| Геометрия |
|---|
 |
| Геометры |
Конструкция линейки и циркуля , также известная как конструкция линейки и компаса или классическая конструкция , представляет собой построение длин, углов и других геометрических фигур с использованием только идеализированной линейки и пары циркуля .
Предполагается, что идеализированная линейка, известная как линейка , имеет бесконечную длину, имеет только одну кромку и никаких отметок на ней. Предполагается, что у компаса нет максимального или минимального радиуса, и предполагается, что компас "схлопывается" при поднятии со страницы, поэтому его нельзя напрямую использовать для переноса расстояний. (Это неважное ограничение, поскольку при использовании многошаговой процедуры расстояние может быть передано даже при сворачивающемся компасе; см. Теорему об эквивалентности компаса . Однако обратите внимание, что, пока не сворачивающийся компас, удерживаемый линейкой, может показаться эквивалентным разметке это, конструкция neusis по-прежнему недопустима, и это то, что на самом деле означает немаркированный: см. Маркированные линейкиниже.) Формально единственными допустимыми конструкциями являются те, которые предоставляются первыми тремя постулатами Евклида .
Оказывается, что каждая точка, которую можно построить с помощью линейки и компаса, также может быть построена с использованием одного компаса.
В древнегреческих математиков первой задуманы циркулем и линейкой конструкций, а также ряд древних проблем в плане геометрии накладывают это ограничение. Древние греки разработали множество построек, но в некоторых случаях не смогли этого сделать. Гаусс показал, что некоторые полигоны можно построить, но большинство - нет. Некоторые из самых известных задач линейки и компаса были доказаны Пьером Ванцелем в 1837 году, используя математическую теорию полей .
Несмотря на существующие доказательства невозможности , некоторые упорно пытаются решить эти проблемы. [1] Многие из этих проблем легко решаются при условии, что разрешены другие геометрические преобразования: например, удвоение куба возможно с использованием геометрических конструкций, но невозможно с использованием только линейки и циркуля.
С точки зрения алгебры , длина конструктивна тогда и только тогда, когда она представляет собой конструктивное число , а угол конструктивен тогда и только тогда, когда его косинус является конструктивным числом. Число можно построить тогда и только тогда, когда оно может быть записано с использованием четырех основных арифметических операций и извлечения квадратных корней, но не корней высшего порядка.
Инструменты линейки и циркуля [ править ]
«Линейка» и «циркуль» в конструкциях линейки и циркуля - это идеализации линейок и циркулей в реальном мире:
- Стрэйтэдж бесконечно долго, но это не имеет маркировки на ней и имеет только один прямой край, в отличие от обычных правителей. Его можно использовать только для рисования отрезка между двумя точками или для расширения существующего отрезка.
- Компас можно открыть сколь угодно широко, но ( в отличие от некоторых реальных компасы ) не имеет никаких опознавательных знаков на нем. Круги можно рисовать только из двух заданных точек: центра и точки на окружности. Компас может или не может сломаться, когда он не рисует круг.
Настоящие компасы не разрушаются, и современные геометрические конструкции часто используют эту функцию. «Коллапсирующий компас» может показаться менее мощным инструментом. Однако, согласно теореме эквивалентности компаса из предложения 2 Книги 1 Элементов Евклида , никакая сила не теряется при использовании коллапсирующего компаса. Хотя утверждение верно, его доказательства имеют долгую и неоднозначную историю. [2]
Каждая конструкция должна быть точной . «Наблюдать» за ней (по сути, смотреть на конструкцию и угадывать ее точность или использовать какую-либо форму измерения, например, единицы измерения на линейке) и приближение не считается решением.
Каждое строительство должно прекращаться . То есть он должен иметь конечное число шагов, а не быть пределом все более близких приближений.
Таким образом, конструкции линейки и циркуля кажутся скорее кабинетной игрой , чем серьезной практической проблемой; но цель ограничения состоит в том, чтобы гарантировать, что конструкции могут быть доказаны в точности правильными.
