Гармонический осциллятор

В классической механике , А гармонический осциллятор представляет собой система , которая, при смещении из его равновесного положения, испытывает восстанавливающую силу F , пропорциональную смещению х :

{\ displaystyle {\ vec {F}} = - к {\ vec {x}},}

где k - положительная постоянная .

Если F - единственная сила, действующая на систему, система называется простым гармоническим осциллятором , и она совершает простое гармоническое движение : синусоидальные колебания около точки равновесия с постоянной амплитудой и постоянной частотой (которая не зависит от амплитуды ).

Если также присутствует сила трения ( демпфирование ), пропорциональная скорости , гармонический осциллятор описывается как затухающий осциллятор . В зависимости от коэффициента трения система может:

Колебаться с частотой ниже, чем в незатухающем случае, и с уменьшающейся со временем амплитудой ( недемпфированный осциллятор).
Распад в положение равновесия, без колебаний ( передемпфированный осциллятор).

Граничное решение между осциллятором с недостаточным демпфированием и осциллятором с избыточным демпфированием возникает при определенном значении коэффициента трения и называется критически демпфированным .

Если присутствует внешняя сила, зависящая от времени, гармонический осциллятор описывается как управляемый осциллятор .

Примеры механики включают маятники (с небольшими углами смещения ), массы, связанные с пружинами , и акустические системы . Другие аналогичные системы включают в себя генераторы электрических гармоник, такие как цепи RLC . Модель гармонического осциллятора очень важна в физике, потому что любая масса, подверженная силе в устойчивом равновесии, действует как гармонический осциллятор для малых колебаний. Генераторы гармонических колебаний широко распространены в природе и используются во многих искусственных устройствах, таких как часы и радиосхемы. Они являются источником практически всех синусоидальных колебаний и волн.

Простой гармонический осциллятор

Простые гармонические колебания

Простой гармонический осциллятор - это осциллятор, который не является ни управляемым, ни затухающим . Он состоит из массы m , на которую действует единственная сила F , которая тянет массу в направлении точки x = 0 и зависит только от положения x массы и константы k . Баланс сил ( второй закон Ньютона ) для системы равен

{\ displaystyle F = ma = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = m {\ ddot {x}} = - kx.}

Решая это дифференциальное уравнение , находим, что движение описывается функцией

{\ Displaystyle х (т) = А \ соз (\ омега т + \ varphi),}

где

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}.}

Движение периодическое , повторяется в синусоидальном моде с постоянной амплитудой A . Помимо амплитуды, движение простого гармонического осциллятора характеризуется периодом ${\ Displaystyle Т = 2 \ пи / \ омега}$ , время одиночного колебания или его частота ${\ displaystyle f = 1 / T}$ , количество циклов в единицу времени. Положение в данный момент времени t также зависит от фазы φ , которая определяет начальную точку синусоидальной волны. Период и частота определяются размером массы m и силовой постоянной k , а амплитуда и фаза определяются начальным положением и скоростью .

Скорость и ускорение простого гармонического осциллятора колеблются с той же частотой, что и положение, но со сдвинутыми фазами. Скорость максимальна при нулевом смещении, а ускорение - в направлении, противоположном смещению.

Потенциальная энергия, запасенная в простом гармоническом осцилляторе в позиции x, равна

{\ displaystyle U = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}.}

Осциллятор с затухающими гармониками

Зависимость поведения системы от значения коэффициента демпфирования ζ

">

Воспроизвести медиа

Видеоклип, демонстрирующий затухающий гармонический осциллятор, состоящий из динамической тележки между двумя пружинами. Акселерометр на верхней части тележки показывает величину и направление ускорения.

В реальных осцилляторах трение или демпфирование замедляет движение системы. Из-за силы трения скорость уменьшается пропорционально действующей силе трения. В то время как в простом неприводном гармоническом осцилляторе единственной силой, действующей на массу, является возвращающая сила, в затухающем гармоническом осцилляторе дополнительно присутствует сила трения, которая всегда направлена против движения. Во многих вибрирующих системах сила трения F _f может быть смоделирована как пропорциональная скорости v объекта: F _f = - cv , где c называется коэффициентом вязкого демпфирования .

