В геометрии предельные точки двух непересекающихся окружностей A и B на евклидовой плоскости - это точки p, которые могут быть определены любым из следующих эквивалентных свойств:
- Пучок окружностей , определенных A и B содержит вырожденный (нулевой радиус) окружность с центром в точке р . [1]
- Каждый круг или линия, перпендикулярные как A, так и B, проходят через p . [2]
- Инверсии с центром в точке р трансформирует A и B в концентрические круги. [3]
Середина два предельных точек является точкой , где радикальная ось из A и B пересекает линию через их центры. Эта точка пересечения имеет равное расстояние силы для всех кругов в пучке , содержащий A и B . Сами ограничивающие точки могут быть найдены на этом расстоянии по обе стороны от точки пересечения, на линии, проходящей через центры двух окружностей. Исходя из этого факта, легко построить предельные точки алгебраически или с помощью циркуля и линейки . [4] Явная формула, выражающая предельные точки как решение квадратного уравнения относительно координат центров окружностей и их радиусов, дана Вайсштейном. [5]
Инвертирование одной из двух ограничивающих точек через A или B дает другую ограничивающую точку. Инверсия с центром в одной предельной точке отображает другую предельную точку в общий центр концентрических окружностей. [6]
Рекомендации
- ^ Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1916), Трактат о круге и сфере , Oxford Clarendon Press, стр. 97.
- ^ Это следует из определения пучка вместе с тем фактом, что каждый пучок имеет единственный ортогональный пучок; видеть Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр, Следствие, стр. 31.
- ^ Schwerdtfeger (1979) , пример 2, стр. 32.
- ^ Джонстон, Джон К. (1993), "Новый алгоритм пересечения для Дюпена и прокатились поверхностями с использованием разложения круга" (PDF) , Computer Aided Design Геометрической , 10 (1): 1-24, DOI : 10.1016 / 0167-8396 (93 ) 90049-9 , Руководство по ремонту 1202965.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Предел» . MathWorld .
- ^ Годфри, C .; Сиддонс, А.В. (1908), Современная геометрия , University Press, Ex. 473, стр. 109, ПР 6525169М.