Джейкоб Бернулли

Джейкоб Бернулли
Джейкоб Бернулли
Родившийся	( 1655-01-06 )6 января 1655 г. Базель , Швейцария
Умер	16 августа 1705 г. (1705-08-16)(50 лет) Базель, Швейцария
Образование	Базельский университет (D.Th., 1676; Dr. phil. Hab., 1684)
Известен	Дифференциальное уравнение Бернулли Числа Бернулли Формула Бернулли Полиномы Бернулли Отображение Бернулли Проба Бернулли Процесс Бернулли Схема Бернулли Оператор Бернулли Скрытая модель Бернулли Выборка Бернулли Распределение Бернулли Случайная величина Бернулли Золотая теорема Бернулли Неравенство Бернулли Лемнискат
Научная карьера
Поля	Математика , механика
Учреждения	Базельский университет
Тезисов	Primi et Secundi Adami Collatio (1676) Solutionem tergemini problematis arithmetici, geometryi et astronomici (Решения тройной задачи в арифметике, геометрии и астрономии) (1684)
Докторант	Питер Веренфельс (советник диссертации 1676 г.)
Другие научные консультанты	Готфрид Вильгельм Лейбниц (эпистолярный корреспондент)
Докторанты	Якоб Герман Николаус I Бернулли
Другие известные студенты	Иоганн Бернулли
Влияния	Николя Мальбранш ^[1]

Примечания
Брат Иоганна Бернулли

Якоб Бернулли ^[а] (также известный как Джеймс или Жак ; 6 января 1655 г. [ OS 27 декабря 1654] - 16 августа 1705 г.) был одним из многих выдающихся математиков в семье Бернулли . Он был одним из первых сторонников исчисления Лейбница и встал на сторону Готфрида Вильгельма Лейбница во время спора об исчислении Лейбница-Ньютона . Он известен своим многочисленным вкладом в исчисление и вместе со своим братом Иоганном был одним из основателей вариационного исчисления . Он также открыл фундаментальную математическую постоянную $e$ . Однако его самый важный вклад был в области вероятностей , где он вывел первую версию закона больших чисел в своей работе Ars Conjectandi . ^[4]

Биография [ править ]

Якоб Бернулли родился в Базеле , Швейцария . По желанию отца он изучил богословие и поступил на служение. Но вопреки желанию родителей ^[5] он также изучал математику и астрономию . Он путешествовал по Европе с 1676 по 1682 год, узнавая о последних открытиях в математике и науках под руководством ведущих деятелей того времени. Это включало работы Йоханнеса Хадде , Роберта Бойля и Роберта Гука . За это время он также разработал неверную теорию комет .

Изображение из Acta Eruditorum (1682 г.), где была опубликована критика Conamen novi systematis cometarum Бернулли.

Бернулли вернулся в Швейцарию и начал преподавать механику в Базельском университете с 1683 года. Его докторская диссертация Solutionem tergemini problematis была представлена в 1684 году. ^[6] Она появилась в печати в 1687 году ^[7].

В 1684 году Бернулли женился на Юдифи Ступанус; у них было двое детей. В течение этого десятилетия он также начал плодотворную исследовательскую карьеру. Его путешествия позволили ему установить переписку со многими ведущими математиками и учеными его эпохи, которую он поддерживал на протяжении всей своей жизни. За это время он изучил новые открытия в области математики, в том числе Христиана Гюйгенса «ы Де ratiociniis в aleae Люда , Декарт » La Geometrie и Ван Схотен, Франс добавки «s его. Он также изучал Исаака Барроу и Джона Уоллиса , что привело его к интересу к геометрии бесконечно малых. Помимо этого, именно между 1684 и 1689 годами многие из результатов, которые должны были составитьБыли открыты Ars Conjectandi .

Он был назначен профессором математики Базельского университета в 1687 году, оставаясь на этой должности до конца своей жизни. К тому времени он начал обучать своего брата Иоганна Бернулли математическим темам. Два брата начали изучать исчисление, представленное Лейбницем в его статье 1684 года о дифференциальном исчислении в « Nova Methodus pro Maximis et Minimis », опубликованной в Acta Eruditorum . Они также изучали публикации фон Чирнхауза . Следует понимать, что публикации Лейбница по математическому анализу были очень неясными для математиков того времени, и Бернулли были одними из первых, кто попытался понять и применить теории Лейбница.

Джейкоб сотрудничал со своим братом в различных приложениях исчисления. Однако атмосфера сотрудничества между двумя братьями превратилась в соперничество по мере того, как математический гений Иоганна начал созревать, и оба они нападали друг на друга в печати и ставили сложные математические задачи, чтобы проверить навыки друг друга. ^[8] К 1697 году отношения полностью разорвались.

