Число Бернулли

В математике , то Бернулли числа В _п представляют собой последовательность из рациональных чисел , которые часто встречаются в теории чисел . Числа Бернулли появляются в (и может быть определено) в ряд Тейлора разложения по касательной и гиперболического тангенса функций, в формуле Фаульхабер в на сумму м -х степеней первых п натуральных чисел, в формуле Эйлера-Маклорена , и в выражениях для некоторых значений дзета-функции Римана .

Значения первых 20 чисел Бернулли приведены в таблице рядом. В литературе используются два условных обозначения, обозначенных здесь и ; они различаются только для n = 1 , где и . Для каждого нечетного п > 1 , В _п = 0 . Для каждого даже п > 0 , B _п является отрицательным , если п делится на 4 и положительное в противном случае. Числа Бернулли являются специальными значениями многочленов Бернулли с и . ^[1]${\ displaystyle B_ {n} ^ {- {}}}$${\ displaystyle B_ {n} ^ {+ {}}}$${\ displaystyle B_ {1} ^ {- {}} = - 1/2}$${\ displaystyle B_ {1} ^ {+ {}} = + 1/2}$ ${\displaystyle B_{n}(x)}$${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком Якобом Бернулли , в честь которого они названы, и независимо японским математиком Секи Такакадзу . Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 году ^{[2] [3]} в его работе Katsuyō Sanpō ; Бернулли, также посмертно, в его Искусства предположений о 1713 Ада Лавлейс «s примечание G на Analytical Engine с 1842 описывает алгоритм для генерации чисел Бернулли с Бэббиджа » s машины. ^[4]В результате числа Бернулли стали предметом первой опубликованной сложной компьютерной программы .

Обозначение [ править ]

Верхний индекс ±, используемый в этой статье, различает два соглашения о знаках для чисел Бернулли. Затрагивается только член n = 1 :

• B^-
  _п с B^-
  ₁ = -1/2 ( OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 ) - это знаковое соглашение, предписанное NIST и большинством современных учебников. ^[5]
• B⁺
  _пс B⁺
  ₁ = +1/2 ( OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 ) иногда используется в более ранней литературе. ^[1]

В приведенных ниже формулах можно переключиться с одного соглашения о знаках на другое с помощью отношения или для целого числа n = 2 или больше просто игнорировать его.${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$

Поскольку B _n = 0 для всех нечетных n > 1 , а многие формулы включают только числа Бернулли с четным индексом, некоторые авторы пишут « B _n » вместо B _{2 n}  . В данной статье не используются эти обозначения.

История [ править ]

Ранняя история [ править ]

Числа Бернулли уходят корнями в раннюю историю вычисления сумм целочисленных степеней, которые интересовали математиков с древних времен.

Методы вычисления суммы первых n натуральных чисел, суммы квадратов и кубиков первых n натуральных чисел были известны, но не было никаких настоящих «формул», только описания, данные полностью на словах. Среди великих математиков древности, которые рассмотрели эту проблему, были Пифагор (ок. 572–497 до н. Э., Греция), Архимед (287–212 г. до н. Э., Италия), Арьябхата (род. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайтам (965–1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начале семнадцатого веков математики добились значительного прогресса. На Западе важную роль играли Томас Харриот (1560–1621) в Англии, Иоганн Фаульхабер (1580–1635) из Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и его коллега-французский математик Блез Паскаль (1623–1662).

Томас Харриот, кажется, был первым, кто вывел и написал формулы для сумм степеней, используя символические обозначения, но даже он вычислил только сумму четвертых степеней. Иоганн Фаульхабер дал формулы для сумм степеней до 17-й степени в своей Академии алгебры 1631 года , что намного выше, чем у всех до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал тождество Паскаля, связав суммы p- й степени первых n натуральных чисел для p = 0, 1, 2,…, k .

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) был первым, кто осознал существование единой последовательности констант B ₀ , B ₁ , B ₂ ,…, которые обеспечивают единую формулу для всех сумм степеней. ^[6]

Радость, которую испытал Бернулли, когда он натолкнулся на шаблон, необходимый для быстрого и легкого вычисления коэффициентов его формулы для суммы c- ых степеней для любого положительного целого числа c, можно увидеть из его комментария. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось менее половины четверти часа, чтобы выяснить, что сложение десятых степеней первых 1000 чисел даст сумму 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500».

