Шаговый ответ

Типичная ступенчатая характеристика для системы второго порядка, иллюстрирующая перерегулирование , за которым следует звон , все исчезающие в течение времени установления .

Этап ответ системы в заданном начальном состоянии состоит из временной эволюции своих выходов , когда его входы управления является Хевисайд функции шага . В электронной технике и теории управления переходная характеристика - это временное поведение выходных сигналов общей системы, когда ее входы меняются с нуля на единицу за очень короткое время. Это понятие может быть расширено до абстрактного математического понятия динамической системы с использованием параметра эволюции .

С практической точки зрения важно знать, как система реагирует на внезапный входной сигнал, поскольку большие и, возможно, быстрые отклонения от долгосрочного устойчивого состояния могут иметь экстремальные последствия для самого компонента и других частей системы в целом, зависящих от этого компонента. Кроме того, вся система не может действовать до тех пор, пока выходной сигнал компонента не стабилизируется до некоторого значения, близкого к его конечному состоянию, задерживая общий отклик системы. Формально, знание переходной характеристики динамической системы дает информацию об устойчивости такой системы и о ее способности достигать одного стационарного состояния при запуске из другого.

Формальное математическое описание [ править ]

Рисунок 4: Представление динамической системы в виде черного ящика, ее входных данных и переходной характеристики.

В этом разделе представлено формальное математическое определение реакции на скачок в терминах абстрактной математической концепции динамической системы : здесь перечислены все обозначения и допущения, необходимые для следующего описания. ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ mathfrak {S}}}$

• ${\ displaystyle \ scriptstyle t \ in T}$- параметр эволюции системы, для простоты названный « временем »,
• ${\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {x}}|_{t}\in M}$- это состояние системы во время , которое для простоты называется "выходом",${\displaystyle t}$
• ${\displaystyle \scriptstyle \Phi :T\times M\longrightarrow M}$- функция эволюции динамической системы ,
• ${\displaystyle \scriptstyle \Phi (0,{\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {x}}_{0}\in M}$- начальное состояние динамической системы ,
• ${\displaystyle \scriptstyle H(t)}$- ступенчатая функция Хевисайда

Нелинейная динамическая система [ править ]

Для общей динамической системы переходная характеристика определяется следующим образом:

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}|_{t}=\Phi _{\{H(t)\}}\left(t,{{\boldsymbol {x}}_{0}}\right).}$

Это функция эволюции, когда управляющие входы (или исходный член , или принудительные входы ) являются функциями Хевисайда: обозначение подчеркивает эту концепцию, показывая H ( t ) в качестве нижнего индекса.

Линейная динамическая система [ править ]

Для линейного инвариантного во времени (LTI) черного ящика позвольте для удобства обозначений: переходная характеристика может быть получена путем свертки управления ступенчатой ​​функцией Хевисайда и импульсной характеристики h ( t ) самой системы${\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {S}}\ \equiv \ S}$

${\displaystyle a(t)=(h*H)(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }h(\tau )H(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{t}h(\tau )\,d\tau .}$

что для системы LTI эквивалентно простому интегрированию последнего. И наоборот, для системы LTI производная переходной характеристики дает импульсную характеристику:

${\displaystyle h(t)={\frac {d}{dt}}\,a(t)}$.

Однако эти простые соотношения неверны для нелинейной или изменяющейся во времени системы . ^[1]

Временная и частотная области [ править ]

Вместо частотной характеристики производительность системы может быть определена в терминах параметров, описывающих зависимость отклика от времени. Переходную характеристику можно описать следующими величинами, связанными с ее поведением во времени :

• превышение
• время нарастания
• время установления
• звон

В случае линейных динамических систем по этим характеристикам можно сделать много выводов о системе. Ниже представлена ​​ступенчатая характеристика простого двухполюсного усилителя, а также проиллюстрированы некоторые из этих условий.

