Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математическом подполе численного анализа , устойчивость численная является в целом желательным свойством численных алгоритмов . Точное определение стабильности зависит от контекста. Один из них - числовая линейная алгебра, а другой - алгоритмы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных с помощью дискретного приближения.

В числовой линейной алгебре основной проблемой являются нестабильности, вызванные близостью к особенностям различного типа, таким как очень малые или почти совпадающие собственные значения . С другой стороны, в численных алгоритмах для дифференциальных уравнений проблема заключается в росте ошибок округления и / или небольших флуктуации исходных данных, которые могут вызвать большое отклонение окончательного ответа от точного решения. [ необходима цитата ]

Некоторые численные алгоритмы могут подавлять небольшие колебания (ошибки) во входных данных; другие могут преувеличивать такие ошибки. Расчеты, которые, как можно доказать, не увеличивают погрешности аппроксимации, называются численно стабильными . Одна из распространенных задач численного анализа - попытаться выбрать алгоритмы, которые являются надежными,  то есть не дают сильно отличающегося результата при очень небольшом изменении входных данных.

Противоположное явление неустойчивости . Как правило, алгоритм включает приближенный метод, и в некоторых случаях можно доказать, что алгоритм приблизится к правильному решению в некотором пределе (при использовании реальных действительных чисел, а не чисел с плавающей запятой). Даже в этом случае нет гарантии, что оно сойдется к правильному решению, потому что ошибки округления или усечения с плавающей запятой могут быть увеличены, а не затухают, вызывая экспоненциальный рост отклонения от точного решения. [1]

Устойчивость в числовой линейной алгебре [ править ]

Есть разные способы формализовать понятие устойчивости. Следующие определения прямой, обратной и смешанной устойчивости часто используются в числовой линейной алгебре .

Диаграмма, показывающая прямую ошибку Δ y и обратную ошибку Δ x , а также их связь с картой точного решения  f и численным решением  f *.

Рассмотрим задачу, которую должен решить численный алгоритм, как функцию  f, отображающую данные  x в решение  y . Результат алгоритма, скажем y *, обычно будет отклоняться от «истинного» решения  y . Основные причины ошибок являются ошибками округления и усечения ошибок . Вперед ошибки алгоритма представляет собой разность между результатом и решением; в этом случае Δ y = y * - y . Назад , ошибка является наименьшим Δ х таким образом, что F  ( х+ Δ x ) = y * ; другими словами, обратная ошибка говорит нам, какую проблему алгоритм фактически решил. Прямая и обратная ошибка связаны с помощью номера условия : прямая ошибка по величине не больше, чем номер условия, умноженный на величину обратной ошибки.

Во многих случаях более естественно рассматривать относительную погрешность

вместо абсолютной погрешности Δ x .

Алгоритм считается обратно устойчивым, если обратная ошибка мала для всех входов  x . Конечно, «маленький» - понятие относительное, и его определение будет зависеть от контекста. Часто мы хотим, чтобы ошибка была того же порядка, или, возможно, только на несколько порядков больше, чем округление единицы .

Смешанная стабильность сочетает в себе концепции прямой ошибки и обратной ошибки.

Обычное определение числовой устойчивости использует более общую концепцию, называемую смешанной стабильностью , которая объединяет прямую ошибку и обратную ошибку. Алгоритм в этом смысле устойчив, если он решает близкую задачу приближенно, т. Е. Если существует Δ x такое, что как Δ x мало, так и f  ( x + Δ x ) - y * мало. Следовательно, обратный стабильный алгоритм всегда стабилен.

Алгоритм является стабильным в прямом направлении, если его прямая ошибка, деленная на число условия проблемы, мала. Это означает, что алгоритм является стабильным в прямом направлении, если он имеет прямую ошибку величины, аналогичную некоторому алгоритму обратной устойчивости.

Устойчивость в численных дифференциальных уравнениях [ править ]

Приведенные выше определения особенно актуальны в ситуациях, когда ошибки усечения не важны. В других контекстах, например, при решении дифференциальных уравнений , используется другое определение числовой устойчивости.

В числовых обыкновенных дифференциальных уравнениях существуют различные концепции числовой устойчивости, например A-устойчивость . Они связаны с некоторым понятием устойчивости в смысле динамических систем , часто с устойчивостью по Ляпунову . При решении жесткого уравнения важно использовать устойчивый метод .

Еще одно определение используется в численных уравнениях в частных производных . Алгоритм решения линейного эволюционного уравнения в частных производных является устойчивым, если полное изменение численного решения в фиксированное время остается ограниченным, поскольку размер шага стремится к нулю. Теорема эквивалентности Лакса утверждает, что алгоритм сходится, если он непротиворечив и устойчив (в этом смысле). Стабильность иногда достигается за счет численного распространения . Числовая диффузия - это математический термин, который гарантирует, что округление и другие ошибки в расчетах будут разбросаны, а не суммируются, чтобы вызвать «взрыв» расчета.Анализ устойчивости фон Неймана - широко используемая процедура для анализа устойчивости конечно-разностных схем применительно к линейным уравнениям в частных производных. Эти результаты не верны для нелинейных уравнений в частных производных, где общее согласованное определение устойчивости осложняется многими свойствами, отсутствующими в линейных уравнениях.

См. Также [ править ]

  • Алгоритмы расчета дисперсии
  • Теория устойчивости
  • Теория хаоса

Ссылки [ править ]

  1. ^ Гизела Энгельн-Мюльгес; Фрэнк Улиг (2 июля 1996 г.). Численные алгоритмы с C . М. Шон (переводчик), Ф. Улиг (переводчик) (1-е изд.). Springer. п. 10. ISBN 978-3-540-60530-0.
  • Николас Дж. Хайэм (1996). Точность и устойчивость численных алгоритмов . Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики. ISBN 0-89871-355-2.
  • Ричард Л. Берден; Дж. Дуглас Фейрес (2005). Численный анализ (8-е изд.). США: Томсон Брукс / Коул. ISBN 0-534-39200-8.
  • Меснар, Оливье; Барба, Лорена А. (2016). «Воспроизводимые и воспроизводимые CFD: это сложнее, чем вы думаете». arXiv : 1605.04339 [ Physics.comp -ph ].