Лунный кратер Бернулли также назван в его честь вместе с его братом Иоганном.

Важные работы [ править ]

Первым важным вкладом Якоба Бернулли была брошюра о параллелях логики и алгебры, опубликованная в 1685 году, работа над вероятностью в 1685 году и геометрия в 1687 году. Его геометрический результат дал конструкцию, позволяющую разделить любой треугольник на четыре равные части с двумя перпендикулярными линиями.

К 1689 году он опубликовал важную работу о бесконечных рядах и опубликовал свой закон больших чисел в теории вероятностей. Якоб Бернулли опубликовал пять трактатов о бесконечных сериях между 1682 и 1704 годами. Первые два из них содержали много результатов, таких как фундаментальный результат, который расходится, который Бернулли считал новым, но на самом деле они были доказаны Пьетро Менголи 40 годами ранее. Бернулли не смог найти замкнутую форму для , но он показал, что она сходится к конечному пределу, меньшему 2. Эйлер был первым, кто нашел сумму этого ряда в 1737 году. Бернулли также изучил экспоненциальный ряд , полученный при изучении составных интерес. ${\ displaystyle \ sum {\ frac {1} {n}}}$ ${\ Displaystyle \ сумма {\ гидроразрыва {1} {п ^ {2}}}}$

В мае 1690 года в статье, опубликованной в Acta Eruditorum , Якоб Бернулли показал, что задача определения изохроны эквивалентна решению нелинейного дифференциального уравнения первого порядка. Изохрона или кривая постоянного спуска - это кривая, по которой частица будет спускаться под действием силы тяжести из любой точки на дно точно за одно и то же время, независимо от начальной точки. Его изучили Гюйгенс в 1687 году и Лейбниц в 1689 году. После нахождения дифференциального уравнения Бернулли решил его с помощью того, что мы теперь называем разделением переменных . Статья Якоба Бернулли 1690 г. важна для истории исчисления, поскольку термин интегралвпервые появляется в своем интеграционном значении. В 1696 году Бернулли решил уравнение, которое теперь называется дифференциальным уравнением Бернулли :

{\ displaystyle y '= p (x) y + q (x) y ^ {n}.}

Якоб Бернулли также открыл общий метод определения эволюции кривой как огибающей ее окружностей кривизны. Он также исследовал каустические кривые, и, в частности, он изучал эти связанные кривые параболы , логарифмической спирали и эпициклоиды около 1692 года. Лемниската Бернулли была впервые задумана Якобом Бернулли в 1694 году. В 1695 году он исследовал проблему подъемного моста, которая ищет необходимую кривую. так что груз, скользящий по тросу, всегда удерживает подъемный мост в равновесии.

Ars conjectandi , 1713 г. (Милан, Фонд Мансутти ).

Самой оригинальной работой Якоба Бернулли была книга «Арс Конжектанди», опубликованная в Базеле в 1713 году, через восемь лет после его смерти. На момент его смерти работа была незавершенной, но по-прежнему имеет важнейшее значение в теории вероятностей. В этой книге Бернулли рассмотрел работы других по вероятности, в частности работы ван Скутена, Лейбница и Престета. Эти числа Бернулли появляются в книге в обсуждении ряда экспонент. Приводится много примеров того, сколько можно ожидать выиграть, играя в различные азартные игры. Термин « процесс Бернулли» возник в результате этой работы. Есть интересные мысли о том, что такое вероятность:

... вероятность как измеримая степень достоверности; необходимость и случайность; моральное ожидание против математического; априори апостериорная вероятность; ожидание выигрыша при делении игроков по ловкости; рассмотрение всех доступных аргументов, их оценки и их исчисляемой оценки; закон больших чисел ...

Бернулли был одним из самых значительных сторонников формальных методов высшего анализа. Проницательность и элегантность редко можно найти в его способах изложения и выражения, но есть максимум цельности.

Открытие математической константы e [ править ]

В 1683 году Бернулли открыл константу e , изучив вопрос о сложных процентах, который потребовал от него найти значение следующего выражения (которое на самом деле является $e$ ): ^[9]^[10]

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {n}}

Одним из примеров является учетная запись, которая начинается с 1 доллара США и приносит 100% годовых. Если проценты начисляются один раз, в конце года, сумма составляет 2 доллара США; но если процент рассчитывается и добавляется дважды в год, 1 доллар умножается на 1,5 дважды, что дает 1,00 доллара × 1,5² = 2,25 доллара. Компаундирование квартальной доходности 1,00 долл. × 1,25 ⁴ = 2,4414 долл. США ..., а сложение месячной доходности 1,00 долл. × (1,0833 ...) ¹² = 2,613035 долл. США ....