Тогда баланс сил ( второй закон Ньютона ) для затухающих гармонических осцилляторов равен

{\ Displaystyle F = -kx-c {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm { d} t ^ {2}}},}

^[1]^[2]^[3]

который можно переписать в виде

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = 0,}

где

{\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}

называется «незатухающей угловой частотой генератора»,

{\ displaystyle \ zeta = {\ frac {c} {2 {\ sqrt {mk}}}}}

называется «коэффициент демпфирования».

Переходная характеристика затухающего гармонического осциллятора; кривые построены для трех значений μ = ω ₁ = ω ₀√ 1 - ζ ² . Время в единицах времени затухания τ = 1 / ( ζω ₀ ) .

Значение коэффициента демпфирования ζ критически определяет поведение системы. Затухающий гармонический осциллятор может быть:

Сверхдемпфирование ( ζ > 1): система возвращается ( экспоненциально затухает ) в устойчивое состояние без колебаний. Большие значения коэффициента демпфирования ζ возвращаются к равновесию медленнее.
Критическое затухание ( ζ = 1): система возвращается в установившееся состояние как можно быстрее без колебаний (хотя может произойти перерегулирование, если начальная скорость отлична от нуля). Это часто требуется для демпфирования таких систем, как двери.
Недемпфирование ( ζ <1): система колеблется (с немного другой частотой, чем в случае незатухания) с амплитудой, постепенно уменьшающейся до нуля. Угловая частота в underdamped гармонического осциллятора задается ${\ displaystyle \ omega _ {1} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}},}$ экспоненциальное затухание от underdamped гармонического осциллятора задается ${\ displaystyle \ lambda = \ omega _ {0} \ zeta.}$

Добротность затухающего осциллятора определяется как

{\ displaystyle Q = 2 \ pi \ times {\ frac {\ text {сохраненная энергия}} {\ text {энергия, теряемая за цикл}}}.}

Q связано с коэффициентом демпфирования уравнением ${\ displaystyle Q = {\ frac {1} {2 \ zeta}}.}$

Генераторы гармонических колебаний

Управляемые гармонические осцилляторы - это осцилляторы с затуханием, на которые дополнительно действует приложенная извне сила F ( t ).

Второй закон Ньютона принимает вид

{\ Displaystyle F (t) -kx-c {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}}.}

Обычно его переписывают в виде

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {F (t)} {m}}.}.

Это уравнение может быть решено точно для любой движущей силы, используя решения z ( t ), которые удовлетворяют невынужденному уравнению

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} z} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} z = 0,}

и которые можно выразить как затухающие синусоидальные колебания:

{\ displaystyle z (t) = A \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ omega _ {0} t} \ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ omega _ { 0} t + \ varphi \ right),}

в случае, когда ζ ≤ 1. Амплитуда A и фаза φ определяют поведение, необходимое для согласования начальных условий.

Пошаговый ввод

В случае ζ <1 и единичного шага входа с x (0) = 0:

{\ displaystyle {\ frac {F (t)} {m}} = {\ begin {case} \ omega _ {0} ^ {2} & t \ geq 0 \\ 0 & t <0 \ end {cases}}}

решение

{\ displaystyle x (t) = 1- \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ omega _ {0} t} {\ frac {\ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}) } \ omega _ {0} t + \ varphi \ right)} {\ sin (\ varphi)}},}

с фазой φ, задаваемой формулой

{\ Displaystyle \ соз \ varphi = \ zeta.}

Время, необходимое осциллятору для адаптации к изменившимся внешним условиям, составляет порядка τ = 1 / ( ζω ₀ ). В физике адаптация называется релаксацией , а τ - временем релаксации.

В электротехнике кратное τ называется временем установления , то есть временем, необходимым для обеспечения того, чтобы сигнал находился в пределах фиксированного отклонения от конечного значения, обычно в пределах 10%. Термин « перерегулирование» относится к степени, в которой максимум отклика превышает конечное значение, а « недорез» относится к степени, в которой отклик опускается ниже конечного значения в течение времени, следующего за максимумом отклика.