История [ править ]
В древнегреческих математиков первой попытки циркулем и линейкой конструкций, и они обнаружили , как построить суммы, различия, продукты, отношения, и квадратные корни заданной длины. [3] : с. 1 Они также могут построить половину заданного угла , квадрат, площадь которого в два раза больше, чем у другого квадрата, квадрат, имеющий такую же площадь, что и данный многоугольник, и правильный многоугольник с 3, 4 или 5 сторонами [3] : p . xi (или один, у которого число сторон в два раза больше, чем у данного многоугольника [3] : стр. 49–50). Но они не могли построить одну треть заданного угла, за исключением особых случаев, или квадрат с той же площадью, что и данный круг, или правильный многоугольник с другим числом сторон. [3] : с. xi Также они не могли построить сторону куба, объем которой был бы вдвое больше объема куба с данной стороной. [3] : с. 29
Гиппократ и Менахм показали, что объем куба можно увеличить вдвое, найдя пересечения гипербол и парабол , но их нельзя построить с помощью линейки и компаса. [3] : с. 30 В пятом веке до н.э., Хиппиас использовал кривой , что он назвал quadratrix к обеим общим делить на три равные части углом и площади кругом, и Никомедом во втором веке до н.э. показал , как использовать конхоиду , чтобы делить на три равные части произвольного угла; [3] : с. 37, но этим методам также нельзя следовать, используя только линейку и циркуль.
Никакого прогресса в решении нерешенных проблем не было достигнуто в течение двух тысячелетий, пока в 1796 году Гаусс не показал, что можно построить правильный многоугольник с 17 сторонами; пять лет спустя он показал достаточный критерий построения правильного многоугольника из n сторон. [3] : стр. 51 и сл.
В 1837 году Пьер Ванцель опубликовал доказательство невозможности разрезания произвольного угла на три части или удвоения объема куба [4], основанное на невозможности построения кубических корней длин. Он также показал, что достаточное условие конструктивности Гаусса для правильных многоугольников также необходимо. [5]
Затем в 1882 году Линдеманн показал, что это трансцендентное число , и поэтому с помощью линейки и циркуля невозможно построить квадрат с той же площадью, что и данный круг. [3] : с. 47
Основные конструкции [ править ]
Все построения линейки и циркуля состоят из многократного применения пяти основных построений с использованием точек, линий и окружностей, которые уже были построены. Это:
- Создание линии через две существующие точки
- Создание круга через одну точку с центром в другой точке
- Создание точки, которая является пересечением двух существующих непараллельных линий
- Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются)
- Создание одной или двух точек на пересечении двух окружностей (если они пересекаются).
Например, начав всего с двух разных точек, мы можем создать линию или любой из двух кругов (в свою очередь, используя каждую точку как центр и проходя через другую точку). Если мы нарисуем оба круга, на их пересечении будут созданы две новые точки. Проведение линий между двумя исходными точками и одной из этих новых точек завершает построение равностороннего треугольника.
Следовательно, в любой геометрической задаче у нас есть исходный набор символов (точек и линий), алгоритм и некоторые результаты. С этой точки зрения геометрия эквивалентна аксиоматической алгебре , в которой элементы заменяются символами. Вероятно, Гаусс первым понял это и использовал это, чтобы доказать невозможность некоторых построений; только намного позже Гильберт нашел полный набор аксиом геометрии .
Часто используемые линейки и компасные конструкции [ править ]
К наиболее часто используемым конструкциям линейки и компаса относятся:
- Построение серединного перпендикуляра из отрезка
- Нахождение середины отрезка.
- Проведение перпендикулярной линии от точки к прямой.
- Деление угла пополам
- Зеркальное отображение точки на линии
- Построение прямой через точку, касательную к окружности
- Построение круга через 3 неколлинеарные точки
- Проведение линии через заданную точку параллельно заданной линии.
