Неявная кривая

Овалы Кассини:
(1) a = 1,1, c = 1 (вверху),
(2) a = c = 1 (в центре),
(3) a = 1, c = 1,05 (внизу)

Неявная кривая: ${\ Displaystyle \ грех (х + у) - \ соз (ху) + 1 = 0}$

Неявная кривая как кривые уровня поверхности${\ Displaystyle \ грех (х + у) - \ соз (ху) + 1 = 0}$${\ Displaystyle г = \ грех (х + у) - \ соз (ху) +1}$

В математике , неявные кривой является плоским кривым определяется с помощью неявного уравнения , касающегося два координатных переменных, обычно х и у . Например, единичный круг определяется неявным уравнением . В общем, каждая неявная кривая определяется уравнением вида${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1}$

${\ Displaystyle F (х, y) = 0}$

для некоторой функции F двух переменных. Следовательно, неявную кривую можно рассматривать как набор нулей функции двух переменных. Неявный означает, что уравнение не выражается как решение для x через y или наоборот.

Если - многочлен от двух переменных, соответствующая кривая называется алгебраической кривой , и для ее изучения доступны определенные методы.${\displaystyle F(x,y)}$

Плоские кривые могут быть представлены в декартовых координатах ( координаты x , y ) любым из трех методов, один из которых является неявным уравнением, приведенным выше. График функции , как правило , описывается уравнением , в котором функциональная форма явно указанной; это называется явным представлением. Третье существенное описание кривой - параметрическое , где координаты x и y точек кривой представлены двумя функциями x ( t ), y ( t )${\displaystyle y=f(x)}$ обе, чьи функциональные формы указаны явно, и которые зависят от общего параметра ${\displaystyle t.}$

Примеры неявных кривых включают:

1. линия :${\displaystyle x+2y-3=0,}$
2. круг :${\displaystyle x^{2}+y^{2}-4=0,}$
3. полукубическая параболы :${\displaystyle x^{3}-y^{2}=0,}$
4. Овалы Кассини (см. Диаграмму),${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}-2c^{2}(x^{2}-y^{2})-(a^{4}-c^{4})=0}$
5. ${\displaystyle \sin(x+y)-\cos(xy)+1=0}$ (см. диаграмму).

Первые четыре примера - это алгебраические кривые, но последний не алгебраический. Первые три примера обладают простыми параметрическими представлениями, что неверно для четвертого и пятого примеров. Пятый пример показывает возможную сложную геометрическую структуру неявной кривой.

Теорема о неявной функции описывает условия, при которых уравнение может быть решено неявно относительно x и / или y, то есть при которых можно корректно написать или . Эта теорема является ключом к вычислению основных геометрических характеристик кривой: касательных , нормалей и кривизны . На практике неявные кривые имеют существенный недостаток: их трудно визуализировать. Но есть компьютерные программы, позволяющие отображать неявную кривую. Особые свойства неявных кривых делают их незаменимыми инструментами в геометрии и компьютерной графике.${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle x=g(y)}$${\displaystyle y=f(x)}$

Неявная кривая с уравнением может рассматриваться как линия уровня нулевого уровня поверхности (см. Третью диаграмму).${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle z=F(x,y)}$

Наклон и кривизна [ править ]

В общем, неявные кривые не проходят проверку вертикальной линии (это означает, что некоторые значения x связаны с более чем одним значением y ) и поэтому не обязательно являются графиками функций. Однако теорема о неявной функции дает условия, при которых неявная кривая локально задается графиком функции (так, в частности, она не имеет самопересечений). Если определяющие соотношения достаточно гладкие, то в таких областях неявные кривые имеют четко определенные уклоны, касательные, векторы нормалей и кривизну.

Есть несколько возможных способов вычисления этих величин для заданной неявной кривой. Один из методов - использовать неявное дифференцирование для вычисления производных y по x . В качестве альтернативы, для кривой, определяемой неявным уравнением , можно выразить эти формулы непосредственно через частные производные от . В дальнейшем, частные производные обозначаются (для производной по х ), , (для второго частичного относительно х ), (для смешанного второго частичного),${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F_{x}}$${\displaystyle F_{y}}$${\displaystyle F_{xx}}$${\displaystyle F_{xy}}$${\displaystyle F_{yy}.}$

Вектор касательной и нормали [ править ]

Точка кривой является регулярным , если первые частные производные и не являются оба равны 0.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle F_{y}(x_{0},y_{0})}$

Уравнение касательной в регулярной точке имеет вид${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle F_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+F_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0,}$

таким образом, наклон касательной и, следовательно, наклон кривой в этой точке, равен

${\displaystyle {\text{slope}}=-{\frac {F_{x}(x_{0},y_{0})}{F_{y}(x_{0},y_{0})}}.}$

Если на кривом по вертикали в этой точке, в то время как , если оба , и в этой точке , то кривой не дифференцируем там, но вместо этого является особой точкой - либо параболический или точка , где сам кривым пересекает.${\displaystyle F_{y}(x,y)=0\neq F_{x}(x,y)}$${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$${\displaystyle F_{y}(x,y)=0}$${\displaystyle F_{x}(x,y)=0}$

Вектор нормали к кривой в точке задается формулой

${\displaystyle \mathbf {n} (x_{0},y_{0})=(F_{x}(x_{0},y_{0}),F_{y}(x_{0},y_{0}))}$

(здесь записано как вектор-строка).

Кривизна [ править ]

Для удобства чтения формул аргументы опускаются. Кривизны в регулярной точке дается формулой${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \kappa ={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{(F_{x}^{2}+F_{y}^{2})^{3/2}}}}$. ^[1]

Вывод формул [ править ]

Теорема о неявной функции гарантирует в окрестности точки существование такой функции , что . По цепному правилу производные функции равны${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F(x,f(x))=0}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f'(x)=-{\frac {F_{x}(x,f(x))}{F_{y}(x,f(x))}}}$ а также ${\displaystyle f''(x)={\frac {-F_{y}^{2}F_{xx}+2F_{x}F_{y}F_{xy}-F_{x}^{2}F_{yy}}{F_{y}^{3}}}}$

(где аргументы в правой части второй формулы опущены для удобства чтения).${\displaystyle (x,f(x))}$

Подставляя производные функции в формулы для касательной и кривизны графика явного уравнения, получаем${\displaystyle f}$${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}$ (касательная)

${\displaystyle \kappa (x_{0})={\frac {f''(x_{0})}{(1+f'(x_{0})^{2})^{3/2}}}}$ (кривизна).

Преимущества и недостатки неявных кривых [ править ]

Недостаток [ править ]

Существенным недостатком неявной кривой является отсутствие простой возможности вычисления отдельных точек, что необходимо для визуализации неявной кривой (см. Следующий раздел).

Преимущества [ править ]

1. Неявные представления облегчают вычисление точек пересечения: если одна кривая представлена ​​неявно, а другая параметрически, для вычисления точек пересечения требуется только простая (одномерная) итерация Ньютона, в отличие от случаев неявно-неявных и параметрическо-параметрических ( см. Пересечение ).
2. Неявное представление дает возможность разделять точки не на кривой знаком . Это может быть полезно, например, при применении метода ложного положения вместо итерации Ньютона.${\displaystyle F(x,y)=0}$${\displaystyle F(x,y)}$
3. Легко сгенерировать кривые, которые почти геометрически похожи на заданную неявную кривую , просто добавив небольшое число: (см. Раздел # Гладкие приближения ).${\displaystyle F(x,y)=0,}$${\displaystyle F(x,y)-c=0}$

Применение неявных кривых [ править ]

В математике неявные кривые играют важную роль как алгебраические кривые . Кроме того, неявные кривые используются для проектирования кривых желаемых геометрических форм. Вот два примера.

Гладкие приближения [ править ]

Выпуклые многоугольники [ править ]

Гладкое приближение выпуклого многоугольника может быть достигнуто следующим образом: Позвольте быть уравнениями прямых, содержащих ребра многоугольника, так что для внутренней точки многоугольника положительна. Тогда подмножество неявной кривой ${\displaystyle g_{i}(x,y)=a_{i}x+b_{i}y+c_{i}=0,\ i=1,\dotsc ,n}$${\displaystyle g_{i}}$

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)\cdots g_{n}(x,y)-c=0}$

с подходящим малым параметром является гладкой (дифференцируемой) аппроксимацией многоугольника. Например, кривые ${\displaystyle c}$

${\displaystyle F(x,y)=(x+1)(-x+1)y(-x-y+2)(x-y+2)-c=0}$ для ${\displaystyle c=0.03,\dotsc ,0.6}$

содержат гладкие аппроксимации многоугольника с 5 ребрами (см. диаграмму).

Пары строк [ править ]

В случае двух строк

${\displaystyle F(x,y)=g_{1}(x,y)g_{2}(x,y)-c=0}$

один получает

пучок параллельных прямых , если данные прямые параллельны или

пучок гипербол, у которых заданные прямые являются асимптотами.

Например, произведение переменных осей координат дает пучок гипербол , оси координат которых являются асимптотами.${\displaystyle xy-c=0,\ c\neq 0}$

Другое [ править ]

Если начать с простых неявных кривых, отличных от линий (кругов, парабол, ...), можно получить широкий спектр интересных новых кривых. Например,

${\displaystyle F(x,y)=y(-x^{2}-y^{2}+1)-c=0}$

(произведение круга и оси x) дает гладкие аппроксимации одной половины круга (см. рисунок), и

${\displaystyle F(x,y)=(-x^{2}-(y+1)^{2}+4)(-x^{2}-(y-1)^{2}+4)-c=0}$

(произведение двух окружностей) дает гладкую аппроксимацию пересечения двух окружностей (см. диаграмму).

Кривые наложения [ править ]

В CAD Каждый использует неявные кривые для генерации смешивания кривых , ^{[2] [3]} , которые являются специальными кривыми , устанавливающими плавный переход между двумя заданными кривыми. Например,

${\displaystyle F(x,y)=(1-\mu )f_{1}f_{2}-\mu (g_{1}g_{2})^{3}=0}$

генерирует кривые наложения между двумя кругами

${\displaystyle f_{1}(x,y)=(x-x_{1})^{2}+y^{2}-r_{1}^{2}=0,}$

${\displaystyle f_{2}(x,y)=(x-x_{2})^{2}+y^{2}-r_{2}^{2}=0.}$

Метод гарантирует непрерывность касательных и кривизны в точках контакта (см. Диаграмму). Две линии

${\displaystyle g_{1}(x,y)=x-x_{1}=0,\ g_{2}(x,y)=x-x_{2}=0}$

определить точки соприкосновения в кругах. Параметр - это расчетный параметр. На диаграмме .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0.05,\dotsc ,0.2}$

Эквипотенциальные кривые двух точечных зарядов [ править ]

Эквипотенциальные кривые двух равных точечных зарядов в точках можно представить уравнением${\displaystyle P_{1}=(1,0),\;P_{2}=(-1,0)}$

${\displaystyle f(x,y)={\frac {1}{|PP_{1}|}}+{\frac {1}{|PP_{2}|}}-c}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {(x-1)^{2}+y^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {(x+1)^{2}+y^{2}}}}-c=0.}$

Кривые похожи на овалы Кассини , но не такие кривые.

Визуализация неявной кривой [ править ]

Чтобы визуализировать неявную кривую, обычно определяют многоугольник на кривой и отображают многоугольник. Для параметрической кривой это простая задача: нужно просто вычислить точки последовательности параметрических значений. Для неявной кривой необходимо решить две подзадачи:

1. определение первой точки кривой до заданной начальной точки в непосредственной близости от кривой,
2. определение точки кривой, начиная с известной точки кривой.

В обоих случаях есть основания предполагать . На практике это предположение нарушается только в отдельных изолированных точках.${\displaystyle \operatorname {grad} F\neq (0,0)}$

Точечный алгоритм [ править ]

Для решения обеих задач, упомянутых выше, необходимо иметь компьютерную программу (которую мы будем называть ), которая при задании точки рядом с неявной кривой находит точку, которая точно находится на кривой:${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$${\displaystyle Q_{0}=(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P}$

(P1) для начальной точки${\displaystyle j=0}$

(P2) повторить

${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1})=(x_{j},y_{j})-{\frac {F(x_{j},y_{j})}{F_{x}(x_{j},y_{j})^{2}+F_{y}(x_{j},y_{j})^{2}}}\,\left(F_{x}(x_{j},y_{j}),F_{y}(x_{j},y_{j})\right)}$

( Шаг Ньютона для функции )${\displaystyle g(t)=F\left(x_{j}+tF_{x}(x_{j},y_{j}),y_{j}+tF_{y}(x_{j},y_{j})\right)\ .}$

(P3), пока расстояние между точками не станет достаточно малым.${\displaystyle (x_{j+1},y_{j+1}),\,(x_{j},y_{j})}$

(P4) - точка кривой около начальной точки .${\displaystyle P=(x_{j+1},y_{j+1})}$${\displaystyle Q_{0}}$

Алгоритм отслеживания [ править ]

Чтобы создать на неявной кривой многоугольник, разнесенный почти на равные расстояния, выбирают длину шага и${\displaystyle s}$

(T1) выбирает подходящую начальную точку в окрестности кривой

(T2) определяет первую точку кривой с помощью программы${\displaystyle P_{1}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

(T3) определяет касательную (см. Выше), выбирает начальную точку касательной с использованием длины шага (см. Диаграмму) и определяет вторую точку кривой с помощью программы .${\displaystyle s}$${\displaystyle P_{2}}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

${\displaystyle \cdots }$

Поскольку алгоритм отслеживает неявную кривую, он называется алгоритмом отслеживания . Алгоритм отслеживает только соединенные части кривой. Если неявная кривая состоит из нескольких частей, ее нужно запускать несколько раз с подходящими начальными точками.

Пример: иллюстрация растрового алгоритма, примененного к неявной кривой . Кривая (красная) - это то, что пытается нарисовать алгоритм. Точки растра (черные) используются в качестве отправных точек для поиска ближайших точек на кривой (красные кружки). Расстояние между каждой точкой растра увеличено, чтобы показать отдельные точки кривой; для более точной трассировки кривой будет использоваться больше точек растра. ^[4]${\displaystyle F(x,y)=(3x^{2}-y^{2})^{2}y^{2}-(x^{2}+y^{2})^{4}=0}$

Растровый алгоритм [ править ]

Если неявная кривая состоит из нескольких или даже неизвестных частей, может быть лучше использовать алгоритм растеризации . Вместо того, чтобы точно следовать кривой, растровый алгоритм покрывает всю кривую в таком количестве точек, что они сливаются вместе и выглядят как кривая.

(R1) Создайте сеть точек (растр) в интересующей области плоскости xy.

(R2) Для каждой точки растра запустите точечный алгоритм, начиная с P, затем отметьте его выходные данные.${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathsf {CPoint}}}$

Если сеть достаточно плотная, результат аппроксимирует соединенные части неявной кривой. Если для дальнейших приложений потребуются полигоны на кривых, можно отследить интересующие участки с помощью алгоритма трассировки.

Неявные пространственные кривые [ править ]

Любая пространственная кривая, определяемая двумя уравнениями

${\displaystyle {\begin{matrix}F(x,y,z)=0,\\G(x,y,z)=0\end{matrix}}}$

называется неявной пространственной кривой .

Точка кривой , называется регулярной , если векторное произведение градиентов и не в этой точке:${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})=\operatorname {grad} F(x_{0},y_{0},z_{0})\times \operatorname {grad} G(x_{0},y_{0},z_{0})\neq (0,0,0);}$

в противном случае он называется сингулярным . Вектор - это касательный вектор кривой в точке${\displaystyle \mathbf {t} (x_{0},y_{0},z_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0}).}$

Примеры:

${\displaystyle (1)\quad x+y+z-1=0\ ,\ x-y+z-2=0}$

это линия.

${\displaystyle (2)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-4=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

- плоское сечение сферы, следовательно, окружность.

${\displaystyle (3)\quad x^{2}+y^{2}-1=0\ ,\ x+y+z-1=0}$

представляет собой эллипс (плоское сечение цилиндра).

${\displaystyle (4)\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-16=0\ ,\ (y-y_{0})^{2}+z^{2}-9=0}$

кривая пересечения сферы и цилиндра.

Для вычисления точек кривой и визуализации неявной пространственной кривой см. Пересечение .

См. Также [ править ]

• Неявная поверхность

Ссылки [ править ]

• Гомес, А., Войкулеску, И., Хорхе, Дж., Вивилл, Б., Гэлбрейт, Ч .: Неявные кривые и поверхности: математика, структуры данных и алгоритмы , 2009, Springer-Verlag London, ISBN 978-1-84882 -405-8 
• C: L: Bajaj, CM Hoffmann, RE Lynch: Трассировка пересечений поверхностей , Comp. Помощь Geom. Дизайн 5 (1988), 285-307.
• Геометрия и алгоритмы автоматизированного проектирования

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с неявными кривыми .

• Знаменитые кривые