Правило трапеции (дифференциальные уравнения)

В численном анализе и научных вычислениях , то трапециевидное правило является численным методом для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , полученных из трапециевидного правила для вычисления интегралов. Правило трапеции - это неявный метод второго порядка, который можно рассматривать как метод Рунге – Кутта, так и линейный многоступенчатый метод .

Метод [ править ]

Предположим, что мы хотим решить дифференциальное уравнение

${\ displaystyle y '= f (t, y).}$

Правило трапеции задается формулой

${\ displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ tfrac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {n}, y_ {n}) + f (t_ {n + 1}, y_ {n + 1}) {\ Big)},}$

где - размер шага. ^[1]${\ displaystyle h = t_ {n + 1} -t_ {n}}$

Это неявный метод: значение появляется на обеих сторонах уравнения, и для его фактического вычисления мы должны решить уравнение, которое обычно является нелинейным. Одним из возможных методов решения этого уравнения является метод Ньютона . Мы можем использовать метод Эйлера, чтобы получить довольно хорошую оценку решения, которую можно использовать в качестве начального предположения метода Ньютона. ^[2] Короче говоря, использование только предположения из метода Эйлера эквивалентно выполнению метода Хойна .${\ displaystyle y_ {n + 1}}$

Мотивация [ править ]

Интегрируя дифференциальное уравнение от до , находим, что${\ displaystyle t_ {n}}$${\ displaystyle t_ {n + 1}}$

${\ Displaystyle у (т_ {п + 1}) - у (т_ {п}) = \ int _ {т_ {п}} ^ {т_ {п + 1}} е (т, у (т)) \, \ mathrm {d} t.}$

В трапециевидные правило гласит , что интеграл в правой части может быть аппроксимирована

${\ displaystyle \ int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)) \, \ mathrm {d} t \ приблизительно {\ tfrac {1} {2}} h {\ Big (} f (t_ {n}, y (t_ {n})) + f (t_ {n + 1}, y (t_ {n + 1})) {\ Big)}.}$

Теперь соединит обе формулы и использование , что и получить трапециевидное правило для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. ^[3]${\ Displaystyle у_ {п} \ приблизительно у (т_ {п})}$${\ Displaystyle у_ {п + 1} \ приблизительно у (т_ {п + 1})}$

Анализ ошибок [ править ]

Из анализа ошибок правила трапеций для квадратуры следует, что локальная ошибка усечения правила трапеций для решения дифференциальных уравнений может быть ограничена как:${\ Displaystyle \ тау _ {п}}$

${\displaystyle |\tau _{n}|\leq {\tfrac {1}{12}}h^{3}\max _{t}|y'''(t)|.}$

Таким образом, правило трапеций - это метод второго порядка. ^{[ необходима цитата ]} Этот результат можно использовать, чтобы показать, что глобальная ошибка заключается в том, что размер шага стремится к нулю (значение этого см. в нотации большой буквы O ). ^[4]${\displaystyle O(h^{2})}$${\displaystyle h}$

Стабильность [ править ]

Розовая область - это область устойчивости трапециевидного метода.

Область абсолютной устойчивости трапециевидной линейки равна

${\displaystyle \{z\in \mathbb {C} \mid \operatorname {Re} (z)<0\}.}$

Это включает в себя левую полуплоскость, поэтому правило трапеций является A-устойчивым. Второй барьер Далквиста утверждает, что правило трапеций является наиболее точным среди A-стабильных линейных многоступенчатых методов. Точнее, линейный многоступенчатый метод, который является A-стабильным, имеет не более двух порядков, а константа ошибки A-устойчивого линейного многоступенчатого метода второго порядка не может быть лучше, чем константа ошибки трапециевидной линейки. ^[5]

Фактически, область абсолютной устойчивости трапециевидной линейки - это как раз левая полуплоскость. Это означает, что если правило трапеции применяется к линейному уравнению испытания y ' = λ y , численное решение затухает до нуля тогда и только тогда, когда выполняется точное решение.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Изерлес, Ари (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2.
• Сули, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , Cambridge University Press , ISBN 0521007941.

См. Также [ править ]

• Метод Кранка – Николсона