Полиномы Бернулли

В математике , в Многочлены Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединить числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряд и с формулой Эйлера – МакЛорина .

Эти многочлены возникают при исследовании многих специальных функций и, в частности , на дзета - функции Римана и дзета - функции Гурвица . Это последовательность Аппеля (т. Е. Последовательность Шеффера для обычного производного оператора). Для полиномов Бернулли количество пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается с увеличением степени. В пределе большой степени они приближаются, при соответствующем масштабировании, к функциям синуса и косинуса .

Полиномы Бернулли

Подобный набор многочленов, основанный на производящей функции, представляет собой семейство многочленов Эйлера .

Представления [ править ]

Многочлены Бернулли B _n могут быть определены производящей функцией . Они также допускают множество производных представлений.

Генерация функций [ править ]

Производящая функция для полиномов Бернулли равна

${\ displaystyle {\ frac {te ^ {xt}} {e ^ {t} -1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} B_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Производящая функция для многочленов Эйлера равна

${\ displaystyle {\ frac {2e ^ {xt}} {e ^ {t} +1}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} E_ {n} (x) {\ frac {t ^ {n}} {n!}}.}$

Явная формула [ править ]

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},}$

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.}$

при n ≥ 0, где B _k - числа Бернулли , а E _k - числа Эйлера .

Представление дифференциальным оператором [ править ]

Многочлены Бернулли также задаются формулами

${\displaystyle B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}}$

где D = d / dx - дифференцирование по x, а дробь раскрывается в формальный степенной ряд . Следует, что

${\displaystyle \int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.}$

ср. интегралы ниже . Точно так же многочлены Эйлера задаются формулой

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.}$

Представление интегральным оператором [ править ]

Многочлены Бернулли также являются единственными многочленами, определяемыми формулой

${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.}$

Интегральное преобразование

${\displaystyle (Tf)(x)=\int _{x}^{x+1}f(u)\,du}$

на многочленах f просто составляет

${\displaystyle {\begin{aligned}(Tf)(x)={e^{D}-1 \over D}f(x)&{}=\sum _{n=0}^{\infty }{D^{n} \over (n+1)!}f(x)\\&{}=f(x)+{f'(x) \over 2}+{f''(x) \over 6}+{f'''(x) \over 24}+\cdots ~.\end{aligned}}}$

Это можно использовать для получения приведенных ниже формул обращения .

Другая явная формула [ править ]

Явная формула для полиномов Бернулли дается формулой

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}.}$

Это похоже на выражение ряда для дзета-функции Гурвица на комплексной плоскости. Действительно, есть связь

${\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)}$

где ζ ( s ,  q ) - дзета-функция Гурвица. Последний обобщает многочлены Бернулли, учитывая нецелые значения  n .

Внутренняя сумма может быть понимается как п - й прямой разности по х ^м ; то есть,

${\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}}$

где Δ - оператор прямой разности . Таким образом, можно написать

${\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\,\Delta ^{n}x^{m}.}$

Эта формула может быть получена из приведенного выше тождества следующим образом. Поскольку оператор прямой разности Δ равен

${\displaystyle \Delta =e^{D}-1}$

где D является дифференцирование по х , у нас есть, из серии Меркатора ,

${\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}.}$

Пока это работает с полиномом m- й степени, таким как x ^m , можно позволить n идти от 0 только до  m .

Интегральное представление для полиномов Бернулли дается интегралом Нёрлунда – Райса , который следует из выражения в виде конечной разности.

Явная формула для полиномов Эйлера дается выражением

${\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}\,.}$

Сказанное выше следует аналогично, используя тот факт, что

${\displaystyle {\frac {2}{e^{D}+1}}={\frac {1}{1+\Delta /2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}-{\frac {\Delta }{2}}{\Bigr )}^{n}.}$

Суммы p- х степеней [ править ]

Используя либо выше интегральное представление о или личности , мы имеем${\displaystyle x^{n}}$ ${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{x}k^{p}=\int _{0}^{x+1}B_{p}(t)\,dt={\frac {B_{p+1}(x+1)-B_{p+1}}{p+1}}}$

(при условии, что 0 ⁰  = 1). См . Более подробную информацию в формуле Фаульхабера .