Результат Бернулли был опубликован посмертно в Ars Conjectandi в 1713 году. Секи Такакадзу независимо открыл числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году. ^[2] Однако Секи не представил свой метод в виде формулы, основанной на последовательность констант.

Формула Бернулли для сумм степеней на сегодняшний день является наиболее полезной и обобщаемой формулировкой. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли по предложению Абрахама де Муавра .

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаулхабера в честь Иоганна Фаулхабера, который нашел замечательные способы вычисления суммы степеней, но никогда не формулировал формулу Бернулли. Согласно Кнуту ^[6], строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карлом Якоби в 1834 году. ^[7] Подробное исследование формулы Фаульхабера Кнута заключает (нестандартные обозначения на LHS объясняются ниже):

«Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли; то есть он никогда не осознавал, что одна последовательность констант B ₀ , B ₁ , B ₂ , … обеспечит единообразие

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

или же

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

для всех сумм полномочий. Он никогда не упоминал, например, тот факт, что почти половина коэффициентов оказалась равной нулю после того, как он преобразовал свои формулы для ∑ n ^m из полиномов от N в полиномы от n » ^[8].

Реконструкция "Summae Potestatum" [ править ]

Числа Бернулли OEIS :  A164555 (n) / OEIS :  A027642 (n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi, посмертно опубликованной в 1713 году, стр. 97. Основную формулу можно увидеть во второй половине соответствующего факсимиле. Постоянные коэффициенты, обозначенные Бернулли A , B , C и D , отображаются в обозначение, которое сейчас преобладает как A = B ₂ , B = B ₄ , C = B ₆ , D =В ₈ . Выражение c · c −1 · c −2 · c −3 означает c · ( c −1) · ( c −2) · ( c −3) - маленькие точки используются как символы группировки. Используя сегодняшнюю терминологию, эти выражения представляют собой падающие факториальные мощности c ^k . Факториальное обозначение k ! как сокращение для 1 × 2 ×… × k было введено только 100 лет спустя. Интегральный символ на левой стороне восходит к Готфриду Вильгельму Лейбницу в 1675 году, который использовал его как длинную букву S.для «summa» (сумма). ^[b] Буква n в левой части не является индексом суммирования, но дает верхний предел диапазона суммирования, который следует понимать как 1, 2,…, n . Сложив все вместе, для положительного c , сегодня математик, вероятно, запишет формулу Бернулли как:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Эта формула предлагает установить B ₁ =1/2при переходе от так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6… к современной форме (подробнее о различных соглашениях в следующем абзаце). Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что падающий факториал c ^{k −1} имеет для k = 0 значение1/c + 1. ^[9] Таким образом, формула Бернулли может быть записана

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

если B ₁ = 1/2 , повторное получение значения, которое Бернулли дал коэффициенту в этой позиции.

Формула для первой половины содержит ошибку в последнем члене; это должно быть вместо .${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$

Определения [ править ]

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждое из них может быть использовано для введения этих чисел. Здесь упоминаются только три из самых полезных:

• рекурсивное уравнение,
• явная формула,
• производящая функция.

Для доказательства эквивалентности трех подходов. ^[10]

Рекурсивное определение [ править ]

Числа Бернулли подчиняются формулам суммы ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

где и δ обозначает символ Кронекера . Решение для дает рекурсивные формулы${\displaystyle m=0,1,2...}$${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

Явное определение [ править ]

В 1893 году Луи Заальшютц перечислил в общей сложности 38 явных формул для чисел Бернулли ^[11], обычно давая некоторые ссылки в более ранней литературе. Один из них является:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}}$

Функция генерации [ править ]

Экспоненциальные производящие функции :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{aligned}}}$

где подстановка .${\displaystyle t\to -t}$

(Обычная) производящая функция

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

является асимптотическим рядом . Он содержит тригамма-функцию ψ ₁ .

Числа Бернулли и дзета-функция Римана [ править ]

Числа Бернулли можно выразить через дзета-функцию Римана :

B⁺
_п= - nζ (1 - n )           для n ≥ 1  .

Здесь аргумент дзета-функции равен 0 или отрицателен.

С помощью дзета- функционального уравнения и формулы гамма- отражения можно получить следующее соотношение: ^[12]

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$для n ≥ 1  .

Теперь аргумент дзета-функции положительный.

