Высота (треугольник)

Три высоты треугольника пересекаются в ортоцентре, который для острого треугольника находится внутри треугольника.

В геометрии , высота из треугольника является отрезок через вершину и перпендикуляр к (то есть, образуя прямой угол с) строкой , содержащего основание ( со стороны , противоположной вершиной). Эта линия, содержащая противоположную сторону, называется расширенной базой высоты. Пересечение расширенного основания и высоты называется подножием.высоты. Длина высоты, часто называемая просто «высотой», - это расстояние между расширенным основанием и вершиной. Процесс рисования высоты от вершины до ступни называется понижением высоты в этой вершине. Это частный случай ортогональной проекции .

Высоты можно использовать при вычислении площади треугольника: половина произведения длины высоты на длину основания равна площади треугольника. Таким образом, самая длинная высота перпендикулярна самой короткой стороне треугольника. Высоты также связаны со сторонами треугольника через тригонометрические функции .

В прямоугольном треугольнике высота каждого острого угла совпадает с катетом и пересекает противоположную сторону в прямоугольной вершине, которая является ортоцентром (имеет основание в).

В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) высота, имеющая неконгруэнтную сторону в качестве основания, будет иметь середину этой стороны в качестве основания. Также высота, в основе которой лежит неконгруэнтная сторона, будет биссектрисой угла при вершине.

Обычно высоту обозначают буквой h (как в высоту ), часто с нижним индексом с названием стороны, на которую рисуется высота.

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе c, делит гипотенузу на два отрезка длиной p и q . Если обозначить длину высоты через h _c , то получим соотношение

{\ displaystyle h_ {c} = {\ sqrt {pq}}}

( Геометрическая теорема о среднем )

Высоты от каждого из острых углов тупого треугольника лежат полностью вне треугольника, как и ортоцентр H.

Для острых и прямоугольных треугольников все основания высот приходятся на стороны треугольника (не вытянутые). В тупоугольном треугольнике (треугольнике с тупым углом ) основание высоты до тупоугольной вершины попадает внутрь противоположной стороны, но основания высот к остроугольным вершинам падают на противоположную вытянутую сторону. , вне треугольника. Это показано на соседней диаграмме: в этом тупом треугольнике высота, пониженная перпендикулярно верхней вершине, имеющей острый угол, пересекает расширенную горизонтальную сторону вне треугольника.

Ортоцентр [ править ]

Три высоты, пересекающиеся в ортоцентре

Три (возможно , расширено) абсолютные высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентр треугольника, обычно обозначаемый $Н$ . ^[1]^[2] Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник острый (т.е. не имеет угла больше или равного прямому). Если один угол является прямым углом, ортоцентр совпадает с вершиной под прямым углом. ^[2]

Пусть $A, B, C$ обозначают вершины, а также углы треугольника, и пусть $a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |$ быть длинами сторон. Ортоцентр имеет трилинейные координаты ^[3]

${\ displaystyle \ sec A: \ sec B: \ sec C = \ cos A- \ sin B \ sin C: \ cos B- \ sin C \ sin A: \ cos C- \ sin A \ sin B,}$

и барицентрические координаты

{\ displaystyle \ displaystyle (a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) :( a ^ {2} -b ^ {2} + c ^ { 2}) (- a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})}

{\ displaystyle = \ tan A: \ tan B: \ tan C.}

Поскольку все барицентрические координаты положительны для точки внутри треугольника, но по крайней мере одна отрицательна для точки на внешней стороне, а две из барицентрических координат равны нулю для точки вершины, барицентрические координаты, данные для ортоцентра, показывают, что ортоцентр находится внутри острого треугольника , в прямоугольной вершине прямоугольного треугольника и вне тупого треугольника .

