Единичный круг

Тригонометрия

Контур История Применение Функции ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Столы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы ( обратные функции ) Производные
v т е

Иллюстрация единичного круга. Переменная t - это угловая мера.

Анимация разворачивания окружности единичного круга, окружности радиуса 1. Так как

C = 2π r

, длина окружности единичного круга равна

2π

.

В математике , А единичный круг представляет собой окружность единичного радиуса , то есть, радиус 1. ^[1] Часто, особенно в тригонометрии , единичный круг представляет собой окружность радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0) в Декартова система координат на евклидовой плоскости . В топологии его часто обозначают как $S 1,$ потому что это одномерная единица $n$ -сферы . ^[2]^{[примечание 1]}

Если $(x, y)$ - точка на окружности единичной окружности, то $| х |$ и $| y |$ являются длины ног прямоугольного треугольника которого имеет длину гипотенузы 1. Таким образом, по теореме Пифагора , $х$ и $у$ удовлетворяют уравнению

{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = 1.}

Поскольку $x 2 = (- x) 2$ для всех $x$ , и поскольку отражение любой точки на единичной окружности относительно оси $x$ или $y$ также находится на единичной окружности, приведенное выше уравнение выполняется для всех точек $(x, y)$ на единичной окружности, а не только в первом квадранте.

Внутренняя часть единичной окружности называется открытым единичным диском , а внутренняя часть единичной окружности в сочетании с самой единичной окружностью называется замкнутым единичным диском.

Можно также использовать другие понятия «расстояния» для определения других «единичных окружностей», таких как риманова окружность ; дополнительные примеры см. в статье о математических нормах .

В комплексной плоскости [ править ]

Единичный круг можно рассматривать как единичные комплексные числа , т. Е. Набор комплексных чисел $z$ вида

{\ displaystyle z = e ^ {it} = \ cos t + i \ sin t = \ operatorname {cis} (t)}

для всех $t$ (см. также: cis ). Это соотношение представляет собой формулу Эйлера . В квантовой механике это называется фазовым фактором .

Анимация единичного круга с углами

Тригонометрические функции на единичной окружности [ править ]

Все тригонометрические функции угла &

thetas

(тета) может быть построена геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O .

Функция синуса на единичном круге (вверху) и ее график (внизу)

Тригонометрическая функция косинус и синус угла & $thetas$ могут быть определены на единичной окружности следующим образом : если $(х, у)$ является точка на единичной окружности, и если луч от начала координат (0, 0) до $(х, у)$ составляет угол $θ$ от положительной оси $x$ (где поворот против часовой стрелки положителен), то

{\ displaystyle \ cos \ theta = x \ quad {\ text {and}} \ quad \ sin \ theta = y.}

Уравнение $x 2 + y 2 = 1$ дает соотношение

{\ displaystyle \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta = 1.}

Единичный круг также демонстрирует, что синус и косинус являются периодическими функциями с тождествами

{\ Displaystyle \ соз \ тета = \ соз (2 \ пи к + \ тета)}

{\ Displaystyle \ грех \ тета = \ грех (2 \ пи К + \ тета)}

для любого целого $k$ .

