Девятиточечный центр

Треугольник, показывающий его описанную окружность и центр описанной окружности (черный), высоту и ортоцентр (красный), а также окружность из девяти точек и центр из девяти точек (синий)

В геометрии центр из девяти точек - это центр треугольника , точка, определяемая из данного треугольника таким образом, который не зависит от расположения или масштаба треугольника. Он так называется, потому что это центр девятиконечной окружности , круга, который проходит через девять значимых точек треугольника: середины трех ребер, основания трех высот и точки на полпути между ортоцентром и каждая из трех вершин. Девять пунктов центра указан как точка X (5) в Clark Kimberling «s Энциклопедия Triangle центров . ^{[1] [2]}

Свойства [ править ]

Центр N из девяти точек лежит на линии Эйлера своего треугольника, в середине между ортоцентром H этого треугольника и центром O описанной окружности . Центроид G также лежит на той же линии, 2/3 пути от ортоцентра к описанной окружности, ^{[2] [3]} , так

${\ displaystyle NO = NH = 3NG.}$

Таким образом, если известны любые два из этих четырех треугольных центров, положения двух других могут быть определены по ним.

Эндрю Гинанд доказал в 1984 году в рамках того, что сейчас известно как проблема определения треугольника Эйлера , что если положения этих центров заданы для неизвестного треугольника, то центр треугольника лежит внутри ортоцентроидной окружности (окружности с отрезком от центроида к ортоцентру как его диаметр). Единственная точка внутри этого круга, которая не может быть центром, - это центр из девяти точек, а каждая другая внутренняя точка круга является центром уникального треугольника. ^{[4] [5] [6] [7]}

Расстояние от центра девяти точек до центра I удовлетворяет

${\ displaystyle IN <{\ tfrac {1} {2}} IO,}$

${\ displaystyle IN = {\ tfrac {1} {2}} (R-2r) <{\ frac {R} {2}},}$

${\ Displaystyle 2R \ cdot IN = OI ^ {2},}$

где R и r - радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно.

Девяти точек центра является Окружность из медиального треугольника данного треугольника, описанной окружности в orthic треугольника данного треугольника и описанной окружности треугольника Эйлера. ^{[3] В} более общем смысле это центр описанной окружности любого треугольника, определяемый тремя из девяти точек, определяющих окружность из девяти точек.

Ложь центра девять-точки на центроид из четырех точек: треугольник трех вершин и его ортоцентра . ^[8]

В Эйлере линия четырех треугольников , образованных orthocentric системы (набор из четырех точек таким образом, что каждый представляют собой ортоцентр треугольника с вершинами в три других точках) является одновременно в девяти точках центра общих для всех треугольников. ^{[9] : с.111}

Из девяти точек, определяющих окружность с девятью точками, три середины отрезков прямой между вершинами и ортоцентром являются отражениями середин треугольника относительно его центра из девяти точек. Таким образом, центр из девяти точек образует центр точечного отражения, которое отображает средний треугольник на треугольник Эйлера и наоборот. ^[3]

Согласно теореме Лестера , центр из девяти точек лежит на общей окружности с тремя другими точками: двумя точками Ферма и центром описанной окружности. ^[10]

Точка Косницы треугольника, центр треугольника, связанный с теоремой Косницы , является изогональным сопряженным центром девяти точек. ^[11]

Координаты [ править ]

Трилинейные координаты центра из девяти точек равны ^{[1] [2]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\\={}&\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\={}&\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B\\={}&bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}].\end{aligned}}}$

В барицентрических координатах из девяти точек центра являются ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)\\={}&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{aligned}}}$

Таким образом, если и только если два угла при вершине отличаются друг от друга более чем на 90 °, одна из барицентрических координат отрицательна, и поэтому центр из девяти точек находится вне треугольника.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечный центр» . MathWorld .