В комплексной плоскости , пусть точки $,$ $B$ и $C$ представляют собой цифры , и, соответственно, и предположим , что окружности треугольника $ABC$ расположен в начале координат плоскости. Тогда комплексное число ${\ displaystyle z_ {A}}$ ${\ displaystyle z_ {B}}$ ${\ displaystyle z_ {C}}$

{\ displaystyle z_ {H} = z_ {A} + z_ {B} + z_ {C}}

представлен точкой $H$ , а именно ортоцентром треугольника $ABC$ . ^[4] Отсюда можно непосредственно установить следующие характеристики ортоцентра $H$ с помощью свободных векторов :

{\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.

Первое из предыдущих векторных тождеств также известно как проблема Сильвестра , предложенная Джеймсом Джозефом Сильвестром . ^[5]

Свойства [ править ]

Пусть $D, E$ и $F$ обозначают основания высот от $A, B$ и $C$ соответственно. Потом:

Произведение длин сегментов, на которые ортоцентр делит высоту, одинаково для всех трех высот: ^[6]^[7]

AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.

Круг с центром в

H,

имеющий радиус квадратный корень из этой константы, является полярным кругом треугольника . ^[8]

Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от основания к длине высоты равна 1: ^[9] (Это и следующее свойство являются приложениями более общего свойства любой внутренней точки и через него три чевиана .)

{\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.

Сумма отношений на трех высотах расстояния ортоцентра от вершины к длине высоты равна 2: ^[9]

{\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.

Изогональный конъюгат из ортоцентра является окружностью треугольника. ^[10]

Изотомическое сопряжение из ортоцентра является симедиана точкой из антикомплементарную треугольника . ^[11]

Четыре точки на плоскости, одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного другими тремя, называются ортоцентрической системой или ортоцентрическим четырехугольником.

Связь с кругами и кониками [ править ]

Обозначим описанной окружности треугольника с помощью $R$ . Тогда ^[12]^[13]

a^{2}+b^{2}+c^{2}+AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}.

Кроме того, обозначая $r$ как радиус вписанной окружности треугольника , $r a, r b$ и $r c$ как радиусы его вневписанных окружностей , а $R$ снова как радиус его описанной окружности, следующие соотношения справедливы относительно расстояний ортоцентра от вершины: ^[14]

r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,

r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.

Если любую высоту, например $AD$ , продолжить до пересечения описанной окружности в точке $P$ , так что $AP$ является хордой описанной окружности, то основание $D$ делит отрезок $HP$ пополам : ^[7]

HD=DP.

В директрисах всех парабол , которые внешне касательную к одной из сторон треугольника и касательной к продолжениям других сторон проходят через ортоцентр. ^[15]

Circumconic , проходящий через ортоцентр треугольника является прямоугольной гиперболой . ^[16]

Отношение к другим центрам, круг из девяти точек [ править ]

Ортоцентр $H$ , центроид $G$ , центр описанной окружности $O$ и центр $N$ окружности из девяти точек лежат на одной прямой, известной как линия Эйлера . ^[17] Центр окружности из девяти точек находится в средней точке линии Эйлера, между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центром тяжести и центром описанной окружности составляет половину расстояния между центром тяжести и ортоцентром: ^[18]

OH=2NH,

2OG=GH.

Ортоцентр ближе к центру $I,$ чем к центроиду, а ортоцентр дальше, чем центр тяжести от центроида:

HI<HG,

HG>IG.

С точки зрения сторон $a, b, c$ , радиуса $r$ и описанного радиуса $R$ , ^[19]

OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),

^[20]^{: с. 449}

HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.

Ортический треугольник [ править ]

Треугольник

abc

(соответственно

DEF

в тексте) - это ортический треугольник треугольника

ABC.

Если треугольник $АВС$ является косым (не содержит правый угол), то педаль треугольник из ортоцентра исходного треугольника называется orthic треугольник или высота треугольника . То есть основания высот наклонного треугольника образуют ортический треугольник $DEF$ . Кроме того, центр (центр вписанной окружности) ортогонального треугольника $DEF$ является ортоцентром исходного треугольника $ABC$ . ^[21]

Трилинейные координаты вершин ортогонального треугольника задаются выражением

$D = 0: сек B : сек C$
$E = сек A : 0: сек C$
$F = сек A : сек B : 0$ .