Синусоидальная движущая сила

Установившееся изменение амплитуды с относительной частотой

{\ displaystyle \ omega / \ omega _ {0}}

и демпфирование

{\ displaystyle \ zeta}

управляемого простого гармонического осциллятора . Этот график также называют спектром гармонического осциллятора или спектром движения.

В случае синусоидальной движущей силы:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} x} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} + 2 \ zeta \ omega _ {0} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} + \ omega _ {0} ^ {2} x = {\ frac {1} {m}} F_ {0} \ sin (\ omega t),}

где ${\ displaystyle F_ {0}}$ - управляющая амплитуда, а ${\ displaystyle \ omega}$ - частота возбуждения для синусоидального приводного механизма. Этот тип системы появляется в цепях RLC, управляемых переменным током ( резистор - индуктор - конденсатор ) и системах с управляемыми пружинами, имеющими внутреннее механическое сопротивление или внешнее сопротивление воздуха .

Общее решение представляет собой сумму переходного решения, которое зависит от начальных условий, и установившегося состояния, которое не зависит от начальных условий и зависит только от управляющей амплитуды. ${\ displaystyle F_ {0}}$ , частота движения ${\ displaystyle \ omega}$ , незатухающая угловая частота ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ , а коэффициент демпфирования ${\ displaystyle \ zeta}$ .

Стационарное решение пропорционально движущей силе с индуцированным изменением фазы ${\ displaystyle \ varphi}$ :

{\ displaystyle x (t) = {\ frac {F_ {0}} {mZ_ {m} \ omega}} \ sin (\ omega t + \ varphi),}

где

{\ displaystyle Z_ {m} = {\ sqrt {\ left (2 \ omega _ {0} \ zeta \ right) ^ {2} + {\ frac {1} {\ omega ^ {2}}} (\ omega _ {0} ^ {2} - \ omega ^ {2}) ^ {2}}}}

- абсолютное значение импеданса или функции линейного отклика , а

{\ displaystyle \ varphi = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ omega \ omega _ {0} \ zeta} {\ omega ^ {2} - \ omega _ {0} ^ {2}}} \ right) + n \ pi}

- фаза колебаний относительно движущей силы. Значение фазы обычно принимается между -180 ° и 0 (то есть оно представляет собой фазовое запаздывание как для положительных, так и для отрицательных значений аргумента arctan).

Для определенной частоты возбуждения , называемой резонансом , или резонансной частотой ${\ displaystyle \ omega _ {r} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1-2 \ zeta ^ {2}}}}$ , амплитуда (для заданного ${\ displaystyle F_ {0}}$ ) максимальна. Этот резонансный эффект возникает только тогда, когда ${\ displaystyle \ zeta <1 / {\ sqrt {2}}}$ , т. е. для систем с недостаточным демпфированием. Для систем с сильным демпфированием значение амплитуды может стать довольно большим вблизи резонансной частоты.

Переходные решения такие же, как и невынужденные ( ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ ) затухающего гармонического осциллятора и представляют реакцию системы на другие события, произошедшие ранее. Переходные решения обычно умирают достаточно быстро, чтобы их можно было игнорировать.

Параметрические осцилляторы

Параметрический генератор представляет собой управляемый гармонический осциллятор , в котором энергия привода обеспечивается путем изменения параметров осциллятора, такие как демпфирующая или восстанавливающей сила. Знакомый пример параметрических колебаний - это «качание» качелей на детской площадке . ^[4]^[5]^[6] Человек на движущихся качелях может увеличивать амплитуду колебаний качелей без приложения какой-либо внешней движущей силы (толчков), изменяя момент инерции качелей, раскачиваясь назад и вперед (" накачивание ") или поочередно стоя и приседания в ритме с колебаниями качелей. Изменение параметров приводит в движение систему. Примерами параметров, которые можно изменять, является его резонансная частота. ${\ displaystyle \ omega}$ и демпфирование ${\ displaystyle \ beta}$ .

