Аполлонические круги

Некоторые аполлонические круги. Каждый синий круг пересекает каждый красный круг под прямым углом. Каждый красный кружок проходит через две точки C и D , а каждый синий кружок разделяет эти две точки.

Аполлоновские круги - это два семейства кругов, такие, что каждый круг в первом семействе пересекает каждый круг во втором семействе ортогонально , и наоборот. Эти круги составляют основу биполярных координат . Их открыл Аполлоний Пергский , известный греческий геометр .

Определение [ править ]

Аполлоновские круги определяются двумя разными способами отрезком, обозначенным CD .

Каждый круг в первом семействе (синие круги на рисунке) связан с положительным действительным числом r и определяется как геометрическое место точек X, такое, что отношение расстояний от X до C и до D равно r ,

${\ displaystyle \ left \ {X \ mid {\ frac {d (X, C)} {d (X, D)}} = r \ right \}.}$

Для значений r, близких к нулю, соответствующая окружность близка к C , а для значений r, близких к ∞, соответствующая окружность близка к D ; для промежуточного значения r  = 1 окружность вырождается в прямую, серединный перпендикуляр к CD . Уравнение, определяющее эти окружности как геометрическое место, можно обобщить для определения окружностей Ферма – Аполлониуса больших наборов взвешенных точек.

Каждая окружность во втором семействе (красные кружки на рисунке) связана с углом θ и определяется как геометрическое место точек X таких, что вписанный угол CXD равен θ ,

${\ displaystyle \ left \ {X \ mid \; C {\ hat {X}} D \; = \ theta \ right \}.}$

Сканирование & thetas от 0 до П порождает множество всех окружностей , проходящих через две точки C и D .

Две точки, где пересекаются все красные кружки, являются ограничивающими точками пар окружностей синего семейства.

Биполярные координаты [ править ]

Данный синий круг и данный красный круг пересекаются в двух точках. Чтобы получить биполярные координаты , требуется метод, указывающий, какая точка является правильной. Изоптическая дуга - это геометрическое место точек X, которое видит точки C и D под заданным ориентированным углом векторов, т. Е.

${\ displaystyle \ operatorname {isopt} (\ theta) = \ {X \ mid \ angle ({\ overrightarrow {XC}}, {\ overrightarrow {XD}}) = \ theta + 2k \ pi \}.}$

Такая дуга содержится в красный круг и ограничена точками C и D . Оставшаяся часть соответствующего красного кружка - это . Когда нам действительно нужен весь красный круг, необходимо использовать описание с использованием ориентированных углов прямых линий.${\ Displaystyle \ OperatorName {isopt} (\ theta + \ pi)}$

${\displaystyle {\rm {full\;red\;circle}}=\{X\mid \angle ({\overrightarrow {XC}},{\overrightarrow {XD}})=\theta +k\pi \}}$

Карандаши кругов [ править ]

Оба семейства аполлонических кругов представляют собой пучки окружностей . Каждый определяется любыми двумя его членами, называемыми образующими карандаша. В частности, один из них представляет собой эллиптический пучок (красное семейство кругов на рисунке), который определяется двумя образующими, которые проходят друг через друга ровно в двух точках ( C и D ). Другой - гиперболический пучок (синее семейство кругов на рисунке), который определяется двумя образующими, которые не пересекаются друг с другом ни в одной точке. ^[1]

Радикальная ось и центральная линия [ править ]

Любые два из этих кругов в карандаше имеют одну и ту же радикальную ось , а все круги в карандаше имеют коллинеарные центры. Любые три или более окружностей из одного семейства называются коаксиальными окружностями или коаксиальными окружностями . ^[2]

Эллиптический пучок окружностей, проходящих через две точки C и D (набор красных кружков на рисунке), имеет прямую CD в качестве своей радикальной оси. Центры окружностей этого пучка лежат на серединном перпендикуляре к CD . Гиперболический пучок, определяемый точками C и D (синие кружки), имеет радикальную ось на серединном перпендикуляре к прямой CD , а все его окружности с центрами на прямой CD .

Инверсная геометрия, ортогональные пересечения и системы координат [ править ]

Инверсия кругов преобразует плоскость таким образом, что круги превращаются в круги, а пучки кругов - в пучки кругов. Тип пучка сохраняется: обращение эллиптического пучка - это другой эллиптический пучок, обращение гиперболического пучка - это еще один гиперболический пучок, а обращение параболического пучка - это еще один параболический пучок.

Относительно легко показать с помощью инверсии, что в аполлонических кругах каждый синий круг пересекает каждый красный круг ортогонально, то есть под прямым углом . Инверсия синей Окружности Аполлония по отношению к окружности с центром на точку С результатами в пучке концентрических окружностей с центром в точке образа D . Же инверсия превращает красные круги в набор прямых линий , которые содержат изображение D . Таким образом, эта инверсия преобразует биполярную систему координат, определяемую аполлоновскими кругами, в полярную систему координат . Очевидно, преобразованные карандаши пересекаются под прямым углом. Поскольку инверсия - это конформное преобразование, он сохраняет углы между кривыми, которые он преобразовывает, поэтому исходные аполлонические окружности также пересекаются под прямым углом.

В качестве альтернативы ^[3] свойство ортогональности двух пучков следует из определяющего свойства радикальной оси, что из любой точки X на радикальной оси пучка P длины касательных от X к каждой окружности в P равны . Отсюда следует, что окружность с центром в X и длиной, равной этим касательным, пересекает все окружности P перпендикулярно. Же конструкция может быть применена для каждого X на радикальной оси P , образуя другой пучок окружностей перпендикулярно P .

В более общем смысле, для каждого пучка кругов существует единственный пучок, состоящий из кругов, перпендикулярных первому пучку. Если один карандаш эллиптический, то его перпендикулярный пучок гиперболический, и наоборот; в этом случае два карандаша образуют набор аполлонических кругов. Пучок окружностей, перпендикулярных параболическому карандашу, тоже параболический; он состоит из окружностей, имеющих одну и ту же общую точку касания, но с перпендикулярной касательной в этой точке. ^[4]

Физика [ править ]

Было показано, что аполлонические траектории следуют в своем движении ядрами вихрей или другими определенными состояниями в некоторых физических системах, включающих интерференционные или связанные поля, такие как фотонные или связанные поляритонные волны. ^[5] Траектории возникают в результате гомеоморфного отображения между вращением Раби полной волновой функции на сфере Блоха и аполлоновскими окружностями в реальном пространстве, где производится наблюдение.

См. Также [ править ]

• Аполлоний Пергский
• Греческая математика

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Акопян А.В. Заславский А.А. (2007), Геометрия коник , Mathematical World, 26 , Американское математическое общество , стр. 57–62, ISBN 978-0-8218-4323-9.
• Pfeifer, Richard E .; Ван крюк, Кэтлин (1993), "Круги, векторы, и линейная алгебра", Математика Журнал , 66 (2): 75-86, DOI : 10,2307 / 2691113 , JSTOR  2691113.
• Швердтфегер, Ханс (1979), Геометрия комплексных чисел: геометрия круга, преобразование Мебиуса, неевклидова геометрия , Довер, стр. 8–10..
• Самуэль, Пьер (1988), Проективная геометрия , Springer, стр. 40–43..
• Огилви, К. Стэнли (1990), Экскурсии по геометрии , Дувр, ISBN 0-486-26530-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Коаксальные круги" . MathWorld .
• Дэвид Б. Суровски: Высшая математика средней школы . п. 31 год