Усилители обратной связи [ править ]

Этот раздел описывает переходную характеристику простого усилителя отрицательных обратного показанный на рисунке 1. Усилитель обратной связи состоит из основного разомкнутого усилителя усиления A _OL и контура обратной связи , управляемого с помощью коэффициента обратной связи р. Этот усилитель с обратной связью анализируется, чтобы определить, как его переходная характеристика зависит от постоянных времени, определяющих отклик основного усилителя, и от количества используемой обратной связи.

Усилитель с отрицательной обратной связью имеет коэффициент усиления, равный (см. Усилитель с отрицательной обратной связью ):

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{OL}}{1+\beta A_{OL}}},}$

где _ПР = разомкнутое усиление, _FB = замкнутый контур усиление (коэффициент усиления с отрицательной обратной связью настоящего времени ) и β = коэффициент обратной связи .

С одним доминирующим полюсом [ править ]

Во многих случаях прямой усилитель может быть достаточно хорошо смоделирован в терминах единственного доминирующего полюса постоянной времени τ, т.е. как коэффициент усиления без обратной связи, определяемый как:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{1+j\omega \tau }},}$

с нулевым коэффициентом усиления A ₀ и угловой частотой ω = 2π f . Этот прямой усилитель имеет ступенчатую характеристику

${\displaystyle S_{OL}(t)=A_{0}(1-e^{-t/\tau })}$,

экспоненциальный подход от 0 к новому равновесному значению A ₀ .

Передаточная функция однополюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления с обратной связью:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}}$   •   ${\displaystyle \ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau }{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Это усиление замкнутого контура имеет ту же форму, что и усиление разомкнутого контура: однополюсный фильтр. Его ступенчатая характеристика имеет ту же форму: экспоненциальный спад к новому равновесному значению. Но постоянная времени ступенчатой ​​функции с обратной связью равна τ / (1 + β A ₀ ), поэтому она быстрее, чем отклик прямого усилителя в 1 + β A ₀ :

${\displaystyle S_{FB}(t)={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}(1-e^{-t(1+\beta A_{0})/\tau })}$,

По мере увеличения коэффициента обратной связи β переходная характеристика будет увеличиваться до тех пор, пока исходное предположение об одном доминирующем полюсе не станет неверным. Если есть второй полюс, то по мере приближения постоянной времени замкнутого контура к постоянной времени второго полюса необходим двухполюсный анализ.

Двухполюсные усилители [ править ]

В случае, когда коэффициент усиления без обратной связи имеет два полюса (две постоянные времени , τ ₁ , τ ₂ ), переходная характеристика немного сложнее. Коэффициент усиления без обратной связи определяется по формуле:

${\displaystyle A_{OL}={\frac {A_{0}}{(1+j\omega \tau _{1})(1+j\omega \tau _{2})}},}$

с нулевым коэффициентом усиления A ₀ и угловой частотой ω = 2π f .

Анализ [ править ]

Передаточная функция двухполюсного усилителя приводит к коэффициенту усиления с обратной связью:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}}$   •   ${\displaystyle \ {\frac {1}{1+j\omega {\frac {\tau _{1}+\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}+(j\omega )^{2}{\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{1+\beta A_{0}}}}}.}$

Зависимость усилителя от времени легко обнаружить, переключив переменные на s = j ω, после чего коэффициент усиления станет:

${\displaystyle A_{FB}={\frac {A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}$   •   ${\displaystyle {\frac {1}{s^{2}+s\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)+{\frac {1+\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}}}$

Полюса этого выражения (то есть нули знаменателя) находятся в:

${\displaystyle 2s=-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)}$

${\displaystyle \pm {\sqrt {\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}-{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}}},}$

который показывает, что для достаточно больших значений βA ₀ квадратный корень становится квадратным корнем из отрицательного числа, то есть квадратный корень становится мнимым, а положения полюсов являются комплексно сопряженными числами, s ₊ или s _- ; см. рисунок 2:

${\displaystyle s_{\pm }=-\rho \pm j\mu ,}$

с

${\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}\right),}$

и

${\displaystyle \mu ={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}-\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}}}.}$

Используя полярные координаты с величиной радиуса корней, заданной формулой | s | (Фигура 2):

