Линейная система делителей

Линейная система делителей algebraicizes классического геометрического понятия семейства кривых , как и в Окружности Аполлония .

В алгебраической геометрии , А линейная система делителей является алгебраическим обобщением геометрического понятия семейства кривых ; размерность линейной системы соответствует количеству параметров семейства.

Они возникли сначала в виде линейной системы на алгебраических кривых в проективной плоскости . Это предполагается более общую форму, путем постепенного обобщения, чтобы можно было говорить о линейной эквивалентности из делителей D на общей схеме или даже кольчатых пространства ( X , О _Х ). ^[1]

Линейные системы размерности 1, 2 или 3 называются карандашом , сеткой или тканью соответственно.

Карта, определяемая линейной системой, иногда называется картой Кодаира .

Определение [ править ]

Учитывая фундаментальную идею о рациональной функции на общее разнообразие , или в других словах функции в поле функции из , , делителей являются линейно эквивалентными делителями если${\ displaystyle X}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle е \ в к (Х)}$${\ displaystyle D, E \ in {\ text {Div}} (X)}$

${\ Displaystyle D = Е + (е) \}$

где обозначает делитель нулей и полюсов функции .${\ displaystyle (f)}$${\ displaystyle f}$

Заметим , что если имеет особые точки , «делителем» по своей сути неоднозначным ( дивизоры , Weil делители : см делителем (алгебраическая геометрия) ). Определение в этом случае обычно произносится с большей осторожностью (с использованием обратимых пучков или голоморфных линейных расслоений ); Смотри ниже.${\ displaystyle X}$

Полная линейная система на определяются как множество всех эффективных дивизоров , линейно эквивалентных некоторые заданный делитель . Обозначается . Позвольте быть линейным пучком, связанным с . В случае, когда это неособое проективное многообразие, множество находится в естественной биекции с ^{[2] [ требуется дальнейшее объяснение ]} и, следовательно, является проективным пространством.${\ displaystyle X}$${\ displaystyle D \ in {\ text {Div}} (X)}$${\ displaystyle | D |}$${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle | D |}$${\displaystyle (\Gamma (X,{\mathcal {L}})\smallsetminus \{0\})/k^{\ast },}$

Линейная система является тогда проективным подпространством полной линейной системы, так что она соответствует вектору подпространство W из размерности линейной системы является ее размерностью как проективное пространство. Следовательно .${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}}).}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle \dim {\mathfrak {d}}=\dim W-1}$

Поскольку класс дивизоров Картье является классом изоморфизма линейного расслоения, линейные системы также могут быть введены с помощью языка линейных расслоений или обратимого пучка , вообще без ссылки на дивизоры. В этих терминах дивизоры ( точнее , дивизоры Картье ) соответствуют линейным расслоениям, а линейная эквивалентность двух дивизоров означает, что соответствующие линейные расслоения изоморфны.${\displaystyle D}$

Примеры [ править ]

Линейная эквивалентность [ править ]

Рассмотрим линейное расслоение, на сечениях которого определены квадратичные поверхности. Для ассоциированного дивизора он линейно эквивалентен любому другому дивизору, определяемому множеством исчезающих значений некоторого с помощью рациональной функции ^[2] (предложение 7.2). Например, дивизор, ассоциированный с исчезающим множеством множества , линейно эквивалентен дивизору, ассоциированному с исчезающим множеством . Тогда имеется эквивалентность дивизоров${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$${\displaystyle s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle D_{s}=Z(s)}$${\displaystyle t\in \Gamma (\mathbb {P} ^{3},{\mathcal {O}}(2))}$${\displaystyle \left(t/s\right)}$${\displaystyle D}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle xy}$

${\displaystyle D=E+\left({\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}}{xy}}\right)}$

Линейные системы на кривых [ править ]

Одна из важных полных линейных систем на алгебраической кривой рода дается полной линейной системой, связанной с каноническим дивизором , обозначенным . Это определение следует из предложения II.7.7 Хартсхорна ^[2], так как каждый эффективный дивизор в линейной системе происходит из нулей некоторого сечения .${\displaystyle C}$${\displaystyle g}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |K|=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$${\displaystyle \omega _{C}}$

Гиперэллиптические кривые [ править ]

Одно приложение линейных систем используется при классификации алгебраических кривых. Гиперэллиптическая кривая представляет собой кривую с конечной степени морфизма . ^[2] В этом случае все кривые гиперэллиптичны: тогда теорема Римана – Роха дает степень is и , следовательно, существует отображение степени в .${\displaystyle C}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle g=2}$${\displaystyle K_{C}}$${\displaystyle 2g-2=2}$${\displaystyle h^{0}(K_{C})=2}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}=\mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}))}$

g _r ^d [ править ]