Параметрические генераторы используются во многих приложениях. Классический варакторный параметрический генератор колеблется при периодическом изменении емкости диода. Схема, изменяющая емкость диода, называется «накачкой» или «драйвером». В микроволновой электронике параметрические генераторы на основе волноводов / YAG работают аналогичным образом. Разработчик периодически меняет параметр, чтобы вызвать колебания.

Параметрические генераторы были разработаны как малошумящие усилители, особенно в радио- и микроволновом диапазоне частот. Тепловой шум минимален, поскольку изменяется реактивное сопротивление (а не сопротивление). Другое распространенное использование - преобразование частоты, например преобразование звуковых частот в радиочастоты. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную лазерную волну в две выходные волны более низкой частоты ( ${\ displaystyle \ omega _ {s}, \ omega _ {i}}$ ).

Параметрический резонанс возникает в механической системе, когда система параметрически возбуждается и колеблется на одной из своих резонансных частот. Параметрическое возбуждение отличается от принуждения, поскольку действие проявляется как изменение во времени системного параметра. Этот эффект отличается от обычного резонанса тем, что демонстрирует явление нестабильности .

Уравнение универсального осциллятора

Уравнение

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = 0}

известно как уравнение универсального осциллятора , поскольку все линейные колебательные системы второго порядка могут быть приведены к этой форме. ^{[ необходима цитата ]} Это делается посредством обезразмеривания .

Если вынуждающая функция равна f ( t ) = cos ( ωt ) = cos ( ωt _c τ ) = cos ( ωτ ), где ω = ωt _c , уравнение принимает вид

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = \ cos (\ omega \ tau).}

Решение этого дифференциального уравнения состоит из двух частей: «переходной» и «установившейся».

Переходное решение

Решение, основанное на решении обыкновенного дифференциального уравнения , для произвольных постоянных c ₁ и c ₂

{\ displaystyle q_ {t} (\ tau) = {\ begin {cases} \ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} \ left (c_ {1} \ mathrm {e} ^ {\ tau {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}}} + c_ {2} \ mathrm {e} ^ {- \ tau {\ sqrt {\ zeta ^ {2} -1}}} \ right) & \ zeta> 1 {\ text {(сверхдемпфирование)}} \\\ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} (c_ {1} + c_ {2} \ tau) = \ mathrm {e} ^ {- \ tau} ( c_ {1} + c_ {2} \ tau) & \ zeta = 1 {\ text {(критическое затухание)}} \\\ mathrm {e} ^ {- \ zeta \ tau} \ left [c_ {1} \ cos \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ tau \ right) + c_ {2} \ sin \ left ({\ sqrt {1- \ zeta ^ {2}}} \ tau \ right) \ right] & \ zeta <1 {\ text {(демпфирование)}} \ end {case}}}

Переходное решение не зависит от функции принуждения.

Устойчивое решение

Примените « метод комплексных переменных », решив вспомогательное уравнение ниже и затем найдя действительную часть его решения:

{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} q} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} + 2 \ zeta {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} \ tau}} + q = \ cos (\ omega \ tau) + \ mathrm {i} \ sin (\ omega \ tau) = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \ omega \ tau} .}

Предположим, что решение имеет вид

{\ displaystyle q_ {s} (\ tau) = A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}.}

Его производные от нулевого до второго порядка равны

{\ displaystyle q_ {s} = A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}, \ quad {\ frac {\ mathrm {d} q_ {s}} {\ mathrm {d} \ tau}} = \ mathrm {i} \ omega A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}, \ quad {\ frac {\ mathrm {d } ^ {2} q_ {s}} {\ mathrm {d} \ tau ^ {2}}} = - \ omega ^ {2} A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)}.}

Подставляя эти величины в дифференциальное уравнение, получаем

{\ displaystyle - \ omega ^ {2} A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} + A \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} = (- \ omega ^ {2} A + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A + A) \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} (\ omega \ tau + \ varphi)} = \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i } \ omega \ tau}.}

