Шестиугольник

Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Тип	Правильный многоугольник
Ребра и вершины	6
Символ Шлефли	{6}, т {3}
Диаграмма Кокстера
Группа симметрии	Двугранный (D 6 ), порядок 2 × 6
Внутренний угол ( градусы )	120 °
Двойной многоугольник	Себя
Характеристики	Выпуклый , циклический , равносторонний , изогональный , изотоксальный

В геометрии , A шестиугольник (от греческой ЕЕ , гекса , что означает «шесть», и γωνία , Gonia , что означает «угол, угол») представляет собой шестигранный многоугольник или 6-угольник. Сумма внутренних углов любого простого (несамопересекающегося) шестиугольника составляет 720 °.

Правильный шестиугольник

Регулярный шестиугольник имеет символ шлефли {6} ^[1] , а также может быть выполнен в виде усеченного равностороннего треугольника , т {3}, который чередует два типа ребер.

Правильный шестиугольник определяется как шестиугольник, который одновременно является равносторонним и равноугольным . Он бицентрический , что означает, что он является как циклическим (имеет описанную окружность), так и касательным (имеет вписанную окружность).

Общая длина сторон равна радиусу окружности или окружности , которая равна раз превышает апофемой (радиус вписанной окружности ). Все внутренние углы составляют 120 градусов . Правильный шестиугольник имеет шесть симметрий вращения ( вращательная симметрия шестого порядка ) и шесть симметрий отражения ( шесть линий симметрии ), составляющих группу диэдра D ₆ . Самые длинные диагонали правильного шестиугольника, соединяющие диаметрально противоположные вершины, вдвое превышают длину одной стороны. Из этого видно, что${\ displaystyle {\ tfrac {2} {\ sqrt {3}}}}$Треугольник с вершиной в центре правильного шестиугольника и имеющий одну сторону с шестиугольником является равносторонним , и что правильный шестиугольник можно разделить на шесть равносторонних треугольников.

Подобно квадратам и равносторонним треугольникам , правильные шестиугольники подходят друг к другу без каких-либо зазоров для мозаики плоскости (три шестиугольника, сходящиеся в каждой вершине), и поэтому полезны для построения мозаики . Ячейки соты улья шестиугольные по этой причине, а также потому, что форма позволяет эффективно использовать пространство и строительные материалы. Диаграмма Вороного регулярной треугольной решетки является сотовая тесселяция из шестиугольников. Обычно не считается триамбусом , хотя он равносторонний.

Параметры

Максимальный диаметр (который соответствует длинной диагонали шестиугольника), D , в два раза превышает радиус максимальной или описанной окружности , R , которая равна длине боковой, т . Минимальный диаметр или диаметр вписанной окружности (разделение параллельных сторон, расстояние между плоскостями, короткая диагональ или высота при опоре на плоское основание), d , в два раза больше минимального радиуса или inradius , r . Максимумы и минимумы связаны одним и тем же фактором:

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} d = r = \ cos (30 ^ {\ circ}) R = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} R = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} t}$     и аналогично ${\ displaystyle d = {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} D.}$

Площадь правильного шестиугольника

${\ displaystyle {\ begin {align} A & = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} R ^ {2} = 3Rr = 2 {\ sqrt {3}} r ^ {2} \ \ & = {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {8}} D ^ {2} = {\ frac {3} {4}} Dd = {\ frac {\ sqrt {3}} {2 }} d ^ {2} \\ & \ приблизительно 2,598R ^ {2} \ приблизительно 3,464r ^ {2} \\ & \ приблизительно 0,6495D ^ {2} \ приблизительно 0,866d ^ {2}. \ end {выровнено }}}$

Для любого правильного многоугольника площадь также можно выразить через апофему a и периметр p . Для правильного шестиугольника они даются как a = r и p , поэтому${\ displaystyle {} = 6R = 4r {\ sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ap}{2}}\\&={\frac {r\cdot 4r{\sqrt {3}}}{2}}=2r^{2}{\sqrt {3}}\\&\approx 3.464r^{2}.\end{aligned}}}$

Правильный шестиугольник заполняет часть его окружности .${\displaystyle {\tfrac {3{\sqrt {3}}}{2\pi }}\approx 0.8270}$

Если правильный шестиугольник имеет последовательные вершины A, B, C, D, E, F и если P - любая точка на описанной окружности между B и C, то PE + PF = PA + PB + PC + PD .