${\displaystyle |s|=|s_{\pm }|={\sqrt {\rho ^{2}+\mu ^{2}}},}$

а угловая координата φ определяется как:

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {\rho }{|s|}},\sin \phi ={\frac {\mu }{|s|}}.}$

Таблицы преобразований Лапласа показывают, что временная характеристика такой системы состоит из комбинаций двух функций:

${\displaystyle e^{-\rho t}\sin(\mu t)\quad {\text{and}}\quad }$ ${\displaystyle e^{-\rho t}\cos(\mu t),}$

иными словами, решения представляют собой затухающие колебания во времени. В частности, ступенчатая характеристика системы составляет: ^[2]

${\displaystyle S(t)=\left({\frac {A_{0}}{1+\beta A_{0}}}\right)\left(1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}\right)\ ,}$

что упрощает

${\displaystyle S(t)=1-e^{-\rho t}\ {\frac {\sin \left(\mu t+\phi \right)}{\sin \phi }}}$

когда A ₀ стремится к бесконечности и коэффициент обратной связи β равен единице.

Обратите внимание, что затухание отклика задается параметром ρ, то есть постоянными времени усилителя без обратной связи. Напротив, частота колебаний задается параметром μ, то есть параметром обратной связи через β A ₀ . Поскольку ρ представляет собой сумму, обратную постоянным времени, интересно отметить, что в ρ преобладает более короткая из двух.

Результаты [ править ]

На рисунке 3 показан временной отклик на вход единичного шага для трех значений параметра μ. Можно видеть, что частота колебаний увеличивается с увеличением μ, но колебания содержатся между двумя асимптотами, задаваемыми экспонентами [1 - exp (−ρt)] и [1 + exp (−ρt)]. Эти асимптоты определяются ρ и, следовательно, постоянными времени усилителя без обратной связи, независимо от обратной связи.

Явление колебания конечного значения называется звонком . Перерегулирование это максимальный размах выше конечного значения, и четко возрастает с увеличением ц. Точно так же провал - это минимальное колебание ниже конечного значения, снова увеличивающееся с увеличением μ. Время установления время для отклонения от конечного значения к раковине ниже некоторого заданного уровня, скажем , 10% от конечного значения.

Зависимость времени установления от μ не очевидна, и приближение двухполюсной системы, вероятно, недостаточно точно, чтобы делать какие-либо реальные выводы о зависимости времени установления от обратной связи. Однако асимптоты [1 - exp (−ρt)] и [1 + exp (−ρt)] явно влияют на время установления, и они контролируются постоянными времени усилителя разомкнутого контура, особенно более коротким из двух значений времени. константы. Это предполагает, что спецификация времени установления должна быть удовлетворена соответствующей конструкцией усилителя с разомкнутым контуром.

Два основных вывода из этого анализа:

1. Обратная связь управляет амплитудой колебаний относительно конечного значения для данного усилителя без обратной связи и заданных значений постоянных времени без обратной связи, τ ₁ и τ ₂ .
2. Усилитель без обратной связи определяет время установления. Он устанавливает шкалу времени, показанную на Рисунке 3, и чем быстрее усилитель без обратной связи, тем быстрее эта шкала времени.

В стороне, можно отметить, что реальные отклонения от этой линейной двухполюсной модели происходят из-за двух основных сложностей: во-первых, реальные усилители имеют более двух полюсов, а также нулей; во-вторых, реальные усилители нелинейны, поэтому их переходная характеристика изменяется в зависимости от амплитуды сигнала.

Контроль перерегулирования [ править ]

Далее обсуждается, как можно контролировать перерегулирование с помощью выбора соответствующих параметров.