В протяженной стороны этого треугольника пересекается orthic противоположности расширенной стороны ее опорного треугольника в три коллинеарных точках . ^[22]^[23]^[21]

В любом остром треугольнике вписанный треугольник с наименьшим периметром - это ортический треугольник. ^[24] Это решение проблемы Фаньяно , поставленной в 1775 году. ^[25] Стороны ортогонального треугольника параллельны касательным к описанной окружности в вершинах исходного треугольника. ^[26]

Ортический треугольник острого треугольника дает треугольный световой путь. ^[27]

Касательные линии девятиконечной окружности в серединах сторон $ABC$ параллельны сторонам ортогонального треугольника, образуя треугольник, подобный ортическому треугольнику. ^[28]

Ортический треугольник тесно связан с касательным треугольником , построенным следующим образом: пусть $L A$ будет прямой, касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в вершине $A$ , и определим $L B$ и $L C$ аналогично. Пусть $A " = L B \cap L C$ , $B" = L C \cap L A$ , $C " = L C \cap L A.$ Тангенциальный треугольник - это $A" B "C"$ , стороны которого являются касательными к описанной окружности треугольника $ABC$ в его вершинах; он гомотетичен ортическому треугольнику. Центр описанной окружности тангенциального треугольника и центр подобия ортического и касательного треугольников находятся на прямой Эйлера . ^[20]^{: с. 447}

Трилинейные координаты вершин касательного треугольника задаются выражением

$A " = - a : b : c$
$B " = a : - b : c$
$C " = a : b : - c$ .

Дополнительную информацию об ортическом треугольнике см. Здесь .

Некоторые дополнительные теоремы о высоте [ править ]

Высота по сторонам [ править ]

Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$ и полупериметром $s = (a + b + c) / 2$ высота со стороны $a$ определяется выражением

h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}.

Это следует из сочетания формулы Герона для площади треугольника с точкой зрения сторон с формулой площади (1/2) × × высота базы, где основание берутся в качестве бокового $а$ , а высота высоты от $A$ .

Теоремы Инрадиуса [ править ]

Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами $a, b, c$ и соответствующими высотами $h a, h b$ и $h c$ . Высоты и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением ^[29]^{: Лемма 1}

\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.

Теорема Циркумрадиуса [ править ]

Обозначая высоту от одной стороны треугольника как $ч а$ , а две другие стороны как $б$ и $с$ , и треугольника описанной окружности (радиус описанной окружности треугольника) , как $R$ , высота задается ^[30]

h_{a}={\frac {bc}{2R}}.

Внутренняя точка [ править ]

Если $p 1, p 2$ и $p 3$ - перпендикулярные расстояния от любой точки $P$ до сторон, а $h 1, h 2$ и $h 3$ - высоты до соответствующих сторон, то ^[31]

{\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.

Теорема площади [ править ]

Обозначая высоты любого треугольника из сторон $,$ $б$ и $с$ , соответственно , как , , и , и обозначая полуприцеп суммы обратных высот , как мы имеем ^[32] $h_{a}$ $h_{b}$ $h_{c}$ $H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2$

\mathrm {Area} ^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.

Общая точка на высоте [ править ]

Если $E$ - любая точка на высоте $AD$ любого треугольника $ABC$ , то ^[33]^{: 77–78}

AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.

Треугольники особого случая [ править ]

Равносторонний треугольник [ править ]

Для любой точки $P$ внутри равностороннего треугольника сумма перпендикуляров к трем сторонам равна высоте треугольника. Это теорема Вивиани .