Тогда из ζ → 1 ( n → ∞ ) и формулы Стирлинга следует, что

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$при n → ∞  .

Эффективное вычисление чисел Бернулли [ править ]

В некоторых приложениях полезно иметь возможность вычислять числа Бернулли от B ₀ до B _{p - 3} по модулю p , где p - простое число; например, чтобы проверить, верна ли гипотеза Вандивера для p , или даже просто определить, является ли p неправильным простым числом . Невозможно выполнить такое вычисление с использованием приведенных выше рекурсивных формул, поскольку потребовалось бы по крайней мере (постоянное кратное) p ² арифметических операций. К счастью, были разработаны более быстрые методы ^{[13], для} которых требуется всего O ( p(log p ) ² ) операции (см. большую нотацию O ).

Дэвид Харви ^[14] описывает алгоритм вычисления чисел Бернулли, вычисляя B _n по модулю p для многих малых простых чисел p , а затем восстанавливая B _{n с} помощью китайской теоремы об остатках . Харви пишет, что асимптотическая временная сложность этого алгоритма составляет O ( n ² log ( n ) ^{2 + ε} ), и утверждает, что эта реализация значительно быстрее, чем реализации, основанные на других методах. Используя эту реализацию, Харви вычислил B _nдля n = 10 ⁸ . Реализация Харви была включена в SageMath с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер ^[15] вычислил B _n с полной точностью для n = 10 ⁶ в декабре 2002 г. и Александр Павлык ^[16] для n = 10 ⁷ с помощью Mathematica в апреле 2008 г.

Компьютер	Год	п	Цифры *
Дж. Бернулли	~ 1689	10	1
Л. Эйлер	1748	30	8
Джей Си Адамс	1878 г.	62	36
Д. Е. Кнут, Т. Дж. Бакгольц	1967	1 672	3 330
Дж. Фи, С. Плафф	1996 г.	10 000	27 677
Дж. Фи, С. Плафф	1996 г.	100 000	376 755
BC Kellner	2002 г.	1 000 000	4 767 529
О. Павлык	2008 г.	10 000 000	57 675 260
Д. Харви	2008 г.	100 000 000	676 752 569

* Цифры следует понимать как показатель степени 10, когда B _n записывается как действительное число в нормализованном научном представлении .

Приложения чисел Бернулли [ править ]

Асимптотический анализ [ править ]

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является их использование в формуле Эйлера – Маклорена . Предполагая, что f - достаточно часто дифференцируемая функция, формулу Эйлера – Маклорена можно записать в виде ^[17]

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Эта формулировка предполагает соглашение B^-
₁ = -1/2. Используя соглашение B⁺
₁ = +1/2 формула становится

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Здесь (т.е. производная нулевого порядка от равна ). Кроме того, пусть обозначает первообразную от . По основной теореме исчисления ,${\displaystyle f^{(0)}=f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{(-1)}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

Таким образом, последнюю формулу можно дополнительно упростить до следующей краткой формы формулы Эйлера – Маклорена

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Эта форма, например, является источником важного разложения Эйлера – Маклорена дзета-функции

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Здесь s ^k обозначает возрастающую факторную мощность . ^[18]

Числа Бернулли также часто используются в других видах асимптотических разложений . Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение типа Пуанкаре дигамма-функции ψ .

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Сумма полномочий [ править ]

Числа Бернулли занимают видное место в замкнутой форме выражения суммы m- й степени первых n натуральных чисел. Для m , n ≥ 0 определим

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Это выражение всегда можно переписать в виде полинома в п степени т + 1 . В коэффициенты этих многочленов связаны с числами Бернулли по формуле Бернулли :

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

где (^{м + 1}
_к) обозначаетбиномиальный коэффициент.

Например, если принять m равным 1, получатся треугольные числа 0, 1, 3, 6,… OEIS :  A000217 .

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Принимая m равным 2, получаем квадратные пирамидальные числа 0, 1, 5, 14,… OEIS :  A000330 .

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Некоторые авторы используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

Формулу Бернулли иногда называют формулой Фаульхабера в честь Иоганна Фаулхабера, который также нашел замечательные способы вычисления сумм степеней .

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном до q -аналога . ^[19]

Серия Тейлор [ править ]

Числа Бернулли появляются в разложении ряда Тейлора многих тригонометрических функций и гиперболических функций .

