Девятиконечный круг

Девять очков

Даже если ортоцентр и центр описанной окружности выпадают за пределы треугольника, конструкция все равно работает.

В геометрии круг из девяти точек - это круг, который можно построить для любого заданного треугольника . Он назван так потому, что проходит через девять важных точек пересечения, определяемых треугольником. Вот эти девять пунктов :

• Середина каждой стороны треугольника
• Лапка каждой высоты
• Середина отрезка прямой от каждой вершины треугольника до ортоцентра (где встречаются три высоты; эти отрезки лежат на соответствующих высотах). ^{[1] [2]}

Девяти пунктов круг также известен как круг Фейербаха , круг Эйлера , Terquem по окружности , в шесть точках окружность , в двенадцати-точек круг , на п - точечный круг , в medioscribed круг , в середине круг или циркумглобальный midcircle . Его центр - это центр треугольника с девятью точками . ^{[3] [4]}

Девять важных моментов [ править ]

На диаграмме выше показаны девять основных точек девятиконечной окружности. Точки D , E и F - это середины трех сторон треугольника. Точки G , H и I являются основаниями высот треугольника. Точки J , K и L являются серединами отрезков прямой между пересечением вершин каждой высоты (точки A , B и C ) и ортоцентром треугольника (точка S ).

В остром треугольнике шесть точек (середины и высота футов) лежат на самом треугольнике; для тупого треугольника две высоты имеют ступни за пределами треугольника, но эти ступни по-прежнему принадлежат девятиконечной окружности.

Открытие [ править ]

Хотя ему приписывают это открытие, Карл Вильгельм Фейербах не полностью открыл круг из девяти точек, а, скорее, из шести точек, признав значение середин трех сторон треугольника и оснований высот этого треугольника. треугольник. ( См. Рис. 1, точки D, E, F, G, H и I.) (Несколько раньше Шарль Брианшон и Жан-Виктор Понселе сформулировали и доказали ту же теорему.) Но вскоре после этого Фейербах стал математиком. Сам Олри Теркем доказал существование круга. Он был первым, кто осознал дополнительную значимость трех средних точек между вершинами треугольника и ортоцентром. (См. Рис. 1, точки J, K и L.) Таким образом, Terquem был первым, кто использовал название окружности из девяти точек.

Касательные круги [ править ]

Окружность с девятью точками касается вписанной и вневписанной окружностей.

В 1822 году Карл Фейербах обнаружил, что окружность любого треугольника из девяти точек внешне касается трех вневписанных окружностей этого треугольника и внутренне касается его вписанной окружности ; этот результат известен как теорема Фейербаха . Он доказал, что:

... окружность, проходящая через основание высот треугольника, касается всех четырех окружностей, которые, в свою очередь, касаются трех сторон треугольника ... ( Фейербах 1822 )ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFFeuerbach1822 ( справка )

Центр треугольника, в котором соприкасаются вписанная окружность и окружность из девяти точек, называется точкой Фейербаха .

Другие свойства окружности из девяти точек [ править ]

• Радиус описанной окружности треугольника в два раза больше радиуса окружности из девяти точек этого треугольника. ^{[5] : с.153}

Рисунок 3

• Окружность из девяти точек делит пополам отрезок прямой, идущий от ортоцентра соответствующего треугольника до любой точки на его описанной окружности.

Рисунок 4

• Центр N девятиточечной окружности делит пополам отрезок от ортоцентра H до центра описанной окружности O (что делает ортоцентр центром расширения обеих окружностей): ^{[5] : p.152}

ВКЛ = NH .

• Центр N из девяти точек находится на четверти пути по линии Эйлера от центроида G до ортоцентра H : ^{[5] : с.153}

HN = 3 NG .

• Позвольте быть девять точек окружности диагонального треугольника вписанного четырехугольника. Точка пересечения бимедианов вписанного четырехугольника принадлежит девятиточной окружности. ^{[6] [7]}${\displaystyle \omega }$

• Девять точек окружность опорного треугольника является окружностью и задания треугольника медиального треугольника (с вершинами в серединах сторон опорного треугольника) и его orthic треугольника (с вершинами ног высот эталонного треугольника). ^{[5] : с.153}
• Центр всех прямоугольных гипербол , проходящих через вершины треугольника, лежит на его окружности из девяти точек. Примеры включают в себя хорошо известные прямоугольные гиперболы Кейперта, Ержабека и Фейербаха. Этот факт известен как коническая теорема Фейербаха.

• Если дана ортоцентрическая система из четырех точек A , B , C и H , тогда четыре треугольника, образованные любой комбинацией трех различных точек этой системы, все разделяют один и тот же круг из девяти точек. Это следствие симметрии: стороны одного треугольника, смежные с вершиной, которая является ортоцентром другого треугольника, являются сегментами этого второго треугольника. Третья середина лежит на их общей стороне. (Те же «средние точки», определяющие отдельные окружности из девяти точек, эти круги должны совпадать.)
• Следовательно, эти четыре треугольника имеют описанные окружности с одинаковыми радиусами. Пусть N представляет собой общий центр из девяти точек, а P - произвольная точка на плоскости ортоцентрической системы. потом

NA ² + NB ² + NC ² + NH ²  =  3R ²

где R - общий радиус описанной окружности ; и если

PA ² + PB ² + PC ² + PH ²  =  K ² ,

где K остается постоянным, то геометрическое место P представляет собой круг с центром в N и радиусом . Когда P приближается к N, геометрическое место P для соответствующей константы K коллапсирует на N - центр девяти точек. Кроме того, окружность с девятью точками - геометрическое место P такое, что${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}}$

PA ² + PB ² + PC ² + PH ²  =  4R ² .

• Центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника образуют ортоцентрическую систему. Окружность из девяти точек, созданная для этой ортоцентрической системы, является описанной окружностью исходного треугольника. Основания высот в ортоцентрической системе - это вершины исходного треугольника.
• Если даны четыре произвольные точки A , B , C , D , которые не образуют ортоцентрическую систему, то окружности из девяти точек ABC , BCD , CDA и DAB совпадают в одной точке. Каждая из оставшихся шести точек пересечения этих девятиконечных окружностей совпадает с серединами четырех треугольников. Примечательно, что существует уникальная девятиточечная коника с центром в центроиде этих четырех произвольных точек, которая проходит через все семь точек пересечения этих девятиточечных окружностей. Кроме того, в силу упомянутой выше теоремы Фейербаха о кониках существует единственная прямоугольная описанная коникас центром в общей точке пересечения четырех окружностей из девяти точек, которая проходит через четыре исходные произвольные точки, а также через ортоцентры четырех треугольников.
• Если даны четыре точки A , B , C , D , которые образуют вписанный четырехугольник , то окружности из девяти точек ABC , BCD , CDA и DAB совпадают в антицентре вписанного четырехугольника. Все окружности из девяти точек равны радиусу, равному половине радиуса описанной окружности циклического четырехугольника. Круги с девятью точками образуют набор из четырех кругов Джонсона.. Следовательно, четыре центра с девятью точками являются циклическими и лежат на окружности, конгруэнтной четырем окружностям с девятью точками, центр которых находится в антицентре вписанного четырехугольника. Кроме того, циклический четырехугольник образован из четырех девяти PONT центров гомотетичен к опорному циклическому четырехугольнику ABCD с коэффициентом - ¹ / ₂   и его центр подобия (N) лежит на линии , соединяющий центр окружности (O) к антицентру (М ) где

ВКЛ = 2НМ .

• Orthopole линий , проходящих через центр окружности лежит на девять точек окружности.
• Окружность треугольника, его девять точек окружности, ее полярный круг , а окружность его тангенциального треугольника ^[8] является коаксиальными . ^[9]
• Трилинейные координаты центра гиперболы Киперта равны

( b ²  - c ² ) ² / a  : ( c ²  -  a ² ) ² / b  : ( a ²  -  b ² ) ² / c

• Трилинейные координаты центра гиперболы Ержабека равны

cos A sin ² ( B  -  C ): cos B sin ² ( C  -  A ): cos C sin ² ( A  -  B )

• Пусть x  : y  : z - переменная точка в трилинейных координатах, уравнение для окружности из девяти точек будет

Икс ² грех  2А + у ² грех 2 В + z ² грех 2 С  - 2 ( у z грех  А + zx грех  В + ху 2 греха  С ) = 0.

Обобщение [ править ]

Окружность является примером конического сечения, а окружность с девятью точками является примером общей коники с девятью точками, которая была построена по отношению к треугольнику ABC и четвертой точке P , где возникает конкретный экземпляр окружности с девятью точками. когда P - ортоцентр ABC . Вершины треугольника и P определяют полный четырехугольник и три «диагональные точки», где пересекаются противоположные стороны четырехугольника. В четырехугольнике шесть «боковых сторон»; коника из девяти точек пересекает их середины, а также включает диагональные точки. Коника является эллипсом, когда Pнаходится внутри ABC или в области, разделяющей вертикальные углы с треугольником, но гипербола из девяти точек возникает, когда P находится в одной из трех смежных областей, и гипербола является прямоугольной, когда P лежит на описанной окружности ABC .

См. Также [ править ]

• Теорема Лестера
• Точка Понселе
• Синтетическая геометрия

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Альтшиллер-Корт, Натан (1925), Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN  52013504
• Фейербах, Карл Вильгельм ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (ред. Монографии), Нюрнберг: Wiessner.
• Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN  69012075
• Fraivert, David (2019), «Новые точки, принадлежащие девятиточному кругу», The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi : 10.1017 / mag.2019.53
• Fraivert, David (2018), «Новые приложения метода комплексных чисел в геометрии циклических четырехугольников» (PDF) , International Journal of Geometry , 7 (1): 5–16

Внешние ссылки [ править ]

• "Javascript-демонстрация круга из девяти точек" на rykap.com
• Энциклопедия центров треугольников Кларка Кимберлинга. Девятиточечный центр обозначен как X (5), точка Фейербаха как X (11), центр гиперболы Киперта как X (115), а центр гиперболы Ержабека как X (125).
• История девятиконечного круга на основе статьи Дж. С. Маккея от 1892 года: История девятиконечного круга
• Вайсштейн, Эрик В. «Девятиконечный круг» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. "Ортополис" . MathWorld .
• Девятиконечный круг на Яве в самый разруб
• Фейербаха теорема: Доказательство на вырез в-узле
• Особые линии и круги в треугольнике от Вальтера Фендта
• Интерактивный Java-апплет, показывающий несколько центров треугольников, лежащих на девятиконечной окружности .
• Интерактивный апплет Nine Point Circle от проекта Wolfram Demonstrations Project
• Девятиточечная коника и обобщение линии Эйлера на эскизах динамической геометрии Обобщает девятиточечную окружность до девятиточечной коники с соответствующим обобщением линии Эйлера.