Деление на экспоненциальный член слева дает

{\ displaystyle - \ omega ^ {2} A + 2 \ zeta \ mathrm {i} \ omega A + A = \ mathrm {e} ^ {- \ mathrm {i} \ varphi} = \ cos \ varphi - \ mathrm {i} \ sin \ varphi.}

Приравнивание действительной и мнимой частей приводит к двум независимым уравнениям

{\ displaystyle A (1- \ omega ^ {2}) = \ cos \ varphi, \ quad 2 \ zeta \ omega A = - \ sin \ varphi.}

Амплитудная часть

График Боде частотной характеристики идеального гармонического осциллятора

Возведение обоих уравнений в квадрат и сложение их вместе дает

{\ displaystyle \ left. {\ begin {align} A ^ {2} (1- \ omega ^ {2}) ^ {2} & = \ cos ^ {2} \ varphi \\ (2 \ zeta \ omega A ) ^ {2} & = \ sin ^ {2} \ varphi \ end {align}} \ right \} \ Rightarrow A ^ {2} [(1- \ omega ^ {2}) ^ {2} + (2 \ zeta \ omega) ^ {2}] = 1.}

Следовательно,

{\ displaystyle A = A (\ zeta, \ omega) = \ operatorname {sign} \ left ({\ frac {- \ sin \ varphi} {2 \ zeta \ omega}} \ right) {\ frac {1} { \ sqrt {(1- \ omega ^ {2}) ^ {2} + (2 \ zeta \ omega) ^ {2}}}}.}.

Сравните этот результат с теоретическим разделом о резонансе , а также с «величиной» цепи RLC . Эта функция амплитуды особенно важна для анализа и понимания частотной характеристики систем второго порядка.

Фазовая часть

Чтобы решить для φ , разделите оба уравнения, чтобы получить

{\ displaystyle \ tan \ varphi = - {\ frac {2 \ zeta \ omega} {1- \ omega ^ {2}}} = {\ frac {2 \ zeta \ omega} {\ omega ^ {2} -1 }} \ Rightarrow \ varphi \ Equiv \ varphi (\ zeta, \ omega) = \ arctan \ left ({\ frac {2 \ zeta \ omega} {\ omega ^ {2} -1}} \ right) + n \ Пи .}

Эта фазовая функция особенно важна для анализа и понимания частотной характеристики систем второго порядка.

Полное решение

Объединение амплитудной и фазовой частей приводит к стационарному решению.

{\ Displaystyle Q_ {s} (\ тау) = А (\ дзета, \ омега) \ соз (\ омега \ тау + \ varphi (\ дзета, \ омега)) = А \ соз (\ омега \ тау + \ varphi ).}

Решение исходного уравнения универсального осциллятора представляет собой суперпозицию (сумму) переходного и установившегося решений:

{\ displaystyle q (\ tau) = q_ {t} (\ tau) + q_ {s} (\ tau).}

Для более полного описания того, как решить вышеуказанное уравнение, см. Линейные ОДУ с постоянными коэффициентами .

Эквивалентные системы

Гармонические осцилляторы, встречающиеся в ряде областей техники, эквивалентны в том смысле, что их математические модели идентичны (см. Уравнение универсального осциллятора выше). Ниже приведена таблица, в которой показаны аналогичные величины в системах с четырьмя гармоническими генераторами в механике и электронике. Если аналогичные параметры в одной строке таблицы имеют равные числовые значения, поведение осцилляторов - их форма выходного сигнала, резонансная частота, коэффициент демпфирования и т. Д. - одинаковы.