Касательная

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}$

Котангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Гиперболический тангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Гиперболический котангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Серия Лорана [ править ]

Числа Бернулли появляются в следующей серии Лорана : ^[20] :

Дигамма-функция :${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Использование в топологии [ править ]

Формула Кервера – Милнора для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотических (4 n - 1) -сфер, ограничивающих параллелизуемые многообразия, включает числа Бернулли. Пусть ES _n - количество таких экзотических сфер при n ≥ 2 , тогда

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

Теорема подписи Хирцебруха для L рода одного гладких ориентированного замкнутого многообразия в размерности 4 п также включает в себя числа Бернулли.

Связи с комбинаторными числами [ править ]

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных чисел основана на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как примера фундаментального комбинаторного принципа, принципа включения-исключения .

Связь с числами Ворпицкого [ править ]

Определение, которое следует продолжить, было разработано Юлиусом Ворпицки в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция n ! и используется степенная функция k ^m . Беззнаковые числа Ворпицки определяются как

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

Их также можно выразить через числа Стирлинга второго рода.

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

Затем вводится число Бернулли как сумма включения-исключения чисел Ворпицки, взвешенных гармонической последовательностью 1, 1/2, 1/3,…

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

В ₀ = 1

В ₁ = 1 -1/2

В ₂ = 1 -3/2 + 2/3

В ₃ = 1 -7/2 + 12/3 - 6/4

В ₄ = 1 -15/2 + 50/3 - 60/4 + 24/5

В ₅ = 1 -31 год/2 + 180/3 - 390/4 + 360/5 - 120/6

В ₆ = 1 -63/2 + 602/3 - 2100/4 + 3360/5 - 2520/6 + 720/7

Это представление имеет B⁺
₁ = +1/2.

Рассмотрим последовательность s _n , n ≥ 0 . Из чисел Ворпицки OEIS :  A028246 , OEIS :  A163626 применительно к s ₀ , s ₀ , s ₁ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ ,… идентичен формуле Акияма – Танигава. преобразование, примененное к s _n (см.Связь с числами Стирлинга первого рода ). Это видно из таблицы:

Тождество представления
Верпицкого и преобразования Акиямы – Танигавы

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

Первая строка представляет s ₀ , s ₁ , s ₂ , s ₃ , s ₄ .

Следовательно, для вторых дробных чисел Эйлера OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 ):

E ₀ = 1

E ₁ = 1 -1/2

Е ₂ = 1 -3/2 + 2/4

E ₃ = 1 -7/2 + 12/4 - 6/8

Е ₄ = 1 -15/2 + 50/4 - 60/8 + 24/16

Е ₅ = 1 -31 год/2 + 180/4 - 390/8 + 360/16 - 120/32

E ₆ = 1 -63/2 + 602/4 - 2100/8 + 3360/16 - 2520/32 + 720/64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицки, предназначена для n ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

Упрощенное второе представление Ворпицкого вторых чисел Бернулли:

OEIS :  A164555 ( n + 1 ) / OEIS :  A027642 ( n + 1 ) =п + 1/2 ^{п + 2} - 2× OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 )

который связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало:

1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42знак равно1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21 год,…) × (1, 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2,…)

Числители первых скобок - OEIS :  A111701 (см. Связь с числами Стирлинга первого рода ).

Связь с числами Стирлинга второго рода [ править ]

Если S ( k , m ) обозначает числа Стирлинга второго рода ^[21], то имеем:

${\displaystyle j^{k}=\sum _{m=0}^{k}{j^{\underline {m}}}S(k,m)}$

где j ^m обозначает падающий факториал .

Если определить полиномы Бернулли B _k ( j ) как: ^[22]

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

где B _k для k = 0, 1, 2,… - числа Бернулли.

Тогда после следующего свойства биномиального коэффициента :

${\displaystyle {\binom {j}{m}}={\binom {j+1}{m+1}}-{\binom {j}{m+1}}}$

надо,

${\displaystyle j^{k}={\frac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}.}$

Для многочленов Бернулли также имеется следующее: ^[22]

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

Коэффициент при j в (^Дж
_{м + 1}) является(−1) ^м/м + 1.