Числа Бернулли и Эйлера [ править ]

Эти числа Бернулли задаются${\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(0).}$

Это определение дает для .${\displaystyle \textstyle \zeta (-n)={\frac {(-1)^{n}}{n+1}}B_{n+1}}$${\displaystyle \textstyle n=0,1,2,\ldots }$

Альтернативное соглашение определяет числа Бернулли как ${\displaystyle \textstyle B_{n}=B_{n}(1).}$

Эти две конвенции отличаются только так .${\displaystyle n=1}$${\displaystyle B_{1}(1)={\tfrac {1}{2}}=-B_{1}(0)}$

В число Эйлера определяются${\displaystyle E_{n}=2^{n}E_{n}({\tfrac {1}{2}}).}$

Явные выражения для низких степеней [ править ]

Первые несколько полиномов Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\[8pt]B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\[8pt]B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\[8pt]B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\\[8pt]B_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{3}}x^{3}-{\frac {1}{6}}x\\[8pt]B_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+{\frac {5}{2}}x^{4}-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{42}}.\end{aligned}}}$

Первые несколько полиномов Эйлера:

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{0}(x)&=1\\[8pt]E_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{2}(x)&=x^{2}-x\\[8pt]E_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{4}}\\[8pt]E_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x\\[8pt]E_{5}(x)&=x^{5}-{\frac {5}{2}}x^{4}+{\frac {5}{2}}x^{2}-{\frac {1}{2}}\\[8pt]E_{6}(x)&=x^{6}-3x^{5}+5x^{3}-3x.\end{aligned}}}$

Максимум и минимум [ править ]

Чем больше n , тем больше вариация B _n ( x ) между x  = 0 и x  = 1. Например,

${\displaystyle B_{16}(x)=x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-{\frac {182}{3}}x^{12}+{\frac {572}{3}}x^{10}-429x^{8}+{\frac {1820}{3}}x^{6}-{\frac {1382}{3}}x^{4}+140x^{2}-{\frac {3617}{510}}}$

что показывает, что значение при x  = 0 (и при x  = 1) равно −3617/510 ≈ −7,09, а при x  = 1/2 значение составляет 118518239/3342336 ≈ +7,09. DH Lehmer ^[1] показал, что максимальное значение B _n ( x ) между 0 и 1 подчиняется

${\displaystyle M_{n}<{\frac {2n!}{(2\pi )^{n}}}}$

если n не равно 2 по модулю 4, и в этом случае

${\displaystyle M_{n}={\frac {2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}}$

(где - дзета-функция Римана ), а минимум подчиняется${\displaystyle \zeta (x)}$

${\displaystyle m_{n}>{\frac {-2n!}{(2\pi )^{n}}}}$

если n не равно 0 по модулю 4, и в этом случае

${\displaystyle m_{n}={\frac {-2\zeta (n)n!}{(2\pi )^{n}}}.}$

Эти пределы довольно близки к фактическим максимумам и минимумам, и Лемер также дает более точные пределы.

Различия и производные [ править ]

Многочлены Бернулли и Эйлера подчиняются многим соотношениям из умбрального исчисления :

${\displaystyle \Delta B_{n}(x)=B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1},}$

${\displaystyle \Delta E_{n}(x)=E_{n}(x+1)-E_{n}(x)=2(x^{n}-E_{n}(x)).}$

(Δ - оператор прямой разности ). Также,

${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}.}$

Эти полиномиальные последовательности представляют собой последовательности Аппеля :

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x),}$

${\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x).}$

Переводы [ править ]

${\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}$

${\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}$

Эти тождества также эквивалентны утверждению, что эти полиномиальные последовательности являются последовательностями Аппеля . ( Другой пример - полиномы Эрмита .)

Симметрии [ править ]

${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x),\quad n\geq 0,}$

${\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}$

${\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}}$

${\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}$

${\displaystyle B_{n}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{n-1}}}-1\right)B_{n},\quad n\geq 0{\text{ from the multiplication theorems below.}}}$

Чжи-Вэй Сун и Хао Пан ^[2] установили следующее удивительное соотношение симметрии: если r + s + t = n и x + y + z = 1 , то

${\displaystyle r[s,t;x,y]_{n}+s[t,r;y,z]_{n}+t[r,s;z,x]_{n}=0,}$

куда

${\displaystyle [s,t;x,y]_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{s \choose k}{t \choose {n-k}}B_{n-k}(x)B_{k}(y).}$

Ряд Фурье [ править ]

Ряд Фурье полиномов Бернулли также ряд Дирихле , учитывая при расширении

${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi i)^{n}}}\sum _{k\not =0}{\frac {e^{2\pi ikx}}{k^{n}}}=-2n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}.}$

Обратите внимание на простой предел большого n для тригонометрических функций с соответствующим масштабированием.

Это частный случай аналогичного вида дзета-функции Гурвица

${\displaystyle B_{n}(x)=-\Gamma (n+1)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi ikx)+e^{i\pi n}\exp(2\pi ik(1-x))}{(2\pi ik)^{n}}}.}$

Это расширение действительно только для 0 ≤  x  ≤ 1, когда n  ≥ 2, и действительно для 0 <  x  <1, когда n  = 1.

