В математике , А уравнение жесткой является дифференциальное уравнение , для которого некоторые численные методы для решения уравнения являются численно неустойчивыми , если размер шага не будет принято , чтобы быть чрезвычайно мал. Оказалось, что трудно сформулировать точное определение жесткости, но основная идея состоит в том, что уравнение включает в себя некоторые члены, которые могут привести к быстрому изменению решения.
При численном интегрировании дифференциального уравнения можно ожидать, что требуемый размер шага будет относительно небольшим в области, где кривая решения демонстрирует большие вариации, и будет относительно большим, где кривая решения выпрямляется, приближаясь к линии с почти нулевым наклоном. Для некоторых проблем это не так. Чтобы численный метод давал надежное решение дифференциальной системы, иногда требуется, чтобы размер шага был на недопустимо малом уровне в области, где кривая решения очень гладкая. Это явление известно как жесткость.. В некоторых случаях могут быть две разные проблемы с одним и тем же решением, но одна не жесткая, а другая жесткая. Следовательно, это явление не может быть свойством точного решения, поскольку оно одинаково для обеих задач и должно быть свойством самой дифференциальной системы. Таким образом, такие системы известны как жесткие системы .
Мотивирующий пример
Рассмотрим задачу начального значения
( 1 )
Точное решение (показано голубым):
- с участием в виде
( 2 )
Мы ищем численное решение, которое демонстрирует такое же поведение.
На рисунке (справа) показаны численные проблемы для различных числовых интеграторов, применяемых к уравнению.
- Метод Эйлера с размером шага h = 1/4 сильно колеблется и быстро выходит за пределы графика (показан красным).
- Метод Эйлера с половинным размером шага, h = 1/8, дает решение в пределах границ графа, но колеблется около нуля (показано зеленым).
- Метод трапецеидальной (то есть, двухступенчатая Адамс-Моултон метод ) задается
( 3 )
Одним из наиболее ярких примеров жестких обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) является система, описывающая химическую реакцию Робертсона: [1]
( 4 )
Если лечить эту систему в течение короткого промежутка времени, например, нет проблем с численным интегрированием. Однако, если интервал очень большой ( скажем, 10 11 ), то многие стандартные коды не могут правильно его интегрировать.
Дополнительными примерами являются наборы ODE, полученные в результате временной интеграции крупных механизмов химических реакций. Здесь жесткость возникает из-за сосуществования очень медленных и очень быстрых реакций. [ необходима цитата ] Для их решения можно использовать программные пакеты KPP и Autochem .
Коэффициент жесткости
Рассмотрим линейную неоднородную систему с постоянным коэффициентом
( 5 )
где а также - константа, диагонализуемая, матрица с собственными значениями (предполагается, что разные) и соответствующие собственные векторы . Общее решение ( 5 ) принимает вид
( 6 )
где κ t - произвольные постоянные, аявляется частным интегралом. Теперь предположим, что
( 7 )
что означает, что каждый из терминов в виде , так что решение подходы асимптотически как ; терминбудет убывать монотонно, если λ t вещественное, и синусоидально, если λ t комплексное. Интерпретируя x как время (как это часто бывает в физических задачах),называется переходным решением истационарное решение . Если велико, то соответствующий член будет быстро затухать с увеличением x и поэтому называется быстрым переходным процессом ; если мало, соответствующий член медленно затухает и называется медленным переходным процессом . Позволять определяться
( 8 )
чтобы самый быстрый переходный процесс и самый медленный. Теперь определим коэффициент жесткости как
( 9 )
Характеристика жесткости
В этом разделе мы рассмотрим различные аспекты явления жесткости. «Феномен», вероятно, более подходящее слово, чем «свойство», поскольку последнее скорее подразумевает, что жесткость может быть определена в точных математических терминах; оказывается невозможным сделать это удовлетворительным образом даже для ограниченного класса линейных систем с постоянными коэффициентами. Мы также увидим несколько качественных утверждений, которые могут быть (и в большинстве своем были) сделаны в попытке заключить в капсулу понятие жесткости, и сформулировать, вероятно, наиболее удовлетворительное из них как «определение» жесткости.
