сериала ...» Stack Exchange . ^ Брюс С. Берндт. О дзета-функции Гурвица . Журнал математики Роки-Маунтин, вып. 2, вып. 1. С. 151-157, 1972. ^ А.Ф. Лаврик. О главном члене проблемы делителей и степенном ряде дзета-функции Римана в окрестности ее полюса . Труды Матем. Inst. Акад. Наук. СССР, т. 142, стр. 165-173, 1976. ↑ Z. Nan-You и KS Williams. Некоторые результаты об обобщенных константах Стилтьеса . Анализ, т. 14. С. 147-162, 1994. ^ Ю. Мацуока. Обобщенные константы Эйлера, связанные с дзета-функцией Римана . Теория чисел и комбинаторика: Япония, 1984, World Scientific, Сингапур, стр. 279-295, 1985. ^ Ю. Мацуока. О степенных коэффициентах дзета-функции Римана . Токийский математический журнал, вып. 12, вып. 1. С. 49-58, 1989. ^ a b c Чарльз Кнессл и Марк У. Коффи. Эффективная асимптотическая формула для констант Стилтьеса . Математика. Comp., Т. 80, нет. 273, стр. 379-386, 2011. ^ Lazhar Fekih-Ахмед. Новая эффективная асимптотическая формула для констант Стилтьеса , arXiv: 1407.5567 ^ Чоудхури, Б.К. (1995). «Дзета-функция Римана и ее производные». Proc. Royal Soc. А (1940): 477–499. DOI : 10,1098 / rspa.1995.0096 . ^ Кейпер, JB (1992). «Разложения в степенной ряд ζ-функции Римана» . Математика. Комп . 58 (198): 765–773. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1992-1122072-5 . ^ Кременский, Рик (2003). «Интегрирование Ньютона-Котеса для аппроксимации обобщенных констант Эйлера Стилтьеса» . Математика. Комп . 72 (243): 1379–1397. DOI : 10.1090 / S0025-5718-02-01483-7 . ^ Саймон Плафф. Константы Стилтьеса, от 0 до 78, 256 цифр каждая ^ Йоханссон, Фредрик (2015). «Строгое высокоточное вычисление дзета-функции Гурвица и ее производных». Num. Alg . 69 : 253–570. arXiv : 1309.2877 . DOI : 10.1007 / s11075-014-9893-1 . ^ а б в г Йоханссон, Фредрик; Благушин, Ярослав (2019). «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексной интеграции». Математика вычислений . 88 (318): 1829–1850. arXiv : 1804.01679 . DOI : 10.1090 / MCOM / 3401 . ^ а б «Определенный интеграл» . Обмен стеками . ^ Коннон, Донал Ф. «Новые доказательства формул удвоения и умножения для гамма-функций и двойных гамма-функций Барнса». arXiv : 0903.4539 . ^ a b c d Ярослав В. Благушин Повторное открытие интегралов Мальмстена, их вычисление методами контурного интегрирования и некоторые связанные результаты. Журнал Рамануджана, т. 35, нет. 1, pp. 21-110, 2014. Erratum-Addendum: vol. 42, стр. 777-781, 2017. PDF ↑ В. Адамчик. Класс логарифмических интегралов. Труды Международного симпозиума 1997 года по символическим и алгебраическим вычислениям, стр. 1-8, 1997. ^ «Оценка частного интеграла» . Обмен стеками . ^ a b Марк У. Коффи Функциональные уравнения для констант Стилтьеса , arXiv : 1402.3746 ^ Донал Ф. Коннон Разница между двумя константами Стилтьеса , arXiv: 0906.0277