Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник ( американский английский ) или прямоугольный треугольник ( британский английский ) представляет собой треугольник , в котором один угол является прямым углом (т.е. 90- градусов угол). Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника является основой тригонометрии .

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой ( на рисунке сторона c ). Стороны, прилегающие к прямому углу, называются ногами (или катетами , в единственном числе: cathetus ). Боковой может быть идентифицирована как со стороны , прилегающей к углу B и в отличие от (или напротив ) угла А , в то время как сторона Ь является сторона , прилегающей к углу А , и в отличие от угла B .

Если длины всех трех сторон прямоугольного треугольника являются целыми числами, треугольник называется треугольником Пифагора, а длины его сторон вместе известны как тройка Пифагора .

Основные свойства [ править ]

Площадь [ править ]

Как и в случае с любым треугольником, площадь равна половине основания, умноженной на соответствующую высоту. В прямоугольном треугольнике, если за основу берется одна ножка, тогда другая имеет высоту, поэтому площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения двух ножек. В качестве формулы площадь T равна

${\ displaystyle T = {\ tfrac {1} {2}} ab}$

где a и b - катеты треугольника.

Если вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке P, то, обозначая полупериметр ( a + b + c ) / 2 как s , мы имеем PA = s - a и PB = s - b , а площадь задается к

${\ displaystyle T = {\ text {PA}} \ cdot {\ text {PB}} = (sa) (sb).}$

Эта формула применима только к прямоугольным треугольникам. ^[1]

Высота [ править ]

Высота прямоугольного треугольника

Если высота проводится от вершины под прямым углом к ​​гипотенузе, то треугольник делится на два меньших треугольника, которые похожи на оригинал и, следовательно, похожи друг на друга. Из этого:

• Высота до гипотенузы - это среднее геометрическое ( среднее пропорциональное ) двух сегментов гипотенузы. ^{[2] : 243}
• Каждый катет треугольника - это среднее значение, пропорциональное гипотенузе и сегменту гипотенузы, примыкающему к катету.

В уравнениях

${\ displaystyle \ displaystyle f ^ {2} = de,}$(это иногда называют теоремой о высоте прямоугольного треугольника )

${\ displaystyle \ displaystyle b ^ {2} = ce,}$

${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} = cd}$

где a , b , c , d , e , f такие, как показано на схеме. ^[3] Таким образом

${\ displaystyle f = {\ frac {ab} {c}}.}$

Более того, высота гипотенузы связана с катетами прямоугольного треугольника соотношением ^{[4] [5]}

${\ displaystyle {\ frac {1} {a ^ {2}}} + {\ frac {1} {b ^ {2}}} = {\ frac {1} {f ^ {2}}}.}$

Для решений этого уравнения в целых значениях a, b, f и c см. Здесь .

Высота каждой ноги совпадает с другой ногой. Поскольку они пересекаются в прямоугольной вершине, ортоцентр прямоугольного треугольника - точка пересечения трех его высот - совпадает с прямоугольной вершиной.

Теорема Пифагора [ править ]

Теорема Пифагора утверждает, что:

В любом прямоугольном треугольнике площадь квадрата , сторона которого является гипотенузой (сторона, противоположная прямому углу), равна сумме площадей квадратов, стороны которых являются двумя катетами (двумя сторонами, которые встречаются под прямым углом. ).

Это можно сформулировать в виде уравнения как

${\ displaystyle \ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}}$

где c - длина гипотенузы, а a и b - длины двух оставшихся сторон.

Пифагоровы тройки - это целые числа a, b, c, удовлетворяющие этому уравнению.

Инрадиус и окружной радиус [ править ]

Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника с катетами a и b и гипотенузой c равен

${\ displaystyle r = {\ frac {a + bc} {2}} = {\ frac {ab} {a + b + c}}.}$

Радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы,

${\ displaystyle R = {\ frac {c} {2}}.}$

Таким образом, сумма радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса равна половине суммы катетов: ^[6]

${\ displaystyle R + r = {\ frac {a + b} {2}}.}$

Одна из ножек может быть выражена через внутренний радиус, а другая - как

${\ displaystyle \ displaystyle a = {\ frac {2r (br)} {b-2r}}.}$

Характеристики [ править ]

Треугольник ABC со сторонами , полупериметром s , площадью T , высотой h, противоположной самой длинной стороне, радиусом R описанной окружности , внутренним радиусом r , exradii r _a , r _b , r _c (касательными к a , b , c соответственно) и медианами m _a , m _b , m _c - прямоугольный треугольник тогда и только тогда, когда${\ Displaystyle а \ leq b <c}$ верно любое из утверждений в следующих шести категориях. Все они, конечно же, также являются свойствами прямоугольного треугольника, поскольку характеризации являются эквивалентностями.