Конструируемые точки и длины [ править ]
| Конструкции линейки и циркуля, соответствующие алгебраическим операциям | ||
|---|---|---|
x = a · b (теорема о перехвате) | x = a / b (теорема о перехвате) | x = √ a (теорема Пифагора) |
Многое из того, что может быть построена покрыта в теореме перехватывают по Фалеса .
Мы могли бы связать алгебру с нашей геометрией, используя декартову систему координат, состоящую из двух линий, и представлять точки нашей плоскости векторами . Наконец, мы можем записать эти векторы в виде комплексных чисел.
Используя уравнения для прямых и окружностей, можно показать, что точки, в которых они пересекаются, лежат в квадратичном расширении наименьшего поля F, содержащего две точки на прямой, центр окружности и радиус окружности. То есть, они имеют вид х + у √ к , где х , у , и к находятся в F .
Поскольку поле конструктивных точек замкнуто относительно квадратных корней , оно содержит все точки, которые могут быть получены конечной последовательностью квадратичных расширений поля комплексных чисел с рациональными коэффициентами. С помощью вышеприведенного абзаца можно показать, что любая конструктивная точка может быть получена такой последовательностью расширений. Как следствие этого, каждый обнаруживает, что степень минимального многочлена для конструктивной точки (и, следовательно, любой конструктивной длины) является степенью 2. В частности, любая конструктивная точка (или длина) является алгебраическим числом , хотя и не каждое алгебраическое число конструктивно; например, 3 √ 2 является алгебраическим, но не конструктивным. [4]
Конструируемые углы [ править ]
Существует взаимно однозначное соответствие между конструируемыми углами и конструируемыми точками на любой конструируемой окружности. Углы, которые можно построить, образуют абелеву группу при сложении по модулю 2π (что соответствует умножению точек на единичной окружности, рассматриваемой как комплексные числа). Конструируемые углы - это именно те углы, тангенс которых (или, что то же самое, синус или косинус) можно построить как число. Например, правильный семиугольник ( правильный семнадцатигранный многоугольник ) можно построить, потому что
как открыл Гаусс . [6]
Группа конструктивных углов замыкается операцией деления углов пополам (что соответствует извлечению квадратного корня из комплексных чисел). Единственные углы конечного порядка, которые могут быть построены, начиная с двух точек, - это углы, порядок которых является либо степенью двойки, либо произведением степени двойки и набора различных простых чисел Ферма . Вдобавок существует плотный набор конструктивных углов бесконечного порядка.
Конструкции линейки и циркуля как сложная арифметика [ править ]
Для данного набора точек на евклидовой плоскости выбор любой из них для обозначения 0, а другой для обозначения 1 вместе с произвольным выбором ориентации позволяет нам рассматривать точки как набор комплексных чисел .
При любой такой интерпретации набора точек как комплексных чисел, точки, которые можно построить с использованием только правильных построений линейки и компаса, являются в точности элементами наименьшего поля, содержащего исходный набор точек и закрытого при выполнении операций комплексного сопряжения и извлечения квадратного корня (во избежание неоднозначность, мы можем указать квадратный корень с комплексным аргументом меньше π). Элементы этого поля - это именно те элементы, которые могут быть выражены в виде формулы в исходных точках, используя только операции сложения , вычитания , умножения , деления , комплексного сопряжения иквадратный корень , который, как легко видеть, является счетным плотным подмножеством плоскости. Каждая из этих шести операций соответствует простой конструкции линейки и циркуля. По такой формуле легко произвести построение соответствующей точки, комбинируя конструкции для каждой из арифметических операций. Более эффективное построение определенного набора точек соответствует сокращению в таких расчетах.
Эквивалентно (и без необходимости произвольно выбирать две точки) мы можем сказать, что при произвольном выборе ориентации набор точек определяет набор комплексных соотношений, задаваемых отношениями разностей между любыми двумя парами точек. Набор соотношений, который можно построить с помощью линейки и циркуля из такого набора соотношений, является в точности наименьшим полем, содержащим исходные отношения и замкнутым при взятии комплексных сопряжений и квадратных корней.
