Центр треугольника

В геометрии , А треугольник центр (или треугольник в центре ) является точкой в плоскости, в некотором смысле центр треугольника сродни центры квадратов и кругов , то есть в точке , которая находится в середине рисунка некоторая мера. Например, центроид , центр окружности , центр окружности и ортоцентр были известны древним грекам , и их можно было получить с помощью простых построений.

Каждый из этих классических центров обладает тем свойством, что он инвариантен (точнее, эквивариантен ) относительно преобразований подобия . Другими словами, для любого треугольника и любого преобразования подобия (например, вращения , отражения , расширения или перемещения ) центр преобразованного треугольника совпадает с точкой преобразованного центра исходного треугольника. Эта инвариантность является определяющим свойством центра треугольника. Он исключает другие хорошо известные точки, такие как точки Брокара, которые не являются инвариантными при отражении и поэтому не могут считаться центрами треугольников.

Все центры равностороннего треугольника совпадают в его центроиде, но обычно они отличаются друг от друга в разносторонних треугольниках . Определения и свойства тысяч центров треугольников собраны в Энциклопедии центров треугольников .

История [ править ]

Хотя древние греки открыли классические центры треугольника, они не сформулировали никакого определения центра треугольника. После того, как древние греки, несколько специальных точек , связанные с треугольником , как в точке Ферма , девять-точечные , точка Лемуано , точка Gergonne и точка Фейербаха были обнаружены. Во время возрождения интереса к геометрии треугольника в 1980-х годах было замечено, что эти особые точки обладают некоторыми общими свойствами, которые теперь составляют основу для формального определения центра треугольника. ^{[1] [2]} По состоянию на 1 сентября 2020 года ^{[Обновить]}, Кларк Кимберлинг «s Энциклопедия Triangle центровсодержит аннотированный список из 39 474 центров треугольника. ^[3]

Формальное определение [ править ]

Вещественная функция F из трех действительных переменных , Ь , с , может иметь следующие свойства:

• Однородность: f ( ta , tb , tc ) = t ⁿ f ( a , b , c ) для некоторой константы n и для всех t > 0.
• Бисимметрия по второй и третьей переменным: f ( a , b , c ) = f ( a , c , b ).

Если ненулевое f обладает обоими этими свойствами, оно называется функцией центра треугольника . Если F представляет собой треугольник центр функции и , Ь , с являются побочными длинами опорного треугольника , то точка которого трилинейного координата является F ( , Ь , с ): F ( Ь , с , ): F ( с , a , b ) называется центром треугольника .

Это определение гарантирует, что центры треугольников подобных треугольников соответствуют критериям инвариантности, указанным выше. По соглашению только первый из трех трилинейных координат центра треугольника указана , так как два других получаются путем циклической перестановки в виде , Ь , с . Этот процесс известен как цикличность . ^{[4] [5]}

Каждая функция центра треугольника соответствует уникальному центру треугольника. Это соответствие не биективно . Различные функции могут определять один и тот же центр треугольника. Например, функции f ₁ ( a , b , c ) = 1 / a и f ₂ ( a , b , c ) = bc обе соответствуют центроиду. Две функции центра треугольника определяют один и тот же центр треугольника тогда и только тогда, когда их отношение является функцией, симметричной относительно a , b и c .

Даже если функция центра треугольника хорошо определена везде, нельзя всегда сказать то же самое о соответствующем центре треугольника. Например, пусть f ( a , b , c ) равно 0, если a / b и a / c оба рациональны, и 1 в противном случае. Тогда для любого треугольника с целыми сторонами центр связанного треугольника оценивается как 0: 0: 0, что не определено.

Домен по умолчанию [ править ]

В некоторых случаях эти функции не определены на весь ℝ ³ . Например, трилинейки X ₃₆₅ - это ^1/2  : b ^1/2  : c ^1/2, поэтому a , b , c не могут быть отрицательными. Кроме того, чтобы изобразить стороны треугольника, они должны удовлетворять неравенству треугольника. Таким образом, на практике, каждая функция в домен ограничен области ℝ ³ , где ≤ б + с , б ≤ C + в, и c ≤ a + b . Эта область T является областью всех треугