Выпуклый многоугольник является простой многоугольник (не самопересекающийся ) , в которой нет отрезок между двумя точками на границе никогда не выходит за пределы полигона. Эквивалентно, это простой многоугольник, внутренность которого представляет собой выпуклое множество . [1] В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусам, в то время как в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.
Свойства [ править ]
Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:
- Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов .
- Каждая точка на каждом отрезке линии между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
- Многоугольник полностью содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
- Для каждого края все внутренние точки находятся на той же стороне линии, которую определяет край.
- Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины по краям и внутри.
- Многоугольник - это выпуклая оболочка его ребер.
Дополнительные свойства выпуклых многоугольников:
- Пересечение двух выпуклых многоугольников образует выпуклый многоугольник.
- Выпуклый многоугольник можно триангулировать за линейное время посредством веерной триангуляции , состоящей в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
- Теорема Хелли : для любого набора по крайней мере из трех выпуклых многоугольников: если пересечение всех трех из них непусто, то весь набор имеет непустое пересечение.
- Теорема Крейна – Мильмана : выпуклый многоугольник - это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
- Теорема о разделении гиперплоскостей : любые два выпуклых многоугольника, не имеющих общих точек, имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнутые и хотя бы один из них компактный, то есть даже две параллельные разделительные линии (с промежутком между ними).
- Свойство вписанного треугольника : из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника. [2]
- Вписывания треугольника свойство: каждый выпуклый многоугольник с площадью А может быть вписана в треугольник площади в наиболее равна 2 А . Равенство выполняется (исключительно) для параллелограмма . [3]
- Свойство вписанных / вписывающих прямоугольников : для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что гомотетическая копия R описана вокруг C и положительное отношение гомотетии не превышает 2 и . [4]
- Средняя ширина выпуклого многоугольника равна его периметр , разделенный на р. Таким образом, его ширина равна диаметру круга с таким же периметром, что и у многоугольника. [5]
Каждый многоугольник, вписанный в круг (такой, что все вершины многоугольника касаются круга), если он не самопересекающийся , является выпуклым. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в круг.
Строгая выпуклость [ править ]
Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:
- Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
- Каждый отрезок прямой между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на ребрах).
- Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся на той же стороне линии, которую определяет ребро.
- Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины внутри (кроме данной вершины и двух смежных вершин).
Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.
См. Также [ править ]
- Вогнутый многоугольник - простой многоугольник, который не является выпуклым.
- Выпуклый многогранник
- Циклический многоугольник
- Неявная кривая § Гладкая аппроксимация выпуклых многоугольников
- Тангенциальный многоугольник
Ссылки [ править ]
- ^ Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
- ^ -, Христос. «Всегда ли область пересечения выпуклых многоугольников выпуклая?» . Обмен математическим стеком .CS1 maint: numeric names: authors list (link)
- ^ Weisstein, Eric W. "Треугольник ограничивающий" . Wolfram Math World .
- ^ Lassak, М. (1993). «Аппроксимация выпуклых тел прямоугольниками». Geometriae Dedicata . 47 : 111. DOI : 10.1007 / BF01263495 .
- ↑ Джим Белк. "Какая средняя ширина выпуклого многоугольника?" . Обмен математическим стеком .
Внешние ссылки [ править ]
Викискладе есть медиафайлы по теме выпуклых многоугольников . |
- Вайсштейн, Эрик В. «Выпуклый многоугольник» . MathWorld .
- http://www.rustycode.com/tutorials/convex.html
- Шорн, Питер; Фишер, Фредерик (1994), «I.2 Проверка выпуклости многоугольника» , в Heckbert, Paul S. (ed.), Graphics Gems IV , Morgan Kaufmann (Academic Press), стр. 7–15 , ISBN 9780123361554