Трансляционная механика	Вращательный механический	Последовательная цепь RLC	Параллельная цепь RLC
Должность ${\ displaystyle x}$	Угол ${\ displaystyle \ theta}$	Заряжать ${\ displaystyle q}$	Потоковая связь ${\ displaystyle \ varphi}$
Скорость ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}}}$	Угловая скорость ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}}}$	Текущий ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}}}$	Напряжение ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ varphi} {\ mathrm {d} t}}}$
Масса ${\ displaystyle m}$	Момент инерции ${\ displaystyle I}$	Индуктивность ${\ displaystyle L}$	Емкость ${\ displaystyle C}$
Импульс ${\ displaystyle p}$	Угловой момент ${\ displaystyle L}$	Потоковая связь ${\ displaystyle \ varphi}$	Заряжать ${\ displaystyle q}$
Постоянная пружины ${\ displaystyle k}$	Постоянная кручения ${\ displaystyle \ mu}$	Эластичность ${\ displaystyle 1 / C}$	Магнитное сопротивление ${\ displaystyle 1 / L}$
Демпфирование ${\ displaystyle c}$	Вращательное трение ${\ displaystyle \ Gamma}$	Сопротивление ${\ displaystyle R}$	Проводимость ${\ Displaystyle G = 1 / R}$
Движущая сила ${\ Displaystyle F (т)}$	Крутящий момент привода ${\ Displaystyle \ тау (т)}$	Напряжение ${\ displaystyle e}$	Текущий ${\ displaystyle i}$
Незатухающая резонансная частота ${\ displaystyle f_ {n}}$ :
${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {\ mu} {I}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}}}$
Коэффициент демпфирования ${\ displaystyle \ zeta}$ :
${\ displaystyle {\ frac {c} {2}} {\ sqrt {\ frac {1} {км}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {\ Gamma} {2}} {\ sqrt {\ frac {1} {I \ mu}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {R} {2}} {\ sqrt {\ frac {C} {L}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {G} {2}} {\ sqrt {\ frac {L} {C}}}}$
Дифференциальное уравнение:
${\ displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ dot {x}} + kx = F}$	${\ Displaystyle I {\ ddot {\ theta}} + \ Gamma {\ dot {\ theta}} + \ mu \ theta = \ tau}$	${\ displaystyle L {\ ddot {q}} + R {\ dot {q}} + q / C = e}$	${\ displaystyle C {\ ddot {\ varphi}} + G {\ dot {\ varphi}} + \ varphi / L = i}$

Приложение к консервативной силе

Проблема простого гармонического осциллятора часто возникает в физике, потому что масса в состоянии равновесия под действием любой консервативной силы в пределе малых движений ведет себя как простой гармонический осциллятор.

Консервативная сила - это сила, связанная с потенциальной энергией . Функция потенциальной энергии гармонического осциллятора равна

{\ Displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} kx ^ {2}.}

Для произвольной функции потенциальной энергии ${\ Displaystyle V (х)}$ , можно сделать разложение Тейлора в терминах ${\ displaystyle x}$ около минимума энергии ( ${\ displaystyle x = x_ {0}}$ ) для моделирования поведения малых возмущений от состояния равновесия.

{\ displaystyle V (x) = V (x_ {0}) + V '(x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} V ^ {(2 )} (x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {2} + O (x-x_ {0}) ^ {3}.}

Так как ${\ Displaystyle V (x_ {0})}$ является минимумом, первая производная, оцененная на ${\ displaystyle x_ {0}}$ должен быть равен нулю, поэтому линейный член выпадает:

{\ Displaystyle V (x) = V (x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} V ^ {(2)} (x_ {0}) \ cdot (x-x_ {0}) ^ {2} + O (x-x_ {0}) ^ {3}.}

Термин константы V ( х ₀ ) является произвольной и , следовательно , может быть отброшена, и преобразование координат позволяет форма простого гармонического осциллятора должны быть получена:

{\ Displaystyle V (x) \ приблизительно {\ frac {1} {2}} V ^ {(2)} (0) \ cdot x ^ {2} = {\ frac {1} {2}} kx ^ { 2}.}

Таким образом, для произвольной функции потенциальной энергии ${\ Displaystyle V (х)}$ с ненулевой второй производной, можно использовать решение простого гармонического осциллятора, чтобы обеспечить приближенное решение для небольших возмущений вокруг точки равновесия.

Примеры

Простой маятник

Простой маятник имеет приблизительно простое гармоническое движение в условиях не демпфирующей и малой амплитуды.