Треугольники, построенные на единичной окружности, также можно использовать для иллюстрации периодичности тригонометрических функций. Сначала построим радиус OA от начала координат до точки $P (x 1, y 1)$ на единичной окружности, такой, что угол $t$ с $0 < t < π / 2$ формируется с положительным плечом оси $x$ . Теперь рассмотрим точку $Q (x 1, 0)$ и отрезки $PQ ⊥ OQ$ . В результате $получился$ прямоугольный треугольник $△ OPQ$ с $∠QOP = t$ . Поскольку $PQ$ имеет длину $y 1$ , длину $OQ$ $x 1$ и длину $OA$ 1, $sin (t) = y 1$ и $cos (t) = x 1$ . Установив эти эквивалентности, возьмем другой радиус OR от начала координат до точки $R (- x 1, y 1)$ на окружности так, что тот же угол $t$ образуется с отрицательным плечомоси $x$ . Теперь рассмотрим точку $S (- x 1, 0)$ и отрезки $RS ⊥ OS$ . В результате получается прямоугольный треугольник $△ ORS$ с $∠SOR = t$ . Отсюда видно, что, поскольку $∠ROQ = π - t$ , $R$ находится в $(cos (π - t), sin (π - t))$ точно так же, как P находится в $(cos (t), sin (t))$ . Вывод заключается в том, что, поскольку $(- x 1, y 1)$ совпадает с $(cos (π - t), sin (π - t)),$ а $(x 1, y 1)$ совпадает с $(cos (t) , sin (t))$ верно, что $sin (t) = sin (π - t)$ и $-cos (t) = cos (π - t)$ . Аналогичным образом можно вывести, что $tan (π - t) = -tan (t)$ , поскольку $tan (t) = у 1 / х 1$ и $tan (π - t) = у 1 / - х 1$ . Простую демонстрацию сказанного выше можно увидеть в равенстве $sin (π / 4) = грех (3π / 4 знак равно 1 / \sqrt 2$ .

При работе с прямоугольными треугольниками синус, косинус и другие тригонометрические функции имеют смысл только для углов, измеряемых больше нуля и меньше $π$ /2. Однако, когда они определены с помощью единичного круга, эти функции производят значимые значения для любой действительной угловой меры - даже если она больше 2 $π$ . Фактически, все шесть стандартных тригонометрических функций - синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а также архаические функции, такие как версина и эксеканс, - могут быть определены геометрически в терминах единичной окружности, как показано справа.

Используя единичную окружность, значения любой тригонометрической функции для многих углов, кроме отмеченных, можно вычислить без использования калькулятора, используя формулы суммы и разности углов .

Единичный круг, показывающий координаты определенных точек

Круговая группа [ править ]

Комплексные числа можно отождествить с точками на евклидовой плоскости , а именно число $a + bi$ отождествляется с точкой $(a, b)$ . Согласно этому отождествлению, единичный круг - это группа умножения, называемая круговой группой ; это обычно обозначается. На плоскости умножение на $cos$ $θ$ $+$ $i$ $sin$ $θ$ дает вращение против часовой стрелки на $θ$ . Эта группа имеет важные приложения в математике и естественных науках. ^[^{необходим пример}^] $\mathbb {T} .$

Сложная динамика [ править ]

Единичный круг в сложной динамике

Жюлиа в дискретной нелинейной динамической системы с функцией эволюции :

f_{0}(x)=x^{2}

представляет собой единичный круг. Это простейший случай, поэтому он широко используется при изучении динамических систем.

Заметки [ править ]

^ Как ни странно, в геометрии единичный круг часто считается 2-сферой, а не 1-сферой. Единичный круг «вложен» в 2-мерную плоскость, которая содержит как высоту, так и ширину, поэтому в геометрии он называется 2-сферой. Однако сама поверхность круга одномерная, поэтому топологи классифицируют ее как 1-сферу. Для дальнейшего обсуждения см. Техническое различие между кругом и диском . ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Единичный круг» . mathworld.wolfram.com . Проверено 5 мая 2020 .
^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Гиперсфера" . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 мая 2020 .

См. Также [ править ]

Угловая мера
Пифагорейская тригонометрическая идентичность
Риманов круг
Единичный угол
Единичный диск
Единичная сфера
Гипербола единиц
Единичный квадрат
Поворот (единица)
z-преобразование

[3] ^ Как ни странно, в геометрии единичный круг часто считается 2-сферой, а не 1-сферой. Единичный круг «вложен» в 2-мерную плоскость, которая содержит как высоту, так и ширину, поэтому в геометрии он называется 2-сферой. Однако сама поверхность круга одномерная, поэтому топологи классифицируют ее как 1-сферу. Для дальнейшего обсуждения см. Техническое различие между кругом и диском . ^[2]

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Единичный круг» . mathworld.wolfram.com . Проверено 5 мая 2020 .

[Unit_sphere-2] Вайсштейн, Эрик В. "Гиперсфера" . mathworld.wolfram.com . Проверено 6 мая 2020 .

[1]