Ортоцентрическая система

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Ортоцентрическая система»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Ортоцентрическая система . Любая точка - это ортоцентр треугольника, образованного тремя другими.

В геометрии , orthocentric система представляет собой набор из четырех точек на плоскости , одна из которых является ортоцентром из треугольника , образованного трех других.

Если четыре точки образуют ортоцентрическую систему, то каждая из четырех точек является ортоцентром остальных трех. Эти четыре возможных треугольника будут иметь один и тот же круг из девяти точек . Следовательно, все эти четыре возможных треугольника должны иметь описанные окружности с одинаковым радиусом описанной окружности .

Обычный круг из девяти точек [ править ]

Обычная окружность из девяти точек , где O, O ₄ и A ₄ - это центр из девяти точек, центр описанной окружности и ортоцентр соответственно треугольника, образованного из трех других ортоцентрических точек A ₁ , A ₂ и A ₃ .

Центр этого общего круга из девяти точек находится в центре четырех ортоцентрических точек. Радиус общего круга из девяти точек - это расстояние от центра из девяти точек до середины любого из шести соединителей, которые соединяют любую пару ортоцентрических точек, через которые проходит общий круг из девяти точек. Круг из девяти точек также проходит через три ортогональных пересечения в основании высот четырех возможных треугольников.

Этот общий центр из девяти точек находится в средней точке соединителя, который соединяет любую ортоцентрическую точку с центром описанной окружности треугольника, образованного из трех других ортоцентрических точек.

Общая окружность из девяти точек касается всех 16 вписанных и вневписанных окружностей четырех треугольников, вершины которых образуют ортоцентрическую систему. ^[1]

Обычный ортический треугольник, его центральная и внешняя части [ править ]

Если шесть соединителей, соединяющих любую пару ортоцентрических точек, продлить до шести линий, пересекающих друг друга, они образуют семь точек пересечения. Четыре из этих точек являются исходными ортоцентрическими точками, а дополнительные три точки - ортогональными пересечениями в основании высот . Соединение этих трех ортогональных точек в треугольник создает ортогональный треугольник, который является общим для всех четырех возможных треугольников, образованных из четырех ортоцентрических точек, взятых по три за раз.

Вписанные этот общего orthic треугольника должен быть один из первых четырех orthocentric точек. Кроме того, три оставшиеся точки становятся эксцентрами этого обычного ортогонального треугольника. Ортоцентрическая точка, которая становится центром ортогонального треугольника, - это ортоцентрическая точка, ближайшая к общему центру из девяти точек. Это соотношение между orthic треугольником и четыре исходными orthocentric точек непосредственно приводят к тому , что вписанные и центрам вневписанных окружностей опорного треугольника образуют orthocentric системы. ^{[2] : с.182}

Нормально отличать одну из ортоцентрических точек от других, особенно ту, которая является центром ортогонального треугольника; это одно обозначается H как ортоцентра наружных трех orthocentric точек, которые выбраны в качестве опорного треугольника АВС . В этой нормализованной конфигурации точка H всегда будет лежать внутри треугольника ABC , и все углы треугольника ABC будут острыми. Четыре возможных треугольника, упомянутых выше, тогда называются треугольниками ABC , ABH , ACH и BCH . Шесть упомянутых выше разъемов - это AB , AC , BC., AH , BH и CH . Семь пересечений, упомянутых выше, - это A , B , C , H (исходные ортоцентрические точки) и H _A , H _B , H _C (основания высот треугольника ABC и вершины ортогонального треугольника).

Ортоцентрическая система и ее ортические оси [ править ]

Orthic ось , связанная с нормированной orthocentric системы A , B , C и H , где АВС является эталонным треугольник, является линией , которая проходит через три точки пересечения образуются , когда каждая сторона orthic треугольника встречает каждую сторону опорного треугольника. Теперь рассмотрим три других возможных треугольника: ABH , ACH и BCH . У каждого из них есть своя ортическая ось.

Линии Эйлера и гомотетические ортоцентрические системы [ править ]

Ортоцентрическая система . Где O ₁ , O ₂ , O ₃ и O ₄ являются центрами описанной окружности четырех возможных треугольников, образованных из ортоцентрических точек A ₁ , A ₂ , A ₃ и A ₄ .

Пусть векторы a , b , c и h определяют положение каждой из четырех ортоцентрических точек, и пусть n = ( a + b + c + h ) / 4 будет вектором положения N, общего центра из девяти точек. Соедините каждую из четырех ортоцентрических точек с их общим центром из девяти точек и вытяните их на четыре линии. Эти четыре линии теперь представляют собой линии Эйлера четырех возможных треугольников, где расширенная линия HN является линией Эйлера треугольника ABC, а расширенная линия AN является линией Эйлера треугольника.ВСН и т.д. Если точка Р выбирается на прямой Эйлера HN ссылки треугольника ABC с положением вектора р такое , что р = п + α ( ч  -  п ) , где α является чистым константа , не зависящая от расположения четырех orthocentric точки и еще три точки P _A , P _B , P _C такие, что p _a = n + α ( a  -  n ) и т. д., то P , P _A , P_B , P _C образуют ортоцентрическую систему. Эта сгенерированная ортоцентрическая система всегда гомотетична исходной системе из четырех точек с общим девятиточечным центром в качестве гомотетического центра и α - отношением подобия .