В предположении отсутствия демпфирования дифференциальное уравнение, описывающее простой маятник длиной ${\ displaystyle l}$ , где ${\ displaystyle g}$ - местное ускорение свободного падения , равно

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta = 0.}

Если максимальное смещение маятника невелико, можно использовать приближение ${\ Displaystyle \ грех \ тета \ приблизительно \ тета}$ и вместо этого рассмотрим уравнение

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} \ theta} {dt ^ {2}}} + {\ frac {g} {l}} \ theta = 0.}

Общее решение этого дифференциального уравнения:

{\ displaystyle \ theta (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {g} {l}}} t + \ varphi \ right),}

где ${\ displaystyle A}$ а также ${\ displaystyle \ varphi}$ - константы, зависящие от начальных условий. Использование в качестве начальных условий ${\ displaystyle \ theta (0) = \ theta _ {0}}$ а также ${\ Displaystyle {\ точка {\ theta}} (0) = 0}$ , решение дается формулой

{\ displaystyle \ theta (t) = \ theta _ {0} \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {g} {l}}} t \ right),}

где ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ - наибольший угол, достигаемый маятником (т. е. ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ - амплитуда маятника). Период , время одного полного колебания, дается выражением

{\ displaystyle \ tau = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {l} {g}}} = {\ frac {2 \ pi} {\ omega}},}

что является хорошим приближением к фактическому периоду, когда ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ маленький. Обратите внимание, что в этом приближении период ${\ Displaystyle \ тау}$ не зависит от амплитуды ${\ displaystyle \ theta _ {0}}$ . В приведенном выше уравнении ${\ displaystyle \ omega}$ представляет угловую частоту.

Система пружина / масса

Система пружина – масса в равновесном (A), сжатом (B) и растянутом (C) состояниях

Когда пружина растягивается или сжимается массой, пружина развивает возвращающую силу. Закон Гука дает соотношение силы, прилагаемой пружиной, когда пружина сжимается или растягивается на определенную длину:

{\ Displaystyle F (t) = - kx (t),}

где F - сила, k - жесткость пружины, а x - смещение массы относительно положения равновесия. Знак минус в уравнении указывает, что сила, прилагаемая пружиной, всегда действует в направлении, противоположном смещению (т. Е. Сила всегда действует в направлении нулевого положения), и, таким образом, предотвращает улетание массы на бесконечность.

Используя баланс сил или метод энергии, можно легко показать, что движение этой системы задается следующим дифференциальным уравнением:

{\ Displaystyle F (t) = - kx (t) = m {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2}} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} x (t) = ma,}

последний - второй закон движения Ньютона .

Если начальное смещение равно A , и начальная скорость отсутствует, решение этого уравнения дается формулой

{\ displaystyle x (t) = A \ cos \ left ({\ sqrt {\ frac {k} {m}}} t \ right).}

Учитывая идеальную безмассовую пружину, ${\ displaystyle m}$ масса на конце пружины. Если сама пружина имеет массу, ее эффективная масса должна быть включена в ${\ displaystyle m}$ .

Изменение энергии в пружинно-демпфирующей системе

Что касается энергии, все системы имеют два типа энергии: потенциальную энергию и кинетическую энергию . Когда пружина растягивается или сжимается, она накапливает упругую потенциальную энергию, которая затем преобразуется в кинетическую энергию. Потенциальная энергия пружины определяется уравнением ${\ Displaystyle U = kx ^ {2} / 2.}$

Когда пружина растягивается или сжимается, кинетическая энергия массы преобразуется в потенциальную энергию пружины. По закону сохранения энергии, если исходная точка задана в положении равновесия, когда пружина достигает своей максимальной потенциальной энергии, кинетическая энергия массы равна нулю. Когда пружина отпускается, она пытается вернуться в состояние равновесия, и вся ее потенциальная энергия преобразуется в кинетическую энергию массы.