Стороны и полупериметр [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad ({\text{Pythagorean theorem}})}$
• ${\displaystyle \displaystyle (s-a)(s-b)=s(s-c)}$
• ${\displaystyle \displaystyle s=2R+r.}$^[7]
• ${\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}.}$^[8]

Углы [ править ]

• И B являются взаимодополняющими . ^[9]
• ${\displaystyle \displaystyle \cos {A}\cos {B}\cos {C}=0.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \displaystyle \sin ^{2}{A}+\sin ^{2}{B}+\sin ^{2}{C}=2.}$^{[8] [10]}
• ${\displaystyle \displaystyle \cos ^{2}{A}+\cos ^{2}{B}+\cos ^{2}{C}=1.}$^[10]
• ${\displaystyle \displaystyle \sin {2A}=\sin {2B}=2\sin {A}\sin {B}.}$

Площадь [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {ab}{2}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r_{a}r_{b}=rr_{c}}$
• ${\displaystyle \displaystyle T=r(2R+r)}$
• ${\displaystyle \displaystyle T={\frac {(2s-c)^{2}-c^{2}}{4}}=s(s-c)}$
• ${\displaystyle T=PA\cdot PB,}$где P - точка касания вписанной окружности по самой длинной стороне AB . ^[11]

Inradius и exradii [ править ]

• ${\displaystyle \displaystyle r=s-c=(a+b-c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}=s-b=(a-b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{b}=s-a=(-a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{c}=s=(a+b+c)/2}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=a+b+c}$
• ${\displaystyle \displaystyle r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}}$
• ${\displaystyle \displaystyle r={\frac {r_{a}r_{b}}{r_{c}}}.}$^[12]

Высота и медианы [ править ]

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о трех сторонах треугольника ( p  +  q , r , s  ) , ( r , p , h  ) и ( s , h , q  ) ,
${\displaystyle {\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle \displaystyle h={\frac {ab}{c}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}=6R^{2}.}$^{[6] : Вероятность. 954, стр. 26}
• Длина одной медианы равна окружному радиусу .
• Короткая высота (одна из вершины с самым большим углом) является средней геометрическим из отрезков , она делит противоположную (длинную) в сторону. Это теорема о высоте прямоугольного треугольника .

Окружность и вписанная окружность [ править ]

• Треугольник можно вписать в полукруг с одной стороной, совпадающей со всем диаметром ( теорема Фалеса ).
• Центр окружности - это середина самой длинной стороны.
• Длинная сторона является диаметром от окружности ${\displaystyle \displaystyle (c=2R).}$
• Описанная окружность касается окружности с девятью точками . ^[8]
• В ортоцентре лежит на окружности. ^[6]
• Расстояние между центром и ортоцентром равно . ^[6]${\displaystyle {\sqrt {2}}r}$

Тригонометрические отношения [ править ]

В тригонометрические функции для углов острых можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника. Для данного угла может быть построен прямоугольный треугольник с этим углом, а стороны, обозначенные противоположными, смежными и гипотенузами, относятся к этому углу в соответствии с определениями, приведенными выше. Эти соотношения сторон не зависят от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, а только от заданного угла, поскольку все треугольники, построенные таким образом, подобны . Если для данного угла α противоположная сторона, прилегающая сторона и гипотенуза обозначены буквами O , A и H соответственно, то тригонометрические функции будут

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {O}{H}},\,\cos \alpha ={\frac {A}{H}},\,\tan \alpha ={\frac {O}{A}},\,\sec \alpha ={\frac {H}{A}},\,\cot \alpha ={\frac {A}{O}},\,\csc \alpha ={\frac {H}{O}}.}$

Для выражения гиперболических функций , как отношения сторон прямоугольного треугольника, см гиперболического треугольника в виде гиперболического сектора .