Сравнивая коэффициент при j в двух выражениях полиномов Бернулли, получаем:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)}$

(что приводит к B ₁ = +1/2), который является явной формулой для чисел Бернулли и может использоваться для доказательства теоремы Фон-Штаудта Клаузена . ^{[23] [24] [25]}

Связь с числами Стирлинга первого рода [ править ]

Две основные формулы, связывающие беззнаковые числа Стирлинга первого рода [^п
_м] к числам Бернулли (при B ₁ = +1/2) находятся

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

и обращение этой суммы (при n ≥ 0 , m ≥ 0 )

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Здесь числа A _{n , m} - рациональные числа Акиямы – Танигавы, первые несколько из которых показаны в следующей таблице.

Число Акияма – Танигава

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	…
2	1/6	1/6	3/20	…	…
3	0	1/30	…	…	…
4	-1/30	…	…	…	…

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. См. OEIS :  A051714 / OEIS :  A051715 .

Autosequence представляет собой последовательность , которая имеет обратную биномиальных преобразование равно подписанная последовательность. Если главная диагональ нули = OEIS :  A000004 , автопоследовательность относится к первому виду. Пример: OEIS :  A000045 , числа Фибоначчи. Если главная диагональ - это первая верхняя диагональ, умноженная на 2, это второй вид. Пример: OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 , вторые числа Бернулли (см. OEIS :  A190339 ). Преобразование Акияма-Танигава, примененное к 2 ^{- n} = 1 / OEIS : A000079 ведет к OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A06519 ( n + 1). Следовательно:

Преобразование Акиямы – Танигавы для вторых чисел Эйлера

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	…
2	0	1/4	3/8	…	…
3	-1/4	-1/4	…	…	…
4	0	…	…	…	…

См. OEIS :  A209308 и OEIS :  A227577 . OEIS :  A198631 ( n ) / OEIS :  A006519 ( n + 1 ) - вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

(OEIS :  A164555 ( n + 2 )/OEIS :  A027642 ( n + 2 ) знак равно 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42,… ) × (2 ^{п + 3} - 2/п + 2= 3,14/3, 15/2, 62/5, 21,… ) =OEIS :  A198631 ( n + 1 )/OEIS :  A006519 ( n + 2 ) знак равно 1/2, 0, -1/4, 0, 1/2,… .

Также ценно для OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 (см. Связь с числами Ворпицкого ).

Связь с треугольником Паскаля [ править ]

Существуют формулы, связывающие треугольник Паскаля с числами Бернулли ^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

где - определитель матричной части Хессенберга размером n на n треугольника Паскаля , элементами которой являются:${\displaystyle |A_{n}|}$${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пример:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

Связь с числами Эйлера [ править ]

Есть формулы, связывающие числа Эйлера ⟨^п
_м⟩ К числам Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

Обе формулы верны для n ≥ 0, если для B ₁ установлено значение1/2. Если B ₁ установлен на -1/2они верны только для n ≥ 1 и n ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева [ править ]

Многочлены Стирлинга σ _n ( x ) связаны с числами Бернулли соотношением B _n = n ! σ _n (1) . SC Woon описал алгоритм вычисления σ _n (1) в виде двоичного дерева: ^[26]

Рекурсивный алгоритм Вуна (для n ≥ 1 ) начинается с присвоения корневому узлу N = [1,2] . Для узла N = [ a ₁ , a ₂ ,…, a _k ] дерева левый дочерний элемент этого узла равен L ( N ) = [- a ₁ , a ₂ + 1, a ₃ ,…, a _k ] и правый дочерний элемент R ( N ) = [ a ₁ , 2, a ₂ ,…, a_k ]. Узел N = [ a ₁ , a ₂ ,…, a _k ]записывается как± [ a ₂ ,…, a _k ]в начальной части дерева, представленного выше, где ± обозначает знак a ₁ .

Для узла N факториал N определяется как

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

Ограниченная узлами N фиксированного уровня дерева n, сумма1/N !есть σ _n (1) , поэтому

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

Например:

В ₁ = 1! (1/2!)

В ₂ = 2! (-1/3! + 1/2! 2!)

В ₃ = 3! (1/4! - 1/2! 3! - 1/3! 2! + 1/2! 2! 2!)

Интегральное представление и продолжение [ править ]

интеграл

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}}$

имеет специальные значения b (2 n ) = B _{2 n} для n > 0 .