Из отношения радиуса описанной окружности к внутреннему радиусу следует, что отношение высоты к ширине правильного шестиугольника составляет 1: 1,1547005; то есть шестиугольник с длинной диагональю 1,0000000 будет иметь расстояние 0,8660254 между параллельными сторонами.

Точка в плоскости

Для произвольной точки на плоскости правильного шестиугольника с описанным радиусом , расстояния до центра тяжести правильного шестиугольника и его шести вершин равны и соответственно, имеем ^[2]${\displaystyle R}$${\displaystyle L}$${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2(R^{2}+L^{2}),}$

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3(R^{2}+L^{2}),}$

${\displaystyle d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3((R^{2}+L^{2})^{2}+2R^{2}L^{2}).}$

Если - расстояния от вершин правильного шестиугольника до любой точки его описанной окружности, то ^[2]${\displaystyle d_{i}}$

${\displaystyle (\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2})^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.}$

Симметрия

Правильный шестиугольник имеет DIH ₆ симметрии, порядок 12. Есть три подгруппы: двугранная DIH ₃ , DIH ₂ и DIH ₁ , и четыре циклических подгрупп: Z ₆ , Z ₃ , Z ₂ и Z ₁ .

Эти симметрии выражают девять различных симметрий правильного шестиугольника. Джон Конвей помечает их буквой и групповым порядком. ^[3] r12 - полная симметрия, а a1 - несимметрия. p6 , изогональный шестиугольник, построенный из трех зеркал, может чередовать длинные и короткие края, и d6 , изотоксальный шестиугольник, построенный с равной длиной ребер, но вершинами, чередующимися с двумя разными внутренними углами. Эти две формы двойственны друг другу и имеют половину порядка симметрии правильного шестиугольника. В i4 формы правильные шестиугольники уплощены или растягиваются вдоль одного направления симметрии. Это можно рассматривать какудлиненный ромб , а d2 и p2 можно рассматривать как вытянутые по горизонтали и вертикали змеи . Шестиугольники g2 , противоположные стороны которых параллельны, также называются шестиугольными параллелогонами .

Симметрия каждой подгруппы допускает одну или несколько степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g6 не имеет степеней свободы, но ее можно рассматривать как направленные ребра .

Шестиугольники симметрии g2 , i4 и r12 , как параллелогоны, могут разбить евклидову плоскость путем сдвига. Другие формы шестиугольника могут перекрывать плоскость с разной ориентацией.

Группы A2 и G2

Шесть корней простой группы Ли A2 , представленной диаграммой Дынкина , имеют правильный шестиугольный узор. Угол между двумя простыми корнями составляет 120 °.

12 корней исключительной группы Ли G2 , представленной диаграммой Дынкина также имеют шестиугольную форму. Два простых корня двух длин имеют угол между собой 150 °.

Рассечение

Кокстеровские гласит , что каждый зоногон (2 м -угольник которого противоположные стороны параллельны и равны по длине) можно разрезать на м ( м -1) / 2 параллелограммов. ^[4] В частности, это верно для правильных многоугольников с равным числом сторон, и в этом случае все параллелограммы являются ромбическими. Это разложение правильного шестиугольника основано на многоугольной проекции куба Петри с 3 из 6 квадратных граней. Остальные параллелогоны и проективные направления куба рассечены прямоугольными кубоидами .

Связанные полигоны и мозаики

На правильном шестиугольнике есть символ Шлефли {6}. Правильный шестиугольник - это часть правильной шестиугольной мозаики {6,3} с тремя шестиугольными гранями вокруг каждой вершины.

Правильный шестиугольник можно также создать как усеченный равносторонний треугольник с символом Шлефли t {3}. При рассмотрении с двумя типами (цветами) кромок эта форма имеет только симметрию D ₃ .

Усеченный шестиугольник, т {6}, является двенадцатиугольник , {12}, чередуя два типа (цвета) ребер. Чередовались шестиугольник, ч {6}, представляет собой равносторонний треугольник , {3}. Правильный шестиугольник можно сделать звездообразным с равносторонними треугольниками по краям, образуя гексаграмму . Правильный шестиугольник можно разрезать на шесть равносторонних треугольников , добавив центральную точку. Этот узор повторяется внутри правильной треугольной плитки .