Значение терминов

Символ	Определение	Габаритные размеры	Единицы СИ
${\ displaystyle a}$	Ускорение массы	${\ displaystyle \ mathbf {LT ^ {- 2}}}$	м / с ²
${\ displaystyle A}$	Пиковая амплитуда колебаний	${\ displaystyle \ mathbf {L}}$	м
${\ displaystyle c}$	Коэффициент вязкого демпфирования	${\ displaystyle \ mathbf {MT ^ {- 1}}}$	Н · с / м
${\ displaystyle f}$	Частота	${\ Displaystyle \ mathbf {Т ^ {- 1}}}$	Гц
${\ displaystyle F}$	Движущая сила	${\ displaystyle \ mathbf {MLT ^ {- 2}}}$	N
${\ displaystyle g}$	Ускорение свободного падения у поверхности Земли	${\ displaystyle \ mathbf {LT ^ {- 2}}}$	м / с ²
${\ displaystyle i}$	Мнимая единица, ${\ displaystyle i ^ {2} = - 1}$	-	-
${\ displaystyle k}$	Постоянная пружины	${\ displaystyle \ mathbf {MT ^ {- 2}}}$	Н / м
${\ displaystyle m, M}$	Масса	${\ displaystyle \ mathbf {M}}$	кг
${\ displaystyle Q}$	Фактор качества	-	-
${\ displaystyle T}$	Период колебания	${\ displaystyle \ mathbf {T}}$	s
${\ displaystyle t}$	Время	${\ displaystyle \ mathbf {T}}$	s
${\ displaystyle U}$	Потенциальная энергия, запасенная в осцилляторе	${\ displaystyle \ mathbf {ML ^ {2} T ^ {- 2}}}$	J
${\ displaystyle x}$	Положение массы	${\ displaystyle \ mathbf {L}}$	м
${\ displaystyle \ zeta}$	Коэффициент демпфирования	-	-
${\ displaystyle \ varphi}$	Сдвиг фазы	-	рад
${\ displaystyle \ omega}$	Угловая частота	${\ Displaystyle \ mathbf {Т ^ {- 1}}}$	рад / с
${\ displaystyle \ omega _ {0}}$	Собственная резонансная угловая частота	${\ Displaystyle \ mathbf {Т ^ {- 1}}}$	рад / с

Смотрите также

Ангармонический осциллятор
Критическая скорость
Эффективная масса (пружинно-массовая система)
Нормальный режим
Параметрический осциллятор
Фазор
Добротность
Квантовый гармонический осциллятор
Генератор радиальных гармоник
Эластичный маятник

Заметки

^ Фаулз и Кэссиди (1986 , стр. 86)
^ Kreyszig (1972 , стр. 65)
^ Типлер (1998 , стр. 369389)
^ Дело, Уильям. «Два способа катания на детских качелях» . Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 года .
^ Кейс, WB (1996). «Прокачка качелей из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Bibcode : 1996AmJPh..64..215C . DOI : 10.1119 / 1.18209 .
^ Roura, P .; Гонсалес, Дж. А. (2010). «К более реалистичному описанию качания накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Bibcode : 2010EJPh ... 31.1195R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 31/5/020 .

Внешние ссылки

Гармонический осциллятор из лекций Фейнмана по физике
"Осциллятор, гармоника" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Гармонический осциллятор из гипертекста Хаоса
Java-апплет гармонического осциллятора с демпфированием, пропорциональным скорости, или демпфированием, вызванным сухим трением.
Осциллятор с затухающими гармониками Подробное решение от Beltoforion.de

[1] Фаулз и Кэссиди (1986 , стр. 86)

[2] Kreyszig (1972 , стр. 65)

[3] Типлер (1998 , стр. 369389)

[Case-4] Дело, Уильям. «Два способа катания на детских качелях» . Архивировано из оригинала 9 декабря 2011 года . Проверено 27 ноября 2011 года .

[Case96-5] Кейс, WB (1996). «Прокачка качелей из положения стоя». Американский журнал физики . 64 (3): 215–220. Bibcode : 1996AmJPh..64..215C . DOI : 10.1119 / 1.18209 .

[Roura-6] Roura, P .; Гонсалес, Дж. А. (2010). «К более реалистичному описанию качания накачки за счет обмена угловым моментом». Европейский журнал физики . 31 (5): 1195–1207. Bibcode : 2010EJPh ... 31.1195R . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 31/5/020 .

[1]