Например, b (3) =3/2ζ (3) π ⁻³ i и b (5) = -15/2ζ (5) π ⁻⁵ я . Здесь ζ - дзета-функция Римана , а i - мнимая единица . Леонард Эйлер ( Opera Omnia , Ser. 1, Vol. 10, p. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

Связь с числами Эйлера и π [ править ]

Эти числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел тесно связанные с числами Бернулли. Сравнение асимптотических разложений чисел Бернулли и Эйлера показывает, что числа Эйлера E _{2 n} по величине приблизительно2/π(4 ^{2 n} - 2 ^{2 n} ) раз больше, чем числа Бернулли B _{2 n} . В результате:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

Это асимптотическое уравнение показывает, что π лежит в общем корне как чисел Бернулли, так и чисел Эйлера. Фактически, π может быть вычислено из этих рациональных приближений.

Числа Бернулли можно выразить через числа Эйлера и наоборот. Так, для нечетных п , В _п = Е _п = 0 (за исключением B ₁ ), достаточно рассмотреть случай , когда п четно.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

Эти формулы преобразования выражают обратную связь между числами Бернулли и Эйлера. Но что еще важнее, есть глубокий арифметический корень, общий для обоих видов чисел, который может быть выражен через более фундаментальную последовательность чисел, также тесно связанную с π . Эти числа определены для n > 1 как

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(4k+1)^{-n}\qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots }$

и S ₁ = 1 по соглашению. ^[27] Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Впервые это было доказано Леонардом Эйлером в знаменательной статье De summis serierum reciprocarum (О суммах рядов обратных величин ) и с тех пор очаровывает математиков. ^[28] Первые несколько из этих чисел

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$( OEIS :  A099612 / OEIS :  A099617 )

Это коэффициенты в разложении sec x + tan x .

Числа Бернулли и числа Эйлера лучше всего понимать как особые виды этих чисел, выбранные из последовательности S _n и масштабированные для использования в специальных приложениях.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Выражение [ n even] имеет значение 1, если n четно, и 0 в противном случае ( скобка Айверсона ).

Эти тождества показывают, что отношение чисел Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является лишь частным случаем R _n =2 S _n/S _{n + 1}когда n четно. R _п рациональные приближения к л и два последовательных условия всегда заключите истинное значение П . Начиная с n = 1 начинается последовательность ( OEIS :  A132049 / OEIS :  A132050 ):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

Эти рациональные числа также встречаются в последнем абзаце цитированной выше статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы – Танигавы для последовательности OEIS :  A046978 ( n + 2 ) / OEIS :  A016116 ( n + 1 ):

0	1	1/2	0	-1/4	-1/4	-1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	-5/8	-3/4
2	-1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	-7/2	-3/4	15/2
4	5/2	-11/2	-99/4
5	8	77/2
6	-61/2

Начиная со второго, числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец -1/2× OEIS :  A163982 .

Алгоритмический взгляд: треугольник Зейделя [ править ]

Последовательность S _n обладает еще одним неожиданным, но важным свойством: знаменатели S _n делят факториал ( n  - 1)! . Другими словами: числа T _n  =  S _n ( n  - 1)! , иногда называемые числами зигзага Эйлера , являются целыми числами.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$( OEIS :  A000111 ). См. ( OEIS :  A253671 ).

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера могут быть переписаны в терминах этой последовательности как

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Эти тождества упрощают вычисление чисел Бернулли и Эйлера: числа Эйлера E _n сразу задаются как T _{2 n + 1,} а числа Бернулли B _{2 n} получаются из T _{2 n} путем некоторого простого сдвига, избегая рациональной арифметики.

Осталось найти удобный способ вычисления чисел T _n . Однако уже в 1877 году Филипп Людвиг фон Зайдель опубликовал гениальный алгоритм, упрощающий вычисление T _n . ^[29]

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

1. Начните с размещения 1 в строке 0 и пусть k обозначает номер строки, которая в данный момент заполняется.
2. Если k нечетное, то поместите число в левом конце строки k - 1 в первую позицию строки k и заполните строку слева направо, при этом каждая запись представляет собой сумму числа к слева и цифра вверху
3. В конце ряда продублируйте последнюю цифру.
4. Если k четно, действуйте аналогичным образом в другом направлении.

На самом деле алгоритм Зейделя гораздо более общий (см. Описание Доминика Дюмона ^[30] ), и впоследствии он несколько раз переоткрывался.