Правильный шестиугольник можно расширить до правильного двенадцатиугольника , добавив чередующиеся квадраты и равносторонние треугольники вокруг него. Этот узор повторяется внутри ромбогексагональной плитки .

Самопересекающиеся шестиугольники

Всего шесть самопересекающихся шестиугольников с расположением вершин правильного шестиугольника:

Гексагональные конструкции

От пчелиных сот до «Дороги гигантов» в природе преобладают шестиугольные узоры из-за их эффективности. В гексагональной сетке каждая линия настолько коротка, насколько это возможно, если большая область должна быть заполнена наименьшим количеством шестиугольников. Это означает, что для изготовления сот требуется меньше воска, и они приобретают большую прочность при сжатии .

Неправильные шестиугольники с параллельными противоположными краями называются параллелогонами и также могут перекрывать плоскость путем сдвига. В трех измерениях шестиугольные призмы с параллельными противоположными гранями называются параллелоэдрами, и они могут преобразовывать трехмерное пространство в мозаику путем перемещения.

Месселяция шестиугольниками

В дополнение к правильному шестиугольнику, который определяет уникальную мозаику плоскости, любой неправильный шестиугольник, который удовлетворяет критерию Конвея, будет мозаикой плоскости.

Шестиугольник, вписанный в коническое сечение

Теорема Паскаля (также известная как «Теорема Hexagrammum Mysticum») утверждает, что если произвольный шестиугольник вписан в любое коническое сечение и пары противоположных сторон растянуты до тех пор, пока они не встретятся, три точки пересечения будут лежать на прямой линии, Линия Паскаля »этой конфигурации.

Циклический шестиугольник

Шестигранной Лемуан является циклическим шестиугольника (один вписан в окружность) с вершинами , заданных шести пересечений ребер треугольника и трех линий, которые параллельны краям , которые проходят через его симедиана точки .

Если последовательные стороны циклического шестиугольника - это a , b , c , d , e , f , то три главных диагонали пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . ^[5]

Если для каждой стороны циклического шестиугольника смежные стороны продолжаются до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне, то сегменты, соединяющие центры описанных окружностей противоположных треугольников, совпадают . ^[6]

Если шестиугольник имеет вершины на окружности в качестве острого треугольника в шести точках ( в том числе трех вершин треугольника) , где расширенные Высоты треугольника встречается окружности, то площадь шестиугольника в два раза превышает площадь треугольника. ^{[7] : с. 179}

Шестиугольник, касательный к коническому сечению

Пусть ABCDEF - шестиугольник, образованный шестью касательными конического сечения. Тогда теорема Брианшона утверждает, что три главных диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке.

В шестиугольнике, который является касательным к окружности и имеет последовательные стороны a , b , c , d , e и f , ^[8]

${\displaystyle a+c+e=b+d+f.}$

Равносторонние треугольники по сторонам произвольного шестиугольника

Если равносторонний треугольник построен снаружи с каждой стороны любого шестиугольника, то середины отрезков, соединяющих центроиды противоположных треугольников, образуют другой равносторонний треугольник. ^{[9] : Thm. 1}

Наклоненный шестиугольник

Перекос шестиугольник является перекос многоугольник с шестью вершинами и ребрами , но не существующие на одной и той же плоскости. Внутренняя часть такого шестиугольника обычно не определяется. Перекос зигзаг шестиугольник имеет вершины чередующихся между двумя параллельными плоскостями.

Регулярный перекос шестиугольник является вершина-симметрический с равными длинами ребер. В трех измерениях это будет зигзагообразный косой шестиугольник, который можно увидеть в вершинах и боковых гранях треугольной антипризмы с той же симметрией D _3d , [2 ⁺ , 6], порядок 12.

Куб и октаэдр (такой же , как трехстороннее антипризма) имеют регулярные косые шестиугольники как Питрите полигоны.