Специальные прямоугольные треугольники [ править ]

Значения тригонометрических функций можно вычислить точно для определенных углов, используя прямоугольные треугольники со специальными углами. К ним относятся треугольник 30-60-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного π / 6, и треугольник 45-45-90, который можно использовать для оценки тригонометрических функций для любого кратного π / 4. .

Треугольник Кеплера [ править ]

Пусть Н , О , и быть гармоническое среднее , то геометрическое среднее , а среднее арифметическое двух положительных чисел через и Ь с с > б . Если прямоугольный треугольник имеет катеты H и G и гипотенузу A , то ^[13]

${\displaystyle {\frac {A}{H}}={\frac {A^{2}}{G^{2}}}={\frac {G^{2}}{H^{2}}}=\phi \,}$

и

${\displaystyle {\frac {a}{b}}=\phi ^{3},\,}$

где - золотое сечение. Поскольку стороны этого прямоугольного треугольника находятся в геометрической прогрессии , это треугольник Кеплера .${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.\,}$

Теорема Фалеса [ править ]

Теорема Фалеса утверждает, что если A - любая точка окружности с диаметром BC (кроме самих B или C ), ABC - это прямоугольный треугольник, где A - прямой угол. Обратное утверждает, что если прямоугольный треугольник вписан в круг, то гипотенуза будет диаметром круга. Следствие состоит в том, что длина гипотенузы в два раза больше расстояния от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Кроме того, центр круга, описывающего прямоугольный треугольник, является серединой гипотенузы, а ее радиус составляет половину длины гипотенузы.

Медианы [ править ]

Следующие формулы верны для медиан прямоугольного треугольника:

${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}$

Медиана на гипотенузе прямоугольного треугольника делит треугольник на два равнобедренных треугольника, потому что медиана равна половине гипотенузы.

Медианы m _a и m _b от опор удовлетворяют ^{[6] : стр.136, № 3110}

${\displaystyle 4c^{4}+9a^{2}b^{2}=16m_{a}^{2}m_{b}^{2}.}$

Линия Эйлера [ править ]

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера содержит середину гипотенузы, то есть она проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине. Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот, падает на прямоугольную вершину, а его центр описанной окружности, пересечение его серединных перпендикуляров сторон , падает на середину гипотенузы.

Неравенства [ править ]

В любом прямоугольном треугольнике диаметр вписанной окружности меньше половины гипотенузы, и более того, он меньше или равен временам гипотенузы ^{[14] : с.281}${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1).}$

В прямоугольном треугольнике с ногами , б и гипотенуза гр ,

${\displaystyle c\geq {\frac {\sqrt {2}}{2}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : с.282, с.358}

Если обозначить высоту от гипотенузы h _c , то

${\displaystyle h_{c}\leq {\frac {\sqrt {2}}{4}}(a+b)}$

с равенством только в равнобедренном случае. ^{[14] : с.282}

Другие свойства [ править ]

Если отрезки длины p и q, исходящие из вершины C, рассекают гипотенузу на отрезки длины c / 3, то ^{[2] : с. 216–217}

${\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}$

Прямоугольный треугольник - единственный треугольник, имеющий два, а не один или три отдельных вписанных квадрата. ^[15]

При h > k . Пусть h и k стороны двух вписанных квадратов в прямоугольный треугольник с гипотенузой c . потом

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{k^{2}}}.}$

Эти стороны и радиус вписанной окружности r связаны аналогичной формулой:

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{r}}=-{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{h}}+{\frac {1}{k}}.}$

Периметр прямоугольного треугольника равен сумме радиусов вписанной окружности и трех вневписанных окружностей :

${\displaystyle a+b+c=r+r_{a}+r_{b}+r_{c}.}$

См. Также [ править ]

• Острые и тупые треугольники (косые треугольники)

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Прямой треугольник» . MathWorld .
• Вентворт, Джорджия (1895). Учебник геометрии . Джинн и Ко.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме прямоугольных треугольников .

• Калькулятор прямоугольных треугольников
• Расширенный калькулятор прямоугольного треугольника