Например, действительная часть, мнимая часть и модуль точки или отношение z (принимая одну из двух точек зрения выше) могут быть построены, поскольку они могут быть выражены как
Удвоение куба и деление угла на три части (за исключением особых углов, таких как любой φ, такой, что φ / 2π является рациональным числом со знаменателем, не делимым на 3) требует соотношений, которые являются решением кубических уравнений , в то время как возведение круга в квадрат требует трансцендентного соотношение. Ни один из них не входит в описанные поля, поэтому для них не существует линейки и компаса.
Невозможные конструкции [ править ]
Древние греки думали, что проблемы строительства, которые они не могли решить, были просто упрямыми, а не неразрешимыми. [7] Однако с помощью современных методов эти конструкции линейки и циркуля оказались логически невозможными. (Однако сами проблемы разрешимы, и греки знали, как их решать, не ограничиваясь работой только с линейкой и компасом.)
Квадрат круга [ править ]
Самая известная из этих задач - возведение круга в квадрат , также известное как квадратура круга, включает построение квадрата той же площади, что и данный круг, с использованием только линейки и циркуля.
Было доказано, что возведение круга в квадрат невозможно, так как оно включает в себя создание трансцендентного числа , то есть √ π . Только определенные алгебраические числа могут быть построены с помощью только линейки и циркуля, а именно те, которые построены из целых чисел с конечной последовательностью операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратных корней. По этой причине фраза «квадратура круга» часто используется для обозначения «делать невозможное».
Без ограничения, требующего решения только с помощью линейки и циркуля, проблема легко решается с помощью самых разных геометрических и алгебраических средств, и в древности она решалась много раз. [8]
Метод, который очень близок к аппроксимации «квадратуры круга», может быть реализован с помощью треугольника Кеплера .
Удвоение куба [ править ]
Удвоение куба - это построение с использованием только линейки и циркуля ребра куба, который имеет вдвое больший объем, чем куб с данным ребром. Это невозможно, потому что кубический корень из 2, хотя и является алгебраическим, не может быть вычислен из целых чисел сложением, вычитанием, умножением, делением и извлечением квадратных корней. Это следует потому, что его минимальный многочлен по рациональным числам имеет степень 3. Это построение возможно с использованием линейки с двумя отметками на ней и циркуля.
Трисекция угла [ править ]
Трисекция угла - это построение с использованием только линейки и циркуля угла, составляющего одну треть заданного произвольного угла. В общем случае это невозможно. Например, угол 2π / 5 радиан (72 ° = 360 ° / 5) можно разделить на три части, но угол π / 3 радиан (60 ° ) не может быть разрезан на три части. [9] Общая проблема трисекции также легко решается, когда линейка с двумя отметками на ней разрешена ( конструкция neusis ).
Расстояние до эллипса [ править ]
Можно построить отрезок от любой точки на плоскости до ближайшей точки на окружности , но отрезок от любой точки на плоскости до ближайшей точки на эллипсе с положительным эксцентриситетом, как правило, построить нельзя. [10]
Проблема Альхазена [ править ]
В 1997 году оксфордский математик Питер М. Нойман доказал теорему о том, что не существует линейки и компаса для общего решения древней проблемы Альхазена (задача о биллиарде или отражении от сферического зеркала). [11] [12]
Построение правильных многоугольников [ править ]
Некоторые правильные многоугольники (например, пятиугольник ) легко построить с помощью линейки и циркуля; другие нет. Это привело к вопросу: можно ли построить все правильные многоугольники с помощью линейки и циркуля?
Гаусс в 1796 году показал , что регулярный 17-угольник можно построить, а спустя пять лет показали , что регулярный п односторонний многоугольник можно построить циркуль и линейку , если нечетные простые множители из п являются различными простыми числами Ферма . Гаусс предположил, что это условие также необходимо , но он не представил доказательств этого факта, которые были представлены Пьером Ванцелем в 1837 году [5].