Дж. Д. Ламберт определяет жесткость следующим образом:
Если численный метод с конечной областью абсолютной устойчивости , применяемый к системе с любыми начальными условиями , вынужден использовать в определенном интервале интегрирования длину шага, которая слишком мала по сравнению с гладкостью точного решения в этом интервале , то в этом интервале система называется жесткой .
Есть и другие характеристики, которые демонстрируют многие примеры проблем с жесткостью, но для каждой есть контрпримеры, поэтому эти характеристики не могут служить хорошим определением жесткости. Тем не менее определения, основанные на этих характеристиках, широко используются некоторыми авторами и являются хорошими подсказками относительно наличия жесткости. Ламберт называет это «утверждениями», а не определениями по вышеупомянутым причинам. Вот некоторые из них:
- Система с линейными постоянными коэффициентами является жесткой, если все ее собственные значения имеют отрицательную действительную часть, а коэффициент жесткости велик.
- Жесткость возникает, когда длину шага ограничивают требования к стабильности, а не к точности.
- Жесткость возникает, когда одни компоненты раствора распадаются намного быстрее, чем другие. [3]
Этимология
Происхождение термина «жесткость» точно не установлено. По словам Джозефа Oakland Хиршфельдера , термин «жесткий» используются потому , что такие системы соответствуют тесной связи между водителем и приводом в следящих . [4] По словам Ричарда. Л. Берден и Дж. Дуглас Фейрес,
Существенные трудности могут возникнуть, когда стандартные численные методы применяются для аппроксимации решения дифференциального уравнения, когда точное решение содержит члены вида e λt , где λ - комплексное число с отрицательной действительной частью.
...
Проблемы, связанные с быстро затухающими переходными процессами, возникают естественным образом в самых разных приложениях, включая изучение пружинных и демпфирующих систем, анализ систем управления и проблемы химической кинетики . Все это примеры класса задач, называемых жесткими (математическая жесткость) системами дифференциальных уравнений, из-за их применения при анализе движения пружинных и массовых систем, имеющих большие постоянные пружины (физическая жесткость ). [5]
Например, задача начального значения
( 10 )
с m = 1, c = 1001, k = 1000, можно записать в виде ( 5 ) с n = 2 и
( 11 )
( 12 )
( 13 )
и имеет собственные значения . Оба собственных значения имеют отрицательную действительную часть, а коэффициент жесткости равен
( 14 )
что довольно велико. Тогда система ( 10 ) определенно удовлетворяет утверждениям 1 и 3. Здесь жесткость пружины k велика, а постоянная демпфирования c еще больше. [6] (Обратите внимание, что «большой» - неопределенный субъективный термин, но чем больше указанные выше величины, тем более выраженным будет эффект жесткости.) Точное решение ( 10 ):
( 15 )
Обратите внимание, что ( 15 ) ведет себя почти как простая экспонента x 0 e - t , но наличия члена e −1000 t , даже с небольшим коэффициентом, достаточно, чтобы сделать численные вычисления очень чувствительными к размеру шага. Для стабильного интегрирования ( 10 ) требуется очень маленький размер шага, пока он не войдет в гладкую часть кривой решения, что приведет к ошибке, намного меньшей, чем требуется для точности. Таким образом, система также удовлетворяет утверждению 2 и определению Ламберта.
А-стабильность
Поведение численных методов на жестких задачах может быть проанализировано путем применения этих методов к испытательному уравнению y ' = ky при начальном условии y (0) = 1 с. Решение этого уравнения y ( t ) = e kt . Это решение стремится к нулю при когда Если численный метод также демонстрирует это поведение (для фиксированного размера шага), то метод называют A-устойчивым. [7] (Обратите внимание, что численный метод, который является L-устойчивым (см. Ниже), имеет более сильное свойство, заключающееся в том, что решение приближается к нулю за один шаг, когда размер шага стремится к бесконечности.) A-устойчивые методы не обнаруживают проблем неустойчивости как описано в мотивирующем примере.