Правый треугольник [ править ]

Высота прямоугольного треугольника от его прямого угла до гипотенузы - это среднее геометрическое длин отрезков, на которые разбита гипотенуза. Используя теорему Пифагора о трех треугольниках сторон ( p + q , r , s ) , ( r , p , h ) и ( s , h , q ) ,

{\begin{aligned}(p+q)^{2}\;\;&=\quad r^{2}\;\;\,+\quad s^{2}\\p^{2}\!\!+\!2pq\!+\!q^{2}&=\overbrace {p^{2}\!\!+\!h^{2}} +\overbrace {h^{2}\!\!+\!q^{2}} \\2pq\quad \;\;\;&=2h^{2}\;\therefore h\!=\!{\sqrt {pq}}\\\end{aligned}}

В прямоугольном треугольнике три высоты $h a, h b$ и $h c$ (первые две из которых равны длинам участков $b$ и $a$ соответственно) связаны согласно ^[34]^[35]

{\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.

История [ править ]

Теорема о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, ортоцентре, была впервые доказана в публикации 1749 года Уильямом Чапплом . ^[36]

См. Также [ править ]

Центр треугольника
Медиана (геометрия)

Заметки [ править ]

Перейти ↑ Smart 1998 , p. 156
^ a b Berele & Goldman 2001 , стр. 118
^ Энциклопедия Кларк Кимберлинг о Triangle центров «архивной копии» . Архивировано из оригинала на 2012-04-19 . Проверено 19 апреля 2012 .CS1 maint: archived copy as title (link)
^ Андрееску, Титу; Андрица, Дорин , "Комплексные числа от А до ... Я". Биркхойзер, Бостон, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3
^ Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142
^ Джонсон 2007 , стр. 163, статья 255
^ a b " " Ортоцентр треугольника " " . Архивировано из оригинала на 2012-07-05 . Проверено 4 мая 2012 .
^ Джонсон 2007 , стр. 176, статья 278
^ a b Panapoi, Ronnachai, "Некоторые свойства ортоцентра треугольника" , Университет Джорджии .
Перейти ↑ Smart 1998 , p. 182
^ Вайсштейн, Эрик В. "Изотомическое сопряжение" из MathWorld - веб-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
^ Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.
^ Altshiller-суд 2007 , стр. 102
↑ Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, обратная ей и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Parabola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
↑ Weisstein, Eric W. Jerabek Hyperbola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
^ Berele & Goldman 2001 , стр. 123
^ Berele & Goldman 2001 , стр. 124-126
^ Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
^ a b Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.
^ a b Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ISBN. 0-8218-3900-4.См. Также: следствие 5.5, с. 318.
^ Джонсон 2007 , стр. 199, статья 315
^ Altshiller-суд 2007 , стр. 165
^ Джонсон 2007 , стр. 168, статья 264
^ Berele & Goldman 2001 , стр. 120-122
^ Джонсон 2007 , стр. 172, Раздел 270c
↑ Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые пути», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298-299.
Перейти ↑ Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery Approach , HarperCollins, p. 6, ISBN 0-06-500006-4
^ Дорин Андрица и Дэн Стефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
^ Джонсон 2007 , стр. 71, раздел 101а
^ Джонсон 2007 , стр. 74, Раздел 103c
^ Митчелл, Дуглас В., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.
^ Альфред S Посаментьер и Чарльз Т. Залкинд, сложные проблемы в геометрии , Dover Publishing Co., второй пересмотренное издание 1996 года.
^ Волс, Роджер, "Целочисленные решения", Mathematical Gazette 83, июль 1999, 269–271. $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$
^ Richinick, Дженнифер, "Перевернутая теоремы Пифагора," Математический вестник 92 июля 2008, 313-317.
^ Богомольный, Александр , «вохможно Первое доказательство Совпадение Высоты» , разрубить узел , извлекаются 2019-11-17

Ссылки [ править ]

Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], College Geometry , Dover Publications
Береле, Аллан; Голдман, Джерри (2001), Геометрия / Теоремы и конструкции , Прентис Холл, ISBN 0-13-087121-4
Джонсон, Роджер А. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry , Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
Смарт, Джеймс Р. (1998), Современная геометрия (5-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-35188-3

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. «Высота» . MathWorld .
Ортоцентр треугольника С интерактивной анимацией
Анимированная демонстрация построения ортоцентра. Компас и линейка.
Проблема Фаньяно Джея Варендорфа, Wolfram Demonstrations Project .