Первые несколько строящихся правильных многоугольников имеют следующее количество сторон:
- 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272 ... (последовательность A003401 в OEIS )
Известно, что существует бесконечное множество конструктивных правильных многоугольников с четным числом сторон (потому что, если правильный n -угольник конструктивен, то также можно построить правильный 2 n -угольник и, следовательно, правильный 4 n -угольник, 8 n -угольник. , так далее.). Однако существует только 31 известный конструктивный правильный n -угольник с нечетным числом сторон.
Построение треугольника из трех заданных характерных точек или длин [ править ]
Шестнадцать ключевых точек треугольника - это его вершины , середины его сторон , основание его высот , основание его биссектрисы внутреннего угла , а также его центр описанной окружности , центроид , ортоцентр и центр . Их можно брать по три за раз, чтобы получить 139 различных нетривиальных задач построения треугольника из трех точек. [13]Из этих проблем три связаны с точкой, которую можно однозначно построить из двух других точек; 23 может быть построено не однозначно (фактически, для бесконечного числа решений), но только в том случае, если расположение точек подчиняется определенным ограничениям; в 74 проблема конструктивна в общем случае; а в 39 требуемый треугольник существует, но не может быть построен.
Двенадцать ключевых длин треугольника - это три стороны, три высоты , три медианы и три биссектрисы . Вместе с тремя углами они дают 95 различных комбинаций, 63 из которых образуют конструктивный треугольник, 30 из которых нет, а два из которых не определены. [14] : стр. 201–203.
Конструкции с ограниченным доступом [ править ]
Были предприняты различные попытки ограничить допустимые инструменты для строительства в соответствии с различными правилами, чтобы определить, что еще можно построить и как это можно построить, а также определить минимальные критерии, необходимые для того, чтобы все еще можно было построить все, что компас и линейка может.
Строительство с помощью только линейки или только компаса [ править ]
Возможно (согласно теореме Мора-Маскерони ) построить что-либо с помощью только компаса, если это можно построить с помощью линейки и компаса, при условии, что данные и данные, которые необходимо найти, состоят из дискретных точек (не линий или кругов). ). Истинность этой теоремы зависит от истинности аксиомы Архимеда [15], которая не является первопорядковой по своей природе.
Невозможно извлечь квадратный корень с помощью одной линейки, поэтому некоторые вещи, которые нельзя построить с помощью линейки, можно построить с помощью циркуля; но (по теореме Понселе – Штейнера ) по единственной окружности и ее центру они могут быть построены.
Расширенные конструкции [ править ]
Древние греки классифицировали конструкции на три основные категории в зависимости от сложности инструментов, необходимых для их решения. Если в конструкции использовались только линейка и циркуль, ее называли планарной; если также требовалось одно или несколько конических сечений (кроме круга), то его называли сплошным; в третью категорию вошли все конструкции, не попавшие ни в одну из двух других категорий. [16] Эта категоризация хорошо согласуется с современной алгебраической точкой зрения. Комплексное число, которое может быть выражено только с помощью полевых операций и квадратных корней (как описано выше ), имеет плоскую конструкцию. Комплексное число, включающее также извлечение кубических корней, имеет прочную конструкцию.
На языке полей комплексное число, которое является плоским, имеет степень степени два и лежит в расширении поля, которое можно разбить на башню полей, где каждое расширение имеет степень два. Комплексное число, имеющее прочную структуру, имеет степень с простыми множителями только два и три и лежит в расширении поля, которое находится на вершине башни полей, где каждое расширение имеет степень 2 или 3.
Прочные конструкции [ править ]
Точка имеет прочную конструкцию, если ее можно построить с помощью линейки, циркуля и (возможно, гипотетического) инструмента для рисования конусов, который может рисовать любую конусу с уже построенными фокусом, направляющей и эксцентриситетом. Такой же набор точек часто можно построить с помощью меньшего набора инструментов. Например, используя циркуль, линейку и лист бумаги, на котором есть парабола y = x 2 вместе с точками (0,0) и (1,0), можно построить любое комплексное число, имеющее твердую строительство. Точно так же инструмент, который может нарисовать любой эллипс с уже построенными фокусами и большой осью (подумайте, две булавки и кусок веревки), столь же эффективен. [17]
Древние греки знали, что удвоение куба и деление на три части произвольного угла имеют твердые конструкции. Архимед дал прочную конструкцию правильного 7-угольника. Квадратура круга не имеет твердой конструкции.