Бернулли заметил, что эта последовательность приближается к пределу ( интересующей силе ) для все больших и малых интервалов сложения. Суммарная недельная доходность составляет 2,692597 долларов ..., а ежедневная - 2,714567 долларов ..., всего на два цента больше. Используя $n$ как количество интервалов сложения с процентной ставкой 100% / $n$ в каждом интервале, предел для большого $n$ - это число, которое Эйлер позже назвал $e$ ; при непрерывном начислении сложных процентов стоимость счета достигнет 2,7182818 долларов .... В более общем плане, счет, который начинается с 1 доллара и приносит (1+ $R$ ) долларов по сложным процентам , принесет $e$ ^$R$ долларов с непрерывным начислением процентов.

Надгробие [ править ]

Надгробие Якоба Бернулли в Базель-Мюнстере

Бернулли хотел, чтобы на его надгробной плите была выгравирована логарифмическая спираль и девиз Eadem mutata resurgo («Хотя изменился, я снова восстану»). Он писал, что самоподобная спираль «может использоваться как символ либо стойкости и стойкости в невзгодах, либо человеческого тела, которое после всех своих изменений, даже после смерти, будет восстановлено в своем точном и совершенном« я ». " Бернулли умер в 1705 году, но была выгравирована архимедова спираль, а не логарифмическая. ^[11]

Перевод латинской надписи:

Якоб Бернулли, несравненный математик.

Профессор Базельского университета Более 18 лет;

член Королевских академий Парижа и Берлина; известен своими произведениями.

О хронической болезни, в здравом уме до конца;

погиб в благодатном 1705 году, 16 августа, в возрасте 50 лет и 7 месяцев, ожидая воскресения.

Юдифь Ступан,

его жена 20 лет,

и его двое детей поставили памятник мужу и отцу, по которым они так скучают.

Работает [ править ]

Conamen novi systematis cometarum (на латыни). Амстелаедами: apud Henr. Wetstenium. 1682.
De gravitate aetheris (на латыни). Амстелаедами: apud Henricum Wetstenium. 1683.
Ars conjectandi, opus posthumum , Basileae, impensis Thurnisiorum Fratrum, 1713.
Опера (на латыни). 1 . Женева: Heritiers Cramer & frères Philibert. 1744.
- Опера (на латыни). 2 . Женева: Heritiers Cramer & frères Philibert. 1744.

De gravitate aetheris , 1683 год.
Опера , том 1, 1744 г.

Примечания [ править ]

^ Английский: / б ɜːr п ¯u л я / ; ^[2] Немецкий: [bɛrˈnʊli] ^[3]

Ссылки [ править ]

^ О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Иоганн Бернулли" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
^ Уэллс, Джон С. (2008). Словарь произношения Longman (3-е изд.). Лонгман. ISBN 978-1-4058-8118-0.
Перейти ↑ Mangold, Max (1990). Duden - Das Aussprachewörterbuch . 3. Auflage. Мангейм / Вена / Цюрих, Dudenverlag.
^ Джейкоб (Жак) Бернулли , Архив истории математики MacTutor , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Великобритания.
Перейти ↑ Nagel, Fritz (11 июня 2004 г.). «Бернулли, Джейкоб» . Historisches Lexikon der Schweiz . Дата обращения 20 мая 2016 .
^ Круит, Питер К. ван дер (2019). Ян Хендрик Оорт: Мастер Галактической системы . Springer. п. 639. ISBN. 978-3-030-17801-7.
^ Бернулли, Якоб (2006). Die Werke von Jakob Bernoulli: Bd. 2: Elementarmathematik (на итальянском языке). Springer Science & Business Media. п. 92. ISBN 978-3-7643-1891-8.
^ Пфайффер, Жанна (ноябрь 2006 г.). "Якоб Бернулли" (PDF) . Электронный журнал статистики и исследований . Дата обращения 20 мая 2016 .
^ Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы об интересе, с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Журнале des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), год (anno)1685.**), Acta eruditorum , стр. 219–23. На стр. 222 , Бернулли задает вопрос: «Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis parsropropalis usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?» (Это проблема другого типа: вопрос в том, что если какой-то кредитор вложит [некоторую] сумму денег [под] проценты, пусть она накапливается, чтобы [в] каждый момент [он] должен был получать []] пропорциональная часть [его] годового процента; сколько ему будет причитаться [в] конце [] года?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая серия] и т. д. major est.… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ". (… Который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем].… Если a = b , [кредитор] будет должен более 2½ a и менее 3a .) Если a = b , геометрический ряд сводится к ряду для a × e , поэтому 2.5 < e <3. (** Это ссылка на проблему, которую поставил Якоб Бернулли и которая появилась в Journal des Sçavans 1685 г. внизу страницы 314. )
^ JJ О'Коннор и EF Робертсон. «Число е» . Сент-Эндрюсский университет . Проверено 2 ноября +2016 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
^ Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . С. 116–17. ISBN 0-7679-0816-3.