[1] Перейти ↑ Smart 1998 , p. 156

[BG118-2] Berele & Goldman 2001 , стр. 118

[ck-3] Энциклопедия Кларк Кимберлинг о Triangle центров «архивной копии» . Архивировано из оригинала на 2012-04-19 . Проверено 19 апреля 2012 .CS1 maint: archived copy as title (link)

[Andreescu-4] Андрееску, Титу; Андрица, Дорин , "Комплексные числа от А до ... Я". Биркхойзер, Бостон, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3 , стр. 90, Предложение 3

[Dorrie-5] Дёрри, Генрих, "100 великих проблем элементарной математики. Их история и решение". Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965, ISBN 0-486-61348-8 , стр. 142

[6] Джонсон 2007 , стр. 163, статья 255

[pballew-7] " " Ортоцентр треугольника " " . Архивировано из оригинала на 2012-07-05 . Проверено 4 мая 2012 .

[8] Джонсон 2007 , стр. 176, статья 278

[Panapoi-9] Panapoi, Ronnachai, "Некоторые свойства ортоцентра треугольника" , Университет Джорджии .

[10] Перейти ↑ Smart 1998 , p. 182

[11] Вайсштейн, Эрик В. "Изотомическое сопряжение" из MathWorld - веб-ресурс Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html

[12] Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр". Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram.

[13] Altshiller-суд 2007 , стр. 102

[14] Белл, Эми, «Теорема Хансена о прямоугольном треугольнике, обратная ей и обобщение», Forum Geometricorum 6, 2006, 335–342.

[15] Перейти ↑ Weisstein, Eric W. Kiepert Parabola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html

[16] Weisstein, Eric W. Jerabek Hyperbola. Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html

[17] Berele & Goldman 2001 , стр. 123

[18] Berele & Goldman 2001 , стр. 124-126

[19] Мари-Николь Гра, «Расстояния между центром описанной окружности треугольника вне касания и классическими центрами», Forum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html

[SL-20] Смит, Джефф и Леверша, Джерри, «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette 91, ноябрь 2007 г., 436–452.

[Barker-21] Уильям Х. Баркер, Роджер Хоу (2007). «§ VI.2: Классические совпадения». Непрерывная симметрия: от Евклида до Клейна . Американское математическое общество. п. 292. ISBN. 0-8218-3900-4.См. Также: следствие 5.5, с. 318.

[22] Джонсон 2007 , стр. 199, статья 315

[23] Altshiller-суд 2007 , стр. 165

[Johnson-24] Джонсон 2007 , стр. 168, статья 264

[25] Berele & Goldman 2001 , стр. 120-122

[26] Джонсон 2007 , стр. 172, Раздел 270c

[27] Брайант В. и Брэдли Х., «Треугольные световые пути», Mathematical Gazette 82, июль 1998 г., 298-299.

[28] Перейти ↑ Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery Approach , HarperCollins, p. 6, ISBN 0-06-500006-4

[29] Дорин Андрица и Дэн Стефан Маринеску. «Новые интерполяционные неравенства к R ≥ 2r Эйлера». Forum Geometricorum , Том 17 (2017), стр. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf

[30] Джонсон 2007 , стр. 71, раздел 101а

[31] Джонсон 2007 , стр. 74, Раздел 103c

[32] Митчелл, Дуглас В., "Формула типа Герона для обратной площади треугольника", Mathematical Gazette 89, ноябрь 2005 г., 494.

[Posamentier-33] Альфред S Посаментьер и Чарльз Т. Залкинд, сложные проблемы в геометрии , Dover Publishing Co., второй пересмотренное издание 1996 года.

[34] Волс, Роджер, "Целочисленные решения", Mathematical Gazette 83, июль 1999, 269–271. $a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}$

[35] Richinick, Дженнифер, "Перевернутая теоремы Пифагора," Математический вестник 92 июля 2008, 313-317.

[36] Богомольный, Александр , «вохможно Первое доказательство Совпадение Высоты» , разрубить узел , извлекаются 2019-11-17