Трапецеидальная линейка

Функция f ( x ) (синим цветом) аппроксимируется линейной функцией (красным цветом).

В математике , и более конкретно в численном анализе , то трапециевидное правило (также известное как правило трапеции или трапеции правило -см трапеции для получения дополнительной информации о терминологии) представляет собой метод для аппроксимации определенного интеграла .

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$.

Правило трапеции работает, аппроксимируя область под графиком функции как трапецию и вычисляя ее площадь. Следует, что${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} е (х) \, dx \ приблизительно (ба) \ cdot {\ tfrac {е (а) + е (б)} {2}}}$.

Правило трапеции можно рассматривать как результат, полученный усреднением левой и правой сумм Римана , и иногда его определяют таким образом. Интеграл можно еще лучше аппроксимировать, разделив интервал интегрирования , применив правило трапеций к каждому подинтервалу и суммируя результаты. На практике это «сцепленное» (или «составное») правило трапеции обычно подразумевается под «интеграцией с правилом трапеции». Пусть будет такое разбиение , что и - длина -го подинтервала (то есть ), тогда ${\ displaystyle \ {x_ {k} \}}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {N-1} <x_ {N} = b}$${\ displaystyle \ Delta x_ {k}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ Delta x_ {k} = x_ {k} -x_ {k-1}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}={\tfrac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N})\right)}$.

Анимация, показывающая, что такое правило трапеции и как уменьшается ошибка аппроксимации по мере уменьшения размера шага

Иллюстрация «цепной трапециевидной линейки», используемой на неравномерном разбиении .${\displaystyle [a,b]}$

Приближение становится более точным , как разрешение увеличивается перегородок (то есть, для более крупных , уменьшается). Когда разделение имеет постоянный интервал, как это часто бывает, формулу можно упростить для повышения эффективности вычислений.${\displaystyle N}$${\displaystyle \Delta x_{k}}$

Как обсуждается ниже, также можно установить границы погрешности для точности значения определенного интеграла, оцененного с использованием правила трапеций.

История [ править ]

В статье 2016 года сообщается, что правило трапеций использовалось в Вавилоне до 50 г. до н.э. для интегрирования скорости Юпитера вдоль эклиптики . ^[1]

Числовая реализация [ править ]

Неравномерная сетка [ править ]

Когда шаг сетки неравномерен, можно использовать формулу

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}}$

Равномерная сетка [ править ]

Для области, разделенной на панели с одинаковым интервалом, может произойти значительное упрощение. Позволять${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{N}}}$

приближение к интегралу принимает вид

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {\Delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\left(f(x_{k-1})+f(x_{k})\right)}$

${\displaystyle {}={\frac {\Delta x}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}))}$

${\displaystyle {}={\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+f(x_{N})+2\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})\right)}$

${\displaystyle {}=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{N-1}f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0})}{2}}\right)}$

что требует меньшего количества вычислений функции для вычисления.

Анализ ошибок [ править ]

Анимация, показывающая, как улучшается приближение правила трапеции с увеличением количества полос для интервала с и . По мере увеличения количества интервалов увеличивается и точность результата.${\displaystyle a=2}$${\displaystyle b=8}$${\displaystyle N}$

Ошибка составной трапециевидной линейки - это разница между значением интеграла и численным результатом:

${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]}$

Между a и b существует такое число ξ , что ^[2]

${\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}}{12N^{2}}}f''(\xi )}$

Отсюда следует, что если подынтегральная функция вогнута вверх (и, таким образом, имеет положительную вторую производную), то ошибка отрицательная, и правило трапеции переоценивает истинное значение. Это также видно из геометрической картины: трапеции охватывают всю область под кривой и проходят над ней. Точно так же функция вогнутого вниз дает заниженную оценку, поскольку площадь под кривой не учитывается, но не учитывается выше. Если интервал аппроксимируемого интеграла включает точку перегиба, ошибку определить труднее.

Асимптотическая оценка погрешности при N → ∞ дается выражением

${\displaystyle {\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{12N^{2}}}{\big [}f'(b)-f'(a){\big ]}+O(N^{-3}).}$

Дальнейшие члены в этой оценке погрешности даются формулой суммирования Эйлера – Маклорена.

Для анализа ошибки можно использовать несколько методов, в том числе: ^[3]

1. Ряд Фурье
2. Остаточный камень
3. Формула суммирования Эйлера – Маклорена ^{[4] [5]}
4. Полиномиальная интерполяция ^[6]

Утверждается, что скорость сходимости трапециевидной линейки отражает и может использоваться как определение классов гладкости функций. ^[7]

Доказательство [ править ]

Сначала предположим, что и . Пусть функция , такая , что это ошибка трапециевидной правило , на одном из интервалов, . потом${\displaystyle h={\frac {b-a}{N}}}$${\displaystyle a_{k}=a+(k-1)h}$${\displaystyle g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)dx}$${\displaystyle |g_{k}(h)|}$${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h]}$

${\displaystyle {dg_{k} \over dt}={1 \over 2}[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),}$

и

${\displaystyle {d^{2}g_{k} \over dt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f''(a_{k}+t).}$