Правильный n -угольник имеет прочную конструкцию тогда и только тогда, когда n = 2 j 3 k m, где m - произведение различных простых чисел Пьерпона (простых чисел вида 2 r 3 s +1). Набор таких n - это последовательность
- 7 , 9 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, 42 , 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70 , 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90 , 91, 95, 97 ... (последовательность A051913 в OEIS )
Множество n, для которого правильный n -угольник не имеет твердой конструкции, есть последовательность
- 11 , 22, 23, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50 , 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100 ... (последовательность A048136 в OEIS )
Как и в случае с простыми числами Ферма, остается открытым вопрос, существует ли бесконечное количество простых чисел Пирпонта.
Трисекция угла [ править ]
Что, если бы вместе с линейкой и циркулем у нас был инструмент, который (только) мог бы разрезать пополам произвольный угол? Такие конструкции являются прочными конструкциями, но существуют номера с прочными конструкциями, которые нельзя построить с помощью такого инструмента. Например, мы не можем удвоить куб с помощью такого инструмента. [18] С другой стороны, любой правильный n-угольник, имеющий твердую конструкцию, можно построить с помощью такого инструмента.
Оригами [ править ]
Математическая теория оригами является более мощным , чем циркулем и линейкой строительства. Складки, удовлетворяющие аксиомам Хузиты – Хатори, могут создавать точно такой же набор точек, что и расширенные конструкции, с помощью циркуля и инструмента для рисования конусов. Следовательно, оригами также можно использовать для решения кубических уравнений (и, следовательно, уравнений четвертой степени) и, таким образом, решения двух классических задач. [19]
Яркие правители [ править ]
Архимед , Никомед и Аполлоний построили конструкции с использованием заметной линейки. Это позволило бы им, например, взять отрезок, две линии (или окружности) и точку; а затем нарисуйте линию, которая проходит через заданную точку и пересекает две заданные линии так, чтобы расстояние между точками пересечения равнялось заданному отрезку. Греки называли это neusis («склонность», «тенденция» или «граница»), потому что новая линия стремится к точке. В этой расширенной схеме мы можем разрезать произвольный угол пополам (см. Троекратное деление Архимеда ) или извлечь произвольный кубический корень (благодаря Никомеду). Следовательно,любое расстояние, отношение которого к существующему расстоянию является решениемкубическое или квартирное уравнение можно построить. Используя размеченную линейку, можно построить правильные многоугольники с твердыми конструкциями, например семиугольник ; и Джон Х. Конвей и Ричард К. Гай дают конструкции для некоторых из них. [20]
Конструкция neusis более мощная, чем инструмент конического рисования, поскольку можно строить комплексные числа, не имеющие твердых конструкций. Фактически, с помощью этого инструмента можно решить некоторые квинтики, которые не решаются радикалами . [21] Известно, что нельзя решить неприводимый многочлен простой степени, большей или равной 7, с помощью конструкции Neusis, поэтому невозможно построить правильный 23-угольник или 29-угольник с помощью этого инструмента. Бенджамин и Снайдер доказали, что можно построить правильный 11-угольник, но не дали конструкции. [22] Остается открытым вопрос о том, можно ли построить с помощью этого инструмента обычный 25-угольник или 31-угольник.
Вычисление двоичных цифр [ править ]
В 1998 году Саймон Плафф дал алгоритм линейки и компаса , который можно использовать для вычисления двоичных цифр определенных чисел. [23] Алгоритм включает многократное удвоение угла и становится физически непрактичным после примерно 20 двоичных цифр.