Методы Рунге – Кутты
Методы Рунге – Кутты, примененные к тесту уравнения принять форму , и по индукции . Функцияназывается функцией устойчивости . Таким образом, условие, что в виде эквивалентно . Это мотивирует определение области абсолютной стабильности (иногда называемой просто областью устойчивости ), которая является множеством. Метод является A-устойчивым, если область абсолютной устойчивости содержит множество, то есть левая полуплоскость.
Пример: методы Эйлера
Рассмотрим методы Эйлера выше. Явный метод Эйлера, примененный к тестовому уравнению является
Следовательно, с участием . Таким образом, область абсолютной устойчивости этого методакоторый является диском, изображенным справа. Метод Эйлера не является A-устойчивым.
В мотивирующем примере . Значение z при измерении размера шага является , что находится за пределами области стабильности. Действительно, численные результаты не сходятся к нулю. Однако с размером шага, у нас есть что находится как раз внутри области устойчивости, и численные результаты сходятся к нулю, хотя и довольно медленно.
Пример: трапециевидный метод
Рассмотрим трапециевидный метод
применительно к испытательному уравнению , является
Решение для дает
Таким образом, функция устойчивости равна
а область абсолютной стабильности
Эта область содержит левую полуплоскость, поэтому метод трапеций является A-устойчивым. Фактически, область устойчивости идентична левой полуплоскости, поэтому численное решениесходится к нулю тогда и только тогда, когда сходится точное решение. Тем не менее, трапециевидный метод не обладает идеальным поведением: он затухает все распадающиеся компоненты, но быстро распадающиеся компоненты затухают очень слабо, потому что в виде . Это привело к концепции L-устойчивости : метод является L-устойчивым, если он A-устойчив и в виде . Трапециевидный метод является A-стабильным, но не L-стабильным. Неявный метод Эйлера является примером способа L-стабильным. [8]
Общая теория
Функция устойчивости метода Рунге – Кутты с коэффициентами а также дан кем-то
где обозначает вектор с единицами. Это рациональная функция (один многочлен делится на другой).
Явные методы Рунге – Кутты имеют строго нижнетреугольную матрицу коэффициентови, таким образом, их функция устойчивости является полиномом. Отсюда следует, что явные методы Рунге – Кутты не могут быть A-стабильными.
Функция устойчивости неявных методов Рунге – Кутта часто анализируется с использованием звезд порядка . Звездочка порядка для метода с функцией устойчивости определяется как набор . Метод является A-устойчивым тогда и только тогда, когда его функция устойчивости не имеет полюсов в левой плоскости и его звезда порядка не содержит чисто мнимых чисел. [9]
Многоступенчатые методы
Линейные многоступенчатые методы имеют вид
Применительно к уравнению теста они становятся
который можно упростить до
где z = hk . Это линейное рекуррентное соотношение . Метод является A-устойчивым, если все решения { y n } рекуррентного соотношения сходятся к нулю при Re z <0. Характеристический многочлен равен
Все решения сходятся к нулю при заданном значении z, если все решения w уравнения Φ ( z , w ) = 0 лежат в единичной окружности.
Тогда область абсолютной устойчивости многоступенчатого метода описанной выше формы представляет собой совокупность всех для которых все w такие, что Φ ( z , w ) = 0, удовлетворяют | w | <1. Опять же, если это множество содержит левую полуплоскость, многошаговый метод называется A-устойчивым.
Пример: метод Адамса – Башфорта второго порядка.
Определим область абсолютной устойчивости двухшагового метода Адамса – Башфорта.
Характеристический полином равен
имеющий корни
таким образом, область абсолютной стабильности
Этот регион показан справа. Он не включает всю левую полуплоскость (фактически, он включает только действительную ось между z = −1 и z = 0), поэтому метод Адамса – Башфорта не является A-устойчивым.