Теперь предположим, что то, что имеет место, достаточно гладкое. Отсюда следует, что${\displaystyle \left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \left\vert f''(a_{k}+t)\right\vert \leq f''(\xi )}$

что эквивалентно , или${\displaystyle -f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )}$${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.}$

Поскольку и ,${\displaystyle g_{k}'(0)=0}$${\displaystyle g_{k}(0)=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}''(x)dx=g_{k}'(t)}$ и ${\displaystyle \int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).}$

Используя эти результаты, находим

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{2}}{4}}}$

и

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f''(\xi )t^{3}}{12}}}$

Позволяя найти${\displaystyle t=h}$

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}.}$

Суммируя все члены локальной ошибки, мы находим

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Но у нас также есть

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}\leq \sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)\leq \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}}$

и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {f''(\xi )h^{3}}{12}}={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}},}$

так что

${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.}$

Следовательно, общая ошибка ограничена

${\displaystyle {\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.}$

Периодические и пиковые функции [ править ]

Правило трапеций быстро сходится для периодических функций. Это легко вытекает из формулы суммирования Эйлера-Маклорена, который говорит , что если это непрерывно дифференцируемы период${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int _{0}^{T}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{\lfloor p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}(f^{(2k-1)}(T)-f^{(2k-1)}(0))-(-1)^{p}h^{p}\int _{0}^{T}{\tilde {B}}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,\mathrm {d} x}$

где и - периодическое расширение -го многочлена Бернулли. ^[8] Из-за периодичности производные в конечной точке сокращаются, и мы видим, что ошибка есть .${\displaystyle h:=T/N}$${\displaystyle {\tilde {B}}_{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(h^{p})}$

Аналогичный эффект доступен для функций типа пика, таких как гауссовский , экспоненциально модифицированный гауссовский и других функций с производными в пределах интегрирования, которыми можно пренебречь. ^[9] Оценка полного интеграла функции Гаусса по правилу трапеций с точностью 1% может быть произведена с использованием всего 4 точек. ^[10] Правило Симпсона требует в 1,8 раза больше точек для достижения той же точности. ^{[10] [11]}

Хотя были предприняты некоторые усилия по распространению формулы суммирования Эйлера-Маклорена на более высокие измерения, ^[12] наиболее прямым доказательством быстрой сходимости правила трапеций в высших измерениях является сведение проблемы к проблеме сходимости рядов Фурье. Эти рассуждения показывают, что если периодичен на -мерном пространстве с непрерывными производными, скорость сходимости равна . Для очень большого измерения, как показывает анализ, интеграция методом Монте-Карло, скорее всего, является лучшим выбором, но для 2-х и 3-х измерений эффективна равномерная выборка. Это используется в вычислительной физике твердого тела, где равномерная выборка по примитивным ячейкам в обратной решетке известна как интеграция Монкхорста-Пак .${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle O(h^{p/d})}$^[13]

«Грубые» функции [ править ]

Для функций, которые не входят в C ² , граница ошибки, указанная выше, не применима. Тем не менее, границы ошибок для таких грубых функций могут быть получены, которые обычно показывают более медленную сходимость с количеством вычислений функций, чем поведение, указанное выше. Интересно, что в этом случае правило трапеций часто имеет более точные границы, чем правило Симпсона, для того же количества вычислений функций. ^[14]${\displaystyle N}$${\displaystyle O(N^{-2})}$

Применимость и альтернативы [ править ]

Правило трапеции - это одна из семейства формул для численного интегрирования, называемых формулами Ньютона – Котеса , в которых правило средней точки аналогично правилу трапеций. Правило Симпсона - еще один член того же семейства и в целом имеет более быструю сходимость, чем правило трапеций, для функций, которые дважды непрерывно дифференцируемы, хотя и не во всех конкретных случаях. Однако для различных классов более грубых функций (с более слабыми условиями гладкости) правило трапеций имеет более быструю сходимость, чем правило Симпсона. ^[14]

Более того, правило трапеций имеет тенденцию становиться чрезвычайно точным, когда периодические функции интегрируются по их периодам, которые можно анализировать различными способами . ^{[7] [11]} Аналогичный эффект доступен для пиковых функций. ^{[10] [11]}

Для непериодических функций, однако, методы с разнесенными точками неодинакова , такие как гауссова квадратурой и Clenshaw-Curtis квадратура , как правило , гораздо более точными; Квадратуру Кленшоу – Кертиса можно рассматривать как замену переменных для выражения произвольных интегралов в терминах периодических интегралов, при этом правило трапеций может применяться точно.

См. Также [ править ]

• Квадратура Гаусса
• Формулы Ньютона – Котеса
• Прямоугольный метод
• Метод Ромберга
• Правило Симпсона
• Интегральное уравнение Вольтерра # Численное решение с использованием правила трапеции

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

В Викиуке по математике A-level есть страница на тему: Правило трапеции

• Формула трапеции. Мысовских , Энциклопедия математики , под ред. М. Хазевинкель
• Замечания о сходимости квадратуры по правилу трапеций
• Реализация трапециевидной квадратуры, предоставленная Boost.Math