Используя приведенные выше уравнения, величину перерегулирования можно определить, дифференцируя переходную характеристику и найдя ее максимальное значение. Результат для максимальной ступенчатой ​​характеристики S _max : ^[3]

${\displaystyle S_{\max }=1+\exp \left(-\pi {\frac {\rho }{\mu }}\right).}$

Конечное значение переходной характеристики равно 1, поэтому экспонента является фактическим перерегулированием. Ясно, что выброс равен нулю, если μ = 0, что является условием:

${\displaystyle {\frac {4\beta A_{0}}{\tau _{1}\tau _{2}}}=\left({\frac {1}{\tau _{1}}}-{\frac {1}{\tau _{2}}}\right)^{2}.}$

Эта квадратичная функция решается для отношения постоянных времени, полагая x = (τ ₁ / τ ₂ ) ^1/2 с результатом

${\displaystyle x={\sqrt {\beta A_{0}}}+{\sqrt {\beta A_{0}+1}}.}$

Поскольку β A ₀ >> 1, 1 в квадратном корне можно отбросить, и результат будет

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=4\beta A_{0}.}$

На словах первая постоянная времени должна быть намного больше второй. Чтобы быть более смелым, чем конструкция, не допускающая перерегулирования, мы можем ввести коэффициент α в указанное выше соотношение:

${\displaystyle {\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}=\alpha \beta A_{0},}$

и пусть α устанавливается величиной допустимого перерегулирования.

Рисунок 4 иллюстрирует процедуру. Сравнение верхней панели (α = 4) с нижней панелью (α = 0,5) показывает, что более низкие значения α увеличивают скорость ответа, но увеличивают выбросы. Случай α = 2 (центральная панель) представляет собой максимально плоский дизайн, который не показывает пиков на графике зависимости усиления Боде от частоты . Это конструкция имеет эмпирическое правило встроенный запас прочности , чтобы иметь дело с неидеальной реальности , как несколькими полюсами (или нулей), нелинейность (амплитуда зависимость сигнала) и производственных вариаций, любой из которых может привести к слишком много перерегулирования. Регулировка расстояния между полюсами (то есть установка α) является предметом частотной компенсации , и одним из таких методов является расщепление полюсов .

Контроль времени установления [ править ]

Амплитуда звона в переходной характеристике на рисунке 3 определяется коэффициентом демпфирования exp (-ρ t). То есть, если мы укажем некоторое допустимое отклонение ступенчатой ​​характеристики от конечного значения, скажем Δ, то есть:

${\displaystyle S(t)\leq 1+\Delta ,}$

это условие выполняется независимо от значения β A _OL при условии, что время больше, чем время установления, скажем t _S , определяемое по формуле: ^[4]

${\displaystyle \Delta =e^{-\rho t_{S}}{\text{ or }}t_{S}={\frac {\ln {\frac {1}{\Delta }}}{\rho }}=\tau _{2}{\frac {2\ln {\frac {1}{\Delta }}}{1+{\frac {\tau _{2}}{\tau _{1}}}}}\approx 2\tau _{2}\ln {\frac {1}{\Delta }},}$

где τ ₁  >> τ ₂ применимо из-за условия управления перерегулированием, которое составляет τ ₁  =  αβA _OL τ ₂ . Часто условие времени установления упоминается, говоря, что период установления обратно пропорционален ширине полосы единичного усиления, потому что 1 / (2π τ ₂ ) близко к этой ширине полосы для усилителя с типичной компенсацией доминирующего полюса . Однако этот результат более точен, чем это практическое правило . В качестве примера этой формулы, если Δ = 1 / e ⁴  = 1,8%, условием времени установления является t _S  = 8 τ ₂ .

В общем, контроль перерегулирования устанавливает коэффициент постоянной времени, а время установления t _S устанавливает τ ₂ . ^{[5] [6] [7]}

Идентификация системы с использованием шаговой реакции: система с двумя реальными полюсами [ править ]

Ступенчатая характеристика системы с . Измерьте значительную точку , и .${\displaystyle x(t)=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle t_{25}}$${\displaystyle t_{75}}$

В этом методе используются важные точки ступенчатой ​​характеристики. Угадывать касательные к мерам Сигнал не нужно. Уравнения выводятся с помощью численного моделирования, определяющего некоторые важные соотношения и подгоночные параметры нелинейных уравнений. Смотрите также. ^[8]

Вот шаги:

• Измерьте переходную характеристику системы с помощью входного ступенчатого сигнала .${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$
• Определите промежутки времени и где ступенчатая характеристика достигает 25% и 75% выходного значения установившегося состояния.${\displaystyle t_{25}}$${\displaystyle t_{75}}$
• Определите установившееся усиление системы с помощью${\displaystyle k=A_{0}}$${\displaystyle k=\lim _{t\rightarrow \infty }{\dfrac {y(t)}{x(t)}}}$
• Рассчитать

${\displaystyle r={\dfrac {t_{25}}{t_{75}}}}$

${\displaystyle P=-18.56075\,r+{\dfrac {0.57311}{r-0.20747}}+4.16423}$

${\displaystyle X=14.2797\,r^{3}-9.3891\,r^{2}+0.25437\,r+1.32148}$

• Определите две постоянные времени

${\displaystyle \tau _{2}=T_{2}={\dfrac {t_{75}-t_{25}}{X\,(1+1/P)}}}$

${\displaystyle \tau _{1}=T_{1}={\dfrac {T_{2}}{P}}}$

• Рассчитайте передаточную функцию идентифицированной системы в пределах области Лапласа.

${\displaystyle G(s)={\dfrac {k}{(1+s\,T_{1})\cdot (1+s\,T_{2})}}}$

Запас фазы [ править ]

Далее, выбор отношения полюсов τ ₁ / τ ₂ связан с запасом по фазе усилителя обратной связи. ^[9] Соблюдается процедура, изложенная в статье о сюжете Боде . На рис. 5 показан график усиления Боде для двухполюсного усилителя в диапазоне частот до второго полюса. В основе рисунка 5 лежит предположение, что частота f _{0 дБ} лежит между нижним полюсом при f ₁  = 1 / (2πτ ₁ ) и вторым полюсом при f ₂  = 1 / (2πτ ₂ ). Как показано на рисунке 5, это условие выполняется для значений α ≥ 1.

Используя рисунок 5, частота (обозначенная f _{0 дБ} ) находится там, где коэффициент усиления контура β A ₀ удовлетворяет условию единичного усиления или 0 дБ, как определено следующим образом:

${\displaystyle |\beta A_{\text{OL}}(f_{\text{0 db}})|=1.}$

Наклон нисходящей ветви графика усиления составляет (20 дБ / декада); для каждого десятикратного увеличения частоты коэффициент усиления падает в тот же раз:

${\displaystyle f_{\text{0 dB}}=\beta A_{0}f_{1}.}$

Запас по фазе - это отклонение фазы при f _{0 дБ} от -180 °. Таким образом, маржа составляет:

${\displaystyle \phi _{m}=180^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{1})-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2}).}$

Поскольку f _{0 дБ} / f ₁ =  βA ₀  >> 1, член в f ₁ равен 90 °. Таким образом, запас по фазе:

${\displaystyle \phi _{m}=90^{\circ }-\arctan(f_{\text{0 dB}}/f_{2})}$

${\displaystyle =90^{\circ }-\arctan {\frac {\beta A_{0}f_{1}}{\alpha \beta A_{0}f_{1}}}}$

${\displaystyle =90^{\circ }-\arctan {\frac {1}{\alpha }}=\arctan \alpha \,.}$

В частности, для случая α = 1 φ _m = 45 °, а для α = 2 φ _m = 63,4 °. Сансен ^[10] рекомендует α = 3, φ _m = 71,6 ° как «хорошее безопасное положение для начала».

Если α увеличивается за счет сокращения τ ₂ , время установления t _S также сокращается. Если α увеличивается за счет удлинения τ ₁ , время установления t _S мало изменяется. Чаще изменяются как τ _{1, так} и τ ₂ , например, если используется метод разделения полюсов .

Кроме того, для усилителя с более чем двумя полюсами диаграмму на рис. 5 можно подогнать под графики Боде, сделав f ₂ подгоночным параметром, называемым положением «эквивалентного второго полюса». ^[11]

См. Также [ править ]

• Импульсивный ответ
• Перебег (сигнал)
• Расщепление полюсов
• Время нарастания
• Время установления
• Постоянная времени

Ссылки и примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Горки Kuo Power Point; Глава 7 особенно