Полигоны Петри

Правильный косой шестиугольник - это многоугольник Петри для этих правильных , однородных и двойственных многогранников и многогранников более высокой размерности , показанных в этих косых ортогональных проекциях :

Выпуклый равносторонний шестиугольник

Главная диагональ шестиугольника является диагональной , который делит шестиугольник в четырехугольники. В любом выпуклом равностороннем шестиугольнике (все стороны равны) с общей стороной a существует ^{[10] : p.184, # 286.3} главная диагональ d ₁ такая, что

${\displaystyle {\frac {d_{1}}{a}}\leq 2}$

и главную диагональ d ₂ такую, что

${\displaystyle {\frac {d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}.}$

Многогранники с шестиугольниками

Не существует Платонова твердого тела, состоящего только из правильных шестиугольников, потому что шестиугольники мозаичны , не позволяя результату «складываться». В архимедовых твердых частиц с некоторыми шестиугольными гранями являются усеченным тетраэдром , усеченный октаэдром , усеченный икосаэдром (из футбольного мяча и фуллерена известности), усеченный кубооктаэдра а усеченный икосододекаэдр . Эти шестиугольники можно рассматривать как усеченные треугольники, причем диаграммы Кокстера имеют вид и .

Шестиугольники в архимедовых телах
Тетраэдр	Восьмигранный		Икосаэдр
усеченный тетраэдр	усеченный октаэдр	усеченный кубооктаэдр	усеченный икосаэдр	усеченный икосододекаэдр

Существуют и другие многогранники симметрии с вытянутыми или уплощенными шестиугольниками, например многогранник Гольдберга G (2,0):

Также есть 9 тел Джонсона с правильными шестиугольниками:

Плитки с правильными шестиугольниками
Обычный	1-униформа
{6,3}	г {6,3}	рр {6,3}	tr {6,3}
2-однородные мозаики

Галерея натуральных и искусственных шестиугольников

• Идеальная кристаллическая структура графена - гексагональная сетка.

• Собранные сегменты зеркала E-ELT

• Улей соты

• Щитки панциря черепахи

• Шестиугольник Сатурна , шестиугольный узор облаков вокруг северного полюса планеты.

• Микрофотография снежинки

• Бензол , простейшее ароматическое соединение гексагональной формы.

• Шестиугольный порядок пузырьков в пене.

• Кристаллическая структура молекулярного шестиугольника, состоящего из гексагональных ароматических колец.

• Естественно сформированные базальтовые колонны с Дороги гигантов в Северной Ирландии ; большие массы должны медленно остывать, чтобы образовалась полигональная структура трещин

• Вид с воздуха на Форт Джефферсон в национальном парке Драй Тортугас

• Джеймс Уэбб Космический телескоп зеркало состоит из 18 шестиугольных сегментов.

• Метрополитен Франция имеет неопределенно шестиугольную форму. По-французски l'Hexagone относится к континентальной части Европы, Франции.

• Гексагональный кристалл ханксита , один из многих минералов гексагональной кристаллической системы.

• Шестиугольный сарай

• Шестиугольник , шестиугольный театр в Рединге, Беркшир.

• Шестиугольные шахматы Владислава Глинского

• Павильон в Тайваньском ботаническом саду

• Шестиугольное окно

Смотрите также

• 24-ячейка : четырехмерная фигура, которая, как и шестиугольник, имеет ортоплексные грани, самодуальна и мозаично представляет собой евклидово пространство.
• Гексагональная кристаллическая система
• Шестиугольное число
• Шестиугольная мозаика : правильная мозаика шестиугольников на плоскости
• Гексаграмма : шестигранная звезда в правильном шестиугольнике.
• Уникурсальная гексаграмма : одиночный путь, шестигранная звезда в шестиугольнике
• Гипотеза о сотах
• Хаванна : абстрактная настольная игра на шестигранной гексагональной сетке

Рекомендации

внешняя ссылка

Найдите шестиугольник в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник» . MathWorld .

Использование внешних ссылок в этой статье может не соответствовать политикам или рекомендациям Википедии . Пожалуйста, улучшите эту статью , удалив лишние или неприемлемые внешние ссылки и преобразовав полезные ссылки, где это уместно, в сноски . ( Ноябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Определение и свойства шестиугольника с интерактивной анимацией и построение с помощью циркуля и линейки .
• Введение в шестиугольную геометрию на Hexnet веб-сайт, посвященный математике шестиугольника.
• Кассини изображает причудливый шестиугольник на Сатурне
• Странный шестиугольник Сатурна
• Шестиугольная деталь вокруг Северного полюса Сатурна
• «На Сатурне замечен причудливый шестиугольник» - от Space.com (27 марта 2007 г.)