Дальнейшее чтение [ править ]

Хоффман, Дж. Э. (1970–1980). «Бернулли, Якоб (Жак) I». Словарь научной биографии . 2 . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера. С. 46–51. ISBN 978-0-684-10114-9.
Шнайдер, И. (2005). "Якоб Бернулли Ars conjectandi (1713)" . В Граттан-Гиннесс, Айвор (ред.). Достопримечательности западной математики 1640–1940 гг . Эльзевир. С. 88–104. ISBN 978-0-08-045744-4.

Внешние ссылки [ править ]

СМИ, связанные с Якобом Бернулли на Викискладе?

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Якобом Бернулли

Джейкоб Бернулли на проекте « Математическая генеалогия»
О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Джейкоб Бернулли" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
Бернулли, Якоби. "Tractatus de Seriebus Infinitis" (PDF) .
Вайсштейн, Эрик Вольфганг (ред.). «Бернулли, Якоб (1654–1705)» . ScienceWorld .
Переписка Готфрида Лейбница и Якоба Бернулли об искусстве строить догадки "

[4] Английский: / б ɜːr п ¯u л я / ; ^[2] Немецкий: [bɛrˈnʊli] ^[3]

[1] О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Иоганн Бернулли" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.

[2] Уэллс, Джон С. (2008). Словарь произношения Longman (3-е изд.). Лонгман. ISBN 978-1-4058-8118-0.

[3] Перейти ↑ Mangold, Max (1990). Duden - Das Aussprachewörterbuch . 3. Auflage. Мангейм / Вена / Цюрих, Dudenverlag.

[MacTutor-5] Джейкоб (Жак) Бернулли , Архив истории математики MacTutor , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Великобритания.

[HLS-6] Перейти ↑ Nagel, Fritz (11 июня 2004 г.). «Бернулли, Джейкоб» . Historisches Lexikon der Schweiz . Дата обращения 20 мая 2016 .

[7] Круит, Питер К. ван дер (2019). Ян Хендрик Оорт: Мастер Галактической системы . Springer. п. 639. ISBN. 978-3-030-17801-7.

[8] Бернулли, Якоб (2006). Die Werke von Jakob Bernoulli: Bd. 2: Elementarmathematik (на итальянском языке). Springer Science & Business Media. п. 92. ISBN 978-3-7643-1891-8.

[9] Пфайффер, Жанна (ноябрь 2006 г.). "Якоб Бернулли" (PDF) . Электронный журнал статистики и исследований . Дата обращения 20 мая 2016 .

[10] Якоб Бернулли (1690) «Quæstiones nonnullæ de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum, propositi in Ephem. Gall. A. 1685» (Некоторые вопросы об интересе, с решением проблемы об азартных играх, предложенные в Журнале des Savants ( Ephemerides Eruditorum Gallicanæ ), год (anno)1685.**), Acta eruditorum , стр. 219–23. На стр. 222 , Бернулли задает вопрос: «Alterius naturæ hoc Problema est: Quæritur, si creditor aliquis pecuniæ summam fænori exponat, ea lege, ut singulis momentis parsropropalis usuræ annuæ sorti annumeretur; Quantum ipsi finito anno debeatur?» (Это проблема другого типа: вопрос в том, что если какой-то кредитор вложит [некоторую] сумму денег [под] проценты, пусть она накапливается, чтобы [в] каждый момент [он] должен был получать []] пропорциональная часть [его] годового процента; сколько ему будет причитаться [в] конце [] года?) Бернулли строит степенной ряд для вычисления ответа, а затем пишет: «… quæ nostra serie [математическое выражение для геометрическая серия] и т. д. major est.… si a = b , debebitur plu quam 2½ a & minus quam 3 a ". (… Который наш ряд [геометрический ряд] больше [чем].… Если a = b , [кредитор] будет должен более 2½ a и менее 3a .) Если a = b , геометрический ряд сводится к ряду для a × e , поэтому 2.5 < e <3. (** Это ссылка на проблему, которую поставил Якоб Бернулли и которая появилась в Journal des Sçavans 1685 г. внизу страницы 314. )

[11] JJ О'Коннор и EF Робертсон. «Число е» . Сент-Эндрюсский университет . Проверено 2 ноября +2016 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )

[12] Ливио, Марио (2003) [2002]. Золотое сечение: история Фи, самого удивительного числа в мире (первая торговая книга в мягкой обложке). Нью-Йорк: Бродвейские книги . С. 116–17. ISBN 0-7679-0816-3.

[1]