Общая теория
Явные многоступенчатые методы никогда не могут быть A-стабильными, как и явные методы Рунге – Кутты. Неявные многошаговые методы могут быть A-стабильными, только если их порядок не превышает 2. Последний результат известен как второй барьер Далквиста ; это ограничивает полезность линейных многоступенчатых методов для жестких уравнений. Примером A-устойчивого метода второго порядка является упомянутое выше правило трапеций, которое также можно рассматривать как линейный многоступенчатый метод. [10]
Смотрите также
- Номер условия
- Дифференциальное включение , расширение понятия дифференциального уравнения, которое допускает разрывы, частично как способ обойти некоторые проблемы с жесткостью
- Явные и неявные методы
Заметки
- ^ Робертсон, HH (1966). «Решение системы уравнений скорости реакции». Численный анализ: введение . Академическая пресса. С. 178–182.
- ↑ Ламберт (1992 , стр. 216–217)
- ↑ Ламберт (1992 , стр. 217–220)
- ^ Hirshfelder (1963)
- ↑ Burden & Faires (1993 , стр. 314)
- ^ Kreyszig (1972 , стр. 62-68)
- ^ Это определение дано Далквистом (1963) .
- ^ Определение L-устойчивости дано Эле (1969) .
- ^ Определение дано Ваннером, Хайрером и Норсеттом (1978) ; см. также Iserles & Nørsett (1991) .
- ^ См. Dahlquist (1963) .
Рекомендации
- Бэрден, Ричард Л .; Faires, J. Douglas (1993), Численный анализ (5-е изд.), Boston: Prindle, Weber and Schmidt , ISBN 0-534-93219-3.
- Далквист, Гермунд (1963), "Особой проблемой устойчивости линейных методов многостадийных", БИТ , 3 (1): 27-43, DOI : 10.1007 / BF01963532 , ЛВП : 10338.dmlcz / 103497.
- Эберли, Дэвид (2008), Анализ устойчивости систем дифференциальных уравнений (PDF).
- Эле, Б.Л. (1969), Об аппроксимациях Паде экспоненциальной функции и A-стабильных методах численного решения задач начального значения (PDF) , Университет Ватерлоо.
- Gear, CW (1971), Численные задачи с начальным значением в обыкновенных дифференциальных уравнениях , Englewood Cliffs: Prentice Hall.
- Gear, CW (1981), «Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: что-нибудь еще нужно сделать?», SIAM Review , 23 (1): 10–24, doi : 10.1137 / 1023002.
- Хайрер, Эрнст; Ваннер, Герхард (1996), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5.
- Хиршфельдер, Дж. О. (1963), «Прикладная математика, используемая в теоретической химии», Симпозиум Американского математического общества : 367–376.
- Изерлес, Арье; Норсетт, Syvert (1991), звезды ордена , Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-35260-7.
- Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8.
- Ламберт, Дж. Д. (1977), Д. Джейкобс (редактор), «Задача начального значения для обыкновенных дифференциальных уравнений», «Современное состояние в численном анализе» , Нью-Йорк: Academic Press : 451–501.
- Ламберт, JD (1992), Численные методы для обыкновенных дифференциальных систем , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-92990-1.
- Мэтьюз, Джон; Финк, Куртис (1992), Численные методы с использованием MATLAB.
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 17.5. Жесткие множества уравнений» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
- Шампин, LF; Gear, CW (1979), "Вид пользователя решения жесткого обыкновенного дифференциального уравнения" , SIAM Review , 21 (1): 1-17, DOI : 10,1137 / 1021001.
- Ваннер, Герхард; Хайрер, Эрнст; Nørsett, Syvert (1978), "Заказать звезды и теория устойчивости", BIT , 18 (4): 475-489, DOI : 10.1007 / BF01932026.
- Устойчивость методов Рунге-Кутты [1]
Внешние ссылки
- Введение в физическое моделирование: энергетические функции и жесткость
- Жесткие системы Лоуренс Ф. Шампин и Скип Томпсон Scholarpedia , 2 (3): 2855. DOI: 10.4249 / scholarpedia.2855