Подобно подходу Зайделя, Д. Кнут и Т. Дж. Бакгольц дали рекуррентное уравнение для чисел T _{2 n} и рекомендовали этот метод для вычисления B _{2 n} и E _{2 n} 'на электронных компьютерах, используя только простые операции с целыми числами'. ^[31]

В.И. Арнольд ^[32] заново открыл алгоритм Зейделя, а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зейделя под названием преобразование бустрофедона .

Треугольная форма:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

В OEIS входят только OEIS :  A000657 с одной единицей и OEIS :  A214267 с двумя единицами .

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Это OEIS :  A239005 , подписанная версия OEIS :  A008280 . Основная диагональ - OEIS :  A122045 . Основная диагональ - OEIS :  A155585 . Центральная колонна - OEIS :  A099023 . Суммы строк: 1, 1, −2, −5, 16, 61…. См. OEIS :  A163747 . См. Массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A046978 ( n + 1 ) / OEIS :  A016116 ( n ), дает:

1	1	1/2	0	-1/4	-1/4	-1/8
0	1	3/2	1	0	-3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	-15/2	1
5	5	-51/2
0	61
−61

1. Первый столбец - OEIS :  A122045 . Его биномиальное преобразование приводит к:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

Первая строка этого массива - OEIS :  A155585 . Абсолютные значения возрастающих антидиагоналей OEIS :  A008280 . Сумма антидиагоналей - OEIS :  A163747 ( n + 1 ).

2. Второй столбец: 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385… . Его биномиальное преобразование дает:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

Первая строка этого массива: 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584… . Абсолютные значения второго деления пополам - это двойные абсолютные значения первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A046978 ( n ) / ( OEIS :  A158780 ( n + 1 ) = abs ( OEIS :  A117575 ( n )) + 1 = 1, 2, 2,3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32… .

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	-3/2	3	25/4
2	−3	-27/2	−13
5	21 год	-3/2
−16	45
−61

Первый столбец с абсолютными значениями OEIS :  A000111 может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS :  A163747 - автопоследовательность первого типа (главная диагональ - OEIS :  A000004 ). Соответствующий массив:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	-45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402… = (−1) ^{n + 1}  ×  OEIS :  A002832 . Сумма антидиагоналей равна 0 −2 0 10… = 2 ×  OEIS :  A122045 ( n  + 1).

- OEIS :  A163982 - автопоследовательность второго типа, например, OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 . Отсюда массив:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	-88
2	7	−4	−92
5	−11	-88
−16	−77
−61

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92… , является двойной первой верхней диагонали, здесь OEIS :  A099023 . Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0… = 2 ×  OEIS :  A155585 ( n + 1). OEIS :  A163747  -  OEIS :  A163982 = 2 ×  OEIS :  A122045 .

Комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки [ править ]

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал ставший уже классическим результатом комбинаторного анализа. ^{[33] [34]} Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрических функций tan x и sec x, Андре сделал поразительное открытие.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Коэффициенты - это числа Эйлера нечетного и четного индекса соответственно. Следовательно, обычное разложение tan x + sec x имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S _n .

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

Затем Андре с помощью аргумента повторения сумел показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера пронумерованы числами Эйлера нечетного индекса (также называемые касательными числами), а чередующиеся перестановки четного размера - числами Эйлера четного индекса (также называемые секущие числа).

Связанные последовательности [ править ]

Среднее арифметическое первого и второго чисел Бернулли являются ассоциированными числами Бернулли: B ₀ = 1 , B ₁ = 0 , B ₂ =1/6, B ₃ = 0 , B ₄ = -1/30, OEIS :  A176327 / OEIS :  A027642 . Через второй ряд обратного преобразования Акияма-Танигавы OEIS :  A177427 они приводят к серии Бальмера OEIS :  A061037 / OEIS :  A061038 .

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS :  A060819 ( n + 4 ) / OEIS :  A145979 ( n ), приводит к числам Бернулли OEIS :  A027641 / OEIS :  A027642 , OEIS :  A164555 / OEIS :  A027642 или OEIS :  A176327 OEIS : A176327 OEIS :  A176327 без B ₁ , называемые внутренними числами Бернулли B _i ( n ) .

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35 год	5/84
-1/30	-1/30	-3/140	-1/105	0
0	-1/42	-1/28 год	-4/105	-1/28 год