Когда P выбран в качестве центроида G , тогда α = −1/3. Когда P выбирается в качестве центра описанной окружности O, тогда α = -1 и сгенерированная ортоцентрическая система конгруэнтна исходной системе, а также является ее отражением относительно центра из девяти точек. В этой конфигурации P _A , P _B , P _C образуют треугольник Джонсона исходного контрольного треугольника ABC . Следовательно, описанные окружности четырех треугольников ABC , ABH , ACH , BCHвсе равны и образуют набор кругов Джонсона, как показано на диаграмме рядом.

Другие свойства [ править ]

Четыре линии Эйлера ортоцентрической системы ортогональны четырем ортическим осям ортоцентрической системы.

Шесть соединителей, которые соединяют любую пару из исходных четырех ортоцентрических точек, образуют пары соединителей, которые ортогональны друг другу, так что они удовлетворяют уравнениям расстояния

${\ displaystyle AB ^ {2} + CH ^ {2} = AC ^ {2} + BH ^ {2} = BC ^ {2} + AH ^ {2} = 4R ^ {2}}$

где R - общий радиус описанной окружности четырех возможных треугольников. Эти уравнения вместе с законом синусов приводят к тождеству

${\ displaystyle {\ frac {BC} {\ sin {A}}} = {\ frac {AC} {\ sin {B}}} = {\ frac {AB} {\ sin {C}}} = {\ frac {HA} {| \ cos {A} |}} = {\ frac {HB} {| \ cos {B} |}} = {\ frac {HC} {| \ cos {C} |}} = 2R .}$

Теорема Фейербаха утверждает, что окружность с девятью точками касается вписанной окружности и трех вневписанных окружностей контрольного треугольника. Поскольку окружность с девятью точками является общей для всех четырех возможных треугольников в ортоцентрической системе, она касается 16 окружностей, содержащих вписанные и вневписанные окружности четырех возможных треугольников.

Любая коника, проходящая через четыре ортоцентрических точки, может быть только прямоугольной гиперболой . Это является результатом конического теоремы Фейербаха о том , что говорится , что для всех circumconics эталонного треугольника , который также проходит через ортоцентр, то локусцентра такой циркумконики образует окружность с девятью точками, и что циркумконики могут быть только прямоугольными гиперболами. Географическое место перспективы этого семейства прямоугольных гипербол всегда будет лежать на четырех ортопедических осях. Таким образом, если прямоугольная гипербола проведена через четыре ортоцентрических точки, у нее будет один фиксированный центр на общей окружности из девяти точек, но будет иметься четыре перспективы, по одному на каждой из ортоцентрических осей четырех возможных треугольников. Одна точки на девять точек окружности, которая является центром этой прямоугольной гиперболы будет иметь четыре различных определений, зависящие от каких из четырех возможных треугольников используются в качестве опорного треугольника.

Хорошо документированные прямоугольные гиперболы , которые проходят через четыре orthocentric точек являются Фейербах, Jerabek circumhyperbolas и Киперт опорного треугольника ABC в нормализованной системе с H в качестве ортоцентра.

У четырех возможных треугольников есть набор из четырех инкоников, известных как ортопедические инконики, которые разделяют определенные свойства. Контакты этих инкоников с четырьмя возможными треугольниками происходят в вершинах их общего ортического треугольника. В нормализованной ортоцентрической системе ортогонический инконик, касающийся сторон треугольника ABC, является эллипсом, а ортический инконик трех других возможных треугольников - гиперболами. Эти четыре ортодонтических инконика также имеют одну и ту же точку Брианшона , H, ортоцентрическую точку, ближайшую к общему центру из девяти точек. Центры этих ортических инконик - это симедианные точки K четырех возможных треугольников.

Есть много задокументированных кубиков, которые проходят через опорный треугольник и его ортоцентр. Окружная кубика, известная как ортокубическая - K006, интересна тем, что она проходит через три ортоцентрические системы, а также три вершины ортического треугольника (но не ортоцентр ортического треугольника). Три orthocentric системы вписанная и эксцентрики, опорный треугольник и его ортоцентр и, наконец, ортоцентр опорного треугольник вместе с тремя другими точками пересечения, что это имеет кубическое с окружностью опорного треугольника.

Любые две полярные окружности двух треугольников в ортоцентрической системе ортогональны . ^{[2] : с. 177}

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Ортоцентр" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема Фейербаха» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Коническая теорема Фейербаха" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола Фейербаха» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Джерабек Гипербола» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипербола Киперта» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Ортопедический инконик» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Ортическая ось" . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Перспектор» . MathWorld .
• Бернар Гибер Circumcubic K006
• Кларк Кимберлинг, « Энциклопедия треугольных центров ». (Перечисляет около 5000 интересных моментов, связанных с любым треугольником.)