Также может быть вычислен ряд Фурье полиномов Эйлера. Определение функций

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\cos((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}$

и

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin((2k+1)\pi x)}{(2k+1)^{\nu }}}}$

для Эйлера многочлен имеет ряд Фурье${\displaystyle \nu >1}$

${\displaystyle C_{2n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n-1)!}}\pi ^{2n}E_{2n-1}(x)}$

и

${\displaystyle S_{2n+1}(x)={\frac {(-1)^{n}}{4(2n)!}}\pi ^{2n+1}E_{2n}(x).}$

Обратите внимание, что и являются нечетными и четными соответственно:${\displaystyle C_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }}$

${\displaystyle C_{\nu }(x)=-C_{\nu }(1-x)}$

и

${\displaystyle S_{\nu }(x)=S_{\nu }(1-x).}$

Они связаны с функцией ци Лежандра следующим образом:${\displaystyle \chi _{\nu }}$

${\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \chi _{\nu }(e^{ix})}$

и

${\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \chi _{\nu }(e^{ix}).}$

Инверсия [ править ]

Многочлены Бернулли и Эйлера могут быть обращены, чтобы выразить одночлен через многочлены.

В частности, как видно из предыдущего раздела об интегральных операторах , следует, что

${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{n+1 \choose k}B_{k}(x)}$

и

${\displaystyle x^{n}=E_{n}(x)+{\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}E_{k}(x).}$

Связь с падающим факториалом [ править ]

Многочлены Бернулли можно разложить по падающему факториалу как${\displaystyle (x)_{k}}$

${\displaystyle B_{n+1}(x)=B_{n+1}+\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}(x)_{k+1}}$

где и${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right\}=S(n,k)}$

обозначает число Стирлинга второго рода . Вышеупомянутое можно инвертировать, чтобы выразить падающий факториал в терминах полиномов Бернулли:

${\displaystyle (x)_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n+1}{k+1}}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]\left(B_{k+1}(x)-B_{k+1}\right)}$

куда

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]=s(n,k)}$

обозначает число Стирлинга первого рода .

Теоремы умножения [ править ]

Эти теоремы умножения были даны Джозеф Людвиг Раабе в 1851 году:

Для натурального числа т ≥1 ,

${\displaystyle B_{n}(mx)=m^{n-1}\sum _{k=0}^{m-1}B_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)}$

${\displaystyle E_{n}(mx)=m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}E_{n}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=1,3,\dots }$

${\displaystyle E_{n}(mx)={\frac {-2}{n+1}}m^{n}\sum _{k=0}^{m-1}(-1)^{k}B_{n+1}\left(x+{\frac {k}{m}}\right)\quad {\mbox{ for }}m=2,4,\dots }$

Интегралы [ править ]

Две определенных интегралов , связывающие многочлены Бернулли и Эйлера для чисел Бернулли и Эйлера являются: ^{[ править ]}

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}B_{n}(t)B_{m}(t)\,dt=(-1)^{n-1}{\frac {m!n!}{(m+n)!}}B_{n+m}\quad {\text{for }}m,n\geq 1}$
• ${\displaystyle \int _{0}^{1}E_{n}(t)E_{m}(t)\,dt=(-1)^{n}4(2^{m+n+2}-1){\frac {m!n!}{(m+n+2)!}}B_{n+m+2}}$

Периодические многочлены Бернулли [ править ]

Периодический Бернулли многочлен Р _п ( х ) является многочленом Бернулли оценивается в дробной части аргумента х . Эти функции используются для получения остаточного члена в формуле Эйлера – Маклорена, связывающей суммы с интегралами. Первый многочлен - это пилообразная функция .

Строго говоря, эти функции вовсе не являются полиномами, и правильнее их следует называть периодическими функциями Бернулли, а P ₀ ( x ) даже не является функцией, являясь производной пилообразного зуба и, следовательно, гребешка Дирака .

Следующие свойства представляют интерес, действительны для всех :${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&P_{k}(x){\text{ is continuous for all }}k>1\\[5pt]&P_{k}'(x){\text{ exists and is continuous for }}k>2\\[5pt]&P'_{k}(x)=kP_{k-1}(x),k>2\end{aligned}}}$

См. Также [ править ]

• Числа Бернулли
• Многочлены Бернулли второго рода
• Полином Стирлинга

Ссылки [ править ]

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , (1972) Довер, Нью-Йорк. (См. Главу 23 )
• Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001 (См. Главу 12.11)
• Дилчер, К. (2010), «Многочлены Бернулли и Эйлера» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Цвийович, Джурдье; Клиновский, Яцек (1995). «Новые формулы для полиномов Бернулли и Эйлера при рациональных аргументах». Труды Американского математического общества . 123 : 1527–1535. DOI : 10.2307 / 2161144 .
• Гильера, Иисус; Сондоу, Джонатан (2008). «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитическое продолжение трансцендента Лерха». Журнал Рамануджана . 16 (3): 247–270. arXiv : math.NT / 0506319 . DOI : 10.1007 / s11139-007-9102-0 . (Рассматривается связь с дзета-функцией Гурвица и трансцендентным Лерхом.)
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.

Внешние ссылки [ править ]

• Список интегральных тождеств с многочленами Бернулли из NIST