См. Также [ править ]
- Карлайл круг
- Геометрическая криптография
- Геометрография
- Список программного обеспечения для интерактивной геометрии , большинство из которых показывает конструкции линейки и компаса
- Математика складывания бумаги
- Андервуд Дадли , математик, который занимался сбором фальшивой линейки и компасных доказательств.
Ссылки [ править ]
- ^ Андервуд Дадли (1983), "Что делать, когда появляется трисектор" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 5 (1): 20-25, doi : 10.1007 / bf03023502
- ↑ Годфрид Туссен, «Новый взгляд на второе предложение Евклида», The Mathematical Intelligencer , Vol. 15, No. 3, (1993), pp. 12-24.
- ^ a b c d e f g h i Смелый, Бенджамин. Известные проблемы геометрии и способы их решения , Dover Publications, 1982 (ориг. 1969).
- ^ a b Ванцель, Пьер-Лоран (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372 . Проверено 3 марта 2014 .
- ^ a b Казаринов, Николас Д. (2003) [1970]. Линейка и Круг . Минеола, Нью-Йорк: Дувр. С. 29–30. ISBN 978-0-486-42515-3.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. "Углы тригонометрии - Пи / 17" . MathWorld .
- ^ Стюарт, Ян. Теория Галуа . п. 75.
- ^ * Квадрат круга в MacTutor
- ^ Инструкции по разделению на три части под углом 72.
- ^ Азад, Х., и Лараджи, А., "Некоторые невозможные конструкции в элементарной геометрии", Mathematical Gazette 88, ноябрь 2004 г., 548–551.
- ^ Neumann, Питер М. (1998), "Размышления о Отражение в сферическом зеркале", American Mathematical Monthly , 105 (6): 523-528, DOI : 10,1080 / 00029890.1998.12004920 , JSTOR 2589403 , MR 1626185
- ^ Highfield, Роджер (1 апреля 1997), "Дон решает последнюю загадку , оставленную древними греками" , Electronic Telegraph , 676 , архивированных с оригинала на 23 ноября 2004 года , восстановлена 2008-09-24
- ^ Паскаль Шрек, Паскаль Матис, Vesna Маринковича и Предраг Janičiċ. «Список Верника: последнее обновление», Forum Geometricorum 16, 2016, стр. 69–80. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201610.pdf
- ^ Posamentier, Альфред С. и Lehmann, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
- ^ Аврон, Арнон (1990). «О строгой прочной конструктивности одним компасом». Журнал геометрии . 38 (1-2): 12-15. DOI : 10.1007 / BF01222890 .
- ^ Т.Л. Хит, "История греческой математики, том I"
- ^ П. Хаммель, "Твердые конструкции с использованием эллипсов", The Pi Mu Epsilon Journal , 11 (8), 429 - 435 (2003)
- ^ Глисон, Эндрю : "Трисечение угла, семиугольник и трехугольник", Amer. Математика. Месяц 95 (1988), вып. 3, 185-194.
- ^ Ряд, Т. Сундара (1966). Геометрические упражнения в складывании бумаги . Нью-Йорк: Дувр.
- ↑ Конвей, Джон Х. и Ричард Гай: Книга чисел
- ^ А. Барагар, "Конструкции с использованием линейки с двумя зубцами", The American Mathematical Monthly , 109 (2), 151 - 164 (2002).
- ^ Э. Бенджамин, К. Снайдер, «О построении правильного шестиугольника с помощью отмеченной линейки и циркуля», Математические слушания Кембриджского философского общества , 156 (3), 409 - 424 (2014).
- ^ Саймон Плафф (1998). «Вычисление некоторых чисел с помощью линейки и циркуля» . Журнал целочисленных последовательностей . 1 . ISSN 1530-7638 .
Внешние ссылки [ править ]
- Построение правильных многоугольников доктора Математика на The Math Forum @ Drexel
- Строительство с компасом Только в узлах.
- Трисекция угла по Гиппократу в разрезе
- Вайсштейн, Эрик В. "Угловая тройка" . MathWorld .
