Линейная система

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Линейная система»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории систем , линейная система представляет собой математическую модель из системы , основанной на использовании линейного оператора . Линейные системы обычно обладают функциями и свойствами, которые намного проще, чем в нелинейном случае. В качестве математической абстракции или идеализации линейные системы находят важные приложения в теории автоматического управления , обработке сигналов и телекоммуникациях . Например, среду распространения для систем беспроводной связи часто можно моделировать линейными системами.

Определение [ править ]

Общая детерминированная система может быть описана оператором H , который отображает вход, x ( t ) , как функцию t, в выход, y ( t ) , тип описания черного ящика . Линейные системы удовлетворяют свойству суперпозиции . Учитывая два действительных ввода

${\ Displaystyle x_ {1} (т)}$

${\ Displaystyle x_ {2} (т)}$

а также их соответствующие выходы

${\ displaystyle y_ {1} (t) = H \ left \ {x_ {1} (t) \ right \}}$

${\ Displaystyle у_ {2} (т) = Н \ влево \ {x_ {2} (т) \ вправо \}}$

то линейная система должна удовлетворять

${\ Displaystyle \ альфа y_ {1} (t) + \ beta y_ {2} (t) = H \ left \ {\ alpha x_ {1} (t) + \ beta x_ {2} (t) \ right \ }}$

для любых скалярных значений α и β .

Затем система определяется уравнением H ( x ( t )) = y ( t ) , где y ( t ) - некоторая произвольная функция времени, а x ( t ) - состояние системы. Учитывая y ( t ) и H , система может быть решена относительно x ( t ) . Например, простой гармонический осциллятор подчиняется дифференциальному уравнению:

${\ Displaystyle м {\ гидроразрыва {d ^ {2} (x)} {dt ^ {2}}} = - kx}$.

Если

${\ Displaystyle Н (х (т)) = м {\ гидроразрыва {d ^ {2} (х (т))} {dt ^ {2}}} + kx (t)}$,

тогда H - линейный оператор. Положив y ( t ) = 0 , мы можем переписать дифференциальное уравнение в виде H ( x ( t )) = y ( t ) , что показывает, что простой гармонический осциллятор является линейной системой.

Поведение результирующей системы, подвергающейся сложному входу, можно описать как сумму ответов на более простые входные данные. В нелинейных системах такой связи нет. Это математическое свойство делает решение уравнений моделирования проще, чем решение многих нелинейных систем. Для систем, не зависящих от времени, это основа импульсной характеристики или методов частотной характеристики (см. Теорию систем LTI ), которые описывают общую входную функцию x ( t ) в терминах единичных импульсов или частотных компонентов .

Типичные дифференциальные уравнения линейных систем, не зависящих от времени , хорошо адаптированы для анализа с использованием преобразования Лапласа в непрерывном случае и Z-преобразования в дискретном случае (особенно в компьютерных реализациях).

Другая перспектива состоит в том, что решения линейных систем содержат систему функций, которые действуют как векторы в геометрическом смысле.

Обычно линейные модели используются для описания нелинейных систем с помощью линеаризации . Обычно это делается для математического удобства.

Изменяющаяся во времени импульсная характеристика [ править ]

Изменяющихся во времени импульсной характеристикой ч ( т ₂ , т ₁ ) линейной системы определяется как отклик системы в момент времени т = т ₂ до одного импульса применяется в момент времени T = T ₁ . Другими словами, если вход x ( t ) в линейную систему равен

${\displaystyle x(t)=\delta (t-t_{1})}$

где δ ( t ) представляет дельта-функцию Дирака , а соответствующий отклик y ( t ) системы равен

${\displaystyle y(t)|_{t=t_{2}}=h(t_{2},t_{1})}$

тогда функция h ( t ₂ , t ₁ ) является изменяющейся во времени импульсной характеристикой системы. Поскольку система не может ответить до того, как будут применены входные данные, должно быть выполнено следующее условие причинности :

${\displaystyle h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}}$

Интеграл свертки [ править ]

Выход любой общей линейной системы с непрерывным временем связан с входом интегралом, который может быть записан в дважды бесконечном диапазоне из-за условия причинности:

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'}$

Если свойства системы не зависят от времени, в которое она работает, то говорят, что она инвариантна во времени, а h является функцией только разницы во времени τ = t - t ', которая равна нулю при τ <0 ( а именно t < t ' ). Путем переопределения h можно записать эквивалентное отношение ввода-вывода любым из способов:

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau }$

Линейные неизменяющиеся во времени системы обычно характеризуются преобразованием Лапласа функции импульсного отклика, называемой передаточной функцией, которая:

${\displaystyle H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.}$

В приложениях это обычно рациональная алгебраическая функция от s . Поскольку h ( t ) равно нулю при отрицательном t , интеграл также может быть записан в дважды бесконечном диапазоне, а при положении s = iω следует формула для функции частотной характеристики :

${\displaystyle H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt}$

Системы с дискретным временем [ править ]

Выход любой линейной системы с дискретным временем связан с входом изменяющейся во времени сверточной суммой:

${\displaystyle y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}}$

или эквивалентно для инвариантной во времени системы при переопределении h (),

${\displaystyle y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}}$

куда

${\displaystyle k=n-m\,}$

представляет собой время задержки между стимулом в момент времени m и ответом во время n .

См. Также [ править ]

• Линейная система дивизоров в алгебраической геометрии
• Система инварианта сдвига
• Линейная инвариантная во времени система
• Нелинейная система
• Системный анализ
• Система линейных уравнений

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]