A - линейная система на кривой, имеющей степень и размер . Например, гиперэллиптические кривые имеют так как определяет единицу. На самом деле гиперэллиптические кривые имеют единственное ^[2] из предложения 5.3. Другой близкий набор примеров - это кривые с символом a, которые называются тригональными кривыми . На самом деле, любая кривая имеет FOR . ^[3]${\displaystyle g_{d}^{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle d}$${\displaystyle r}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle |K_{C}|}$${\displaystyle g_{2}^{1}}$${\displaystyle g_{3}^{1}}$${\displaystyle g_{d}^{1}}$${\displaystyle d\geq (1/2)g+1}$

Линейные системы гиперповерхностей в ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$[ править ]

Считайте, что линейный пучок закончился . Если взять глобальные сечения , то можно взять его проективизацию . Это изоморфно тому, где${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle V=\Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}}$

${\displaystyle N={\binom {n+d}{n}}-1}$

Затем, используя любое вложение, мы можем построить линейную систему размерностей .${\displaystyle \mathbb {P} ^{k}\to \mathbb {P} ^{N}}$${\displaystyle k}$

Линейная система коников [ править ]

Другие примеры [ править ]

Теорема Кэли – Бахараха - это свойство пучка кубик, которое утверждает, что базовое множество удовлетворяет свойству «8 влечет за собой 9»: любая кубика, содержащая 8 точек, обязательно содержит 9-ю.

Линейные системы в бирациональной геометрии [ править ]

В целом линейные системы стали основным инструментом бирациональной геометрии, практикуемой итальянской школой алгебраической геометрии . Технические требования стали довольно жесткими; более поздние события прояснили ряд вопросов. Вычисление соответствующих размерностей - проблему Римана – Роха, как ее можно назвать - можно лучше сформулировать в терминах гомологической алгебры . Результатом работы с многообразиями с особыми точками является выявление различия между дивизорами Вейля (в свободной абелевой группе, порожденной подмногообразиями коразмерности один) и дивизорами Картье, происходящими из секций обратимых пучков .

Итальянская школа любила сводить геометрию алгебраической поверхности к геометрии линейных систем, вырезанных поверхностями в трех пространствах; Зариски написал свою знаменитую книгу « Алгебраические поверхности», чтобы попытаться объединить методы, включающие линейные системы с фиксированными базовыми точками . Был спор, один из заключительных вопросов в конфликте между «старыми» и «новых» точек зрения в алгебраической геометрии над Анри Пуанкаре «s характерной линейной системы алгебраических семейства кривых на алгебраической поверхности.

Базовый локус [ править ]

Базисное множество линейной системы делителей на различном относится к подмногообразию точек «общее» для всех делителей в линейной системе. Геометрически это соответствует общему пересечению разновидностей. Линейные системы могут иметь базовое геометрическое место, а могут и не иметь - например, пучок аффинных прямых не имеет общего пересечения, но при наличии двух (невырожденных) коник в комплексной проективной плоскости они пересекаются в четырех точках (считая с кратностью) и, следовательно, карандаш, который они определяют, имеет эти точки как базовое геометрическое место.${\displaystyle x=a}$

Точнее, предположим, что это полная линейная система дивизоров на некотором многообразии . Рассмотрим пересечение${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|):=\bigcap _{D_{\text{eff}}\in |D|}\operatorname {Supp} D_{\text{eff}}\ }$

где обозначает носитель дивизора, а пересечение берется по всем эффективным дивизорам линейной системы. Это базисное множество из (в виде набора, по меньшей мере: может быть более тонким схемным соображение относительно того , что структурный пучок из должен быть).${\displaystyle \operatorname {Supp} }$${\displaystyle D_{\text{eff}}}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle \operatorname {Bl} }$

Одно из применений понятия базового многоугольника - это определение класса дивизоров Картье (то есть полной линейной системы). Предположим, есть такой класс на многообразии , а на многообразии - неприводимая кривая . Если не содержится в базовом локусе , тогда в классе существует некоторый делитель, который не содержит , и поэтому пересекает его должным образом. Тогда основные факты из теории пересечений говорят нам, что мы должны были иметь . Вывод состоит в том, что для проверки нефтеносности класса делителей достаточно вычислить число пересечений с кривыми, содержащимися в базовом множестве класса. Итак, грубо говоря, чем «меньше» базовый локус, тем «более вероятно», что класс будет nef.${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|}$${\displaystyle {\tilde {D}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle |D|\cdot C\geq 0}$

В современной формулировке алгебраической геометрии полная линейная система дивизоров (Картье) на многообразии рассматривается как линейное расслоение на . С этой точки зрения базовое геометрическое место - это совокупность общих нулей всех секций . Простое следствие состоит в том, что пучок генерируется глобально тогда и только тогда, когда базовый локус пуст.${\displaystyle |D|}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Bl} (|D|)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(D)}$

Понятие базового множества по-прежнему имеет смысл и для неполной линейной системы: базовое множество в нем по-прежнему является пересечением носителей всех эффективных дивизоров в системе.

Пример [ править ]

Рассмотрим пучок Лефшеца , образованный двумя общими сечениями , заданными схемой${\displaystyle p:{\mathfrak {X}}\to \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle f,g\in \Gamma (\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {X}}={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)}$

У этого есть связанная линейная система делителей, так как каждый многочлен для фиксированного является делителем в . Тогда базисное множество этой системы дивизоров - это схема, заданная множеством исчезающих элементов , поэтому${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]\in \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f,g}$

${\displaystyle {\text{Bl}}({\mathfrak {X}})={\text{Proj}}\left({\frac {k[s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f,g)}}\right)}$

Карта, определяемая линейной системой [ править ]

Каждая линейная система на алгебраическом многообразии определяет морфизм из дополнения базового множества в проективное пространство размерности системы следующим образом. (В некотором смысле верно и обратное; см. Раздел ниже)

Пусть L - линейное расслоение на алгебраическом многообразии X и конечномерном векторном подпространстве. Для ясности сначала рассмотрим случай, когда V не имеет базовых точек; другими словами, естественное отображение сюръективно (здесь k = базовое поле). Или, что то же самое, сюръективно. Следовательно, записывая тривиальное векторное расслоение и передавая сюръекцию относительному Proj , мы получаем замкнутое погружение :${\displaystyle V\subset \Gamma (X,L)}$${\displaystyle V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X}\to L}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle V_{X}=V\times X}$

${\displaystyle i:X\hookrightarrow \mathbb {P} (V_{X}^{*}\otimes L)\simeq \mathbb {P} (V_{X}^{*})=\mathbb {P} (V^{*})\times X}$

где справа - инвариантность проективного расслоения относительно скрутки линейным расслоением. Следуя проекции за i , получаем карту: ^[4]${\displaystyle \simeq }$

${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Когда базовое множество V не пусто, вышеупомянутое обсуждение все еще продолжается с заменой в прямой сумме пучком идеалов, определяющим базовое множество, и заменой X на его раздутие вдоль (теоретико-схемного) базового множества B . Точно, как и выше, существует сюръекция, где идеальный пучок B, и которая дает начало ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$${\displaystyle \operatorname {Sym} ((V\otimes _{k}{\mathcal {O}}_{X})\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}L^{-1})\to \bigoplus _{n=0}^{\infty }{\mathcal {I}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

${\displaystyle i:{\widetilde {X}}\hookrightarrow \mathbb {P} (V^{*})\times X.}$

Поскольку открытое подмножество , результаты на карте:${\displaystyle X-B\simeq }$${\displaystyle {\widetilde {X}}}$

${\displaystyle f:X-B\to \mathbb {P} (V^{*}).}$

Наконец, когда выбирается базис V , приведенное выше обсуждение становится более приземленным (и это стиль, используемый в Хартсхорне, алгебраической геометрии).

Линейная система, определяемая отображением в проективное пространство [ править ]

Каждый морфизм алгебраического многообразия в проективное пространство определяет линейную систему без базовых точек на многообразии; из-за этого линейная система без базовых точек и карта проективного пространства часто используются как взаимозаменяемые.

Для замкнутого погружения алгебраических многообразий есть прообраз линейной системы на к , определяется как ^[2] (стр 158).${\displaystyle f:Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {d}})=\{f^{-1}(D)|D\in {\mathfrak {d}}\}}$

O (1) на проективном многообразии [ править ]

Проективное многообразие, вложенное в, имеет каноническую линейную систему, определяющую отображение в проективное пространство из . Это отправляет точку в соответствующую точку .${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)={\mathcal {O}}_{X}\otimes _{{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}}{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{r}}(1)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{r}]\in \mathbb {P} ^{r}}$

См. Также [ править ]

• Теория Брилла – Нётер
• Карандаш Лефшеца
• связка основных частей

Ссылки [ править ]