В математике , то формула Эйлера-Маклорена формула для разности между интегралом и тесно связанной суммы . Его можно использовать для аппроксимации интегралов конечными суммами или, наоборот, для вычисления конечных сумм и бесконечных рядов с использованием интегралов и механизмов исчисления . Например, многие асимптотические разложения выводятся из формулы, и формула Фаульхабера для суммы степеней является непосредственным следствием.
Формула была открыта независимо Леонардом Эйлером и Колином Маклореном около 1735 года. Эйлеру она понадобилась для вычисления медленно сходящихся бесконечных рядов, в то время как Маклорен использовал ее для вычисления интегралов. Позже она была обобщена до формулы Дарбу .
(см. метод прямоугольника ). Формула Эйлера – Маклорена дает выражения для разницы между суммой и интегралом в терминах старших производных. оценивается в конечных точках интервала, то есть когда а также .
где это го числа Бернулли (с ) а также это термин ошибки, который зависит от , , , а также и обычно мала для подходящих значений .
Формула часто записывается с нижним индексом, принимающим только четные значения, поскольку нечетные числа Бернулли равны нулю, за исключением . В этом случае мы имеем [1] [2]
или альтернативно
Остающийся срок
Остаточный член возникает из-за того, что интеграл обычно не равен сумме в точности. Формулу можно получить, применяя повторное интегрирование по частям к последовательным интервалам для . Граничные члены в этих интегрированиях приводят к основным членам формулы, а оставшиеся интегралы образуют остаточный член.
Остаточный член имеет точное выражение в терминах периодизованных функций Бернулли . Многочлены Бернулли могут быть определены рекурсивно следующим образом: и для ,
Периодизированные функции Бернулли определяются как
где обозначает наибольшее целое число, меньшее или равное , чтобы всегда лежит в интервале .
В этих обозначениях остаточный член равно
Когда , можно показать, что
где обозначает дзета-функцию Римана ; один из подходов к доказательству этого неравенства состоит в том, чтобы получить ряд Фурье для многочленов . Оценка достигается даже при когда равно нулю. Термин может быть опущено для нечетных но в этом случае доказательство более сложное (см. Lehmer). [3] Используя это неравенство, размер остаточного члена можно оценить как
Случаи низкого порядка
Числа Бернулли из к находятся Следовательно, младшие случаи формулы Эйлера-Маклорена:
Приложения
Базельская проблема
Задача Базеля состоит в том, чтобы определить сумму
Эйлер вычислил эту сумму с точностью до 20 знаков после запятой, используя всего несколько членов формулы Эйлера – Маклорена в 1735 году. Это, вероятно, убедило его в том, что сумма равна , что он и доказал в том же году. [4]
Суммы с многочленом
Если является многочленом идостаточно велико, то остаточный член обращается в нуль. Например, если, мы можем выбрать получить после упрощения
Аппроксимация интегралов
Формула обеспечивает средство аппроксимации конечного интеграла. Позволятьбыть конечными точками интервала интегрирования. Исправить, количество точек, используемых в приближении, и обозначим соответствующий размер шага как . Набор, чтобы а также . Тогда: [5]
Это можно рассматривать как расширение правила трапеции путем включения поправочных членов. Обратите внимание, что это асимптотическое разложение обычно не сходится; существует некоторое, в зависимости от а также , так что сроки истекли быстро увеличиваются. Таким образом, оставшийся член обычно требует пристального внимания. [5]
В контексте вычисления асимптотических разложений сумм и рядов обычно наиболее полезной формой формулы Эйлера – Маклорена является
где а также целые числа. [6] Часто расширение остается в силе даже после принятия пределов или же или оба. Во многих случаях интеграл в правой части может быть вычислен в замкнутой форме в терминах элементарных функций, хотя сумма в левой части не может. Тогда все члены асимптотического ряда могут быть выражены через элементарные функции. Например,
Здесь левая часть равна , а именно полигамма-функция первого порядка, определяемая формулой; гамма - функция равно если является положительным целым числом . Это приводит к асимптотическому разложению для. Это расширение, в свою очередь, служит в качестве отправной точки для одного из выводов точных оценок погрешности приближения Стирлинга из факторной функции.
Примеры
Если s - целое число больше 1, мы имеем:
Собирая константы в значение дзета-функции Римана , мы можем написать асимптотическое разложение:
Для s, равного 2, это упрощается до
или же
При s = 1 соответствующий метод дает асимптотическое разложение для номеров гармоник :
где - постоянная Эйлера – Маскерони .
Доказательства
Вывод математической индукцией
Мы обрисовываем аргумент, приведенный в Апостоле. [1]
Бернулли многочлены В п ( х ) и периодические функции Бернулли P п ( х ) для п = 0, 1, 2, ... были введены выше.
Первые несколько полиномов Бернулли:
Значения B n (0) - это числа Бернулли B n . Обратите внимание, что при n 1 имеем
и п = 1 ,
Функции P n согласованы с многочленами Бернулли на интервале [0, 1] и периодичны с периодом 1. Кроме того, за исключением случая n = 1 , они также непрерывны. Таким образом,
Пусть k - целое число, и рассмотрим интеграл
где
Интегрируя по частям , получаем
С использованием , , и суммируя вышеизложенное от k = 0 до k = n - 1 , получаем
Добавляя ( f ( n ) - f (0)) / 2 к обеим сторонам и переставляя, мы имеем
Это случай p = 1 формулы суммирования. Чтобы продолжить индукцию, применим интегрирование по частям к члену ошибки:
где
Результат интегрирования по частям:
Суммирование от k = 0 до k = n - 1 и замена этого члена ошибки более низкого порядка приводит к p = 2 формуле,
Этот процесс можно повторять. Таким образом, мы получаем доказательство формулы суммирования Эйлера – Маклорена, которое может быть формализовано с помощью математической индукции , в которой шаг индукции основан на интегрировании по частям и на тождествах для периодических функций Бернулли.
Смотрите также
Чезаро суммирование
Суммирование по Эйлеру
Квадратурная формула Гаусса – Кронрода
Формула Дарбу
Суммирование Эйлера – Буля
Рекомендации
^ a b Апостол, TM (1 мая 1999 г.). «Элементарный взгляд на формулу суммирования Эйлера». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки. 106 (5): 409–418. DOI : 10.2307 / 2589145 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2589145 .
^«Электронная библиотека математических функций: суммы и последовательности» . Национальный институт стандартов и технологий .
^Лемер, Д.Х. (1940). «О максимумах и минимумах многочленов Бернулли». Американский математический ежемесячник . 47 (8): 533–538. DOI : 10.2307 / 2303833 . JSTOR 2303833 .
^Пенгелли, Дэвид Дж. (2007). «Танцы между непрерывным и дискретным: формула суммирования Эйлера». Эйлер в 300 лет . MAA Spectrum. Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. С. 169–189. arXiv : 1912.03527 . Руководство по ремонту 2349549 .
^ а бDevries, Paul L .; Хасбрун, Хавьер Э. (2011). Первый курс вычислительной физики (2-е изд.). Jones and Bartlett Publishers. п. 156.
^Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 16, 806, 886. ISBN 978-0-486-61272-0.
дальнейшее чтение
Гулд, HW; Сквайр, Уильям (1963). «Вторая формула Маклорена и ее обобщение». Амер. Математика. Ежемесячно . 70 (1): 44–52. DOI : 10.2307 / 2312783 . JSTOR 2312783 . Руководство по ремонту 0146551 .
Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль (2002). «Введение в числа Бернулли» .
Мартенсен, Эрих (2005). «Об обобщенной формуле Эйлера-Маклорена». З. Энгью. Математика. Мех . 85 (12): 858–863. DOI : 10.1002 / zamm.200410217 . Руководство по ремонту 2184846 .
Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . С. 495–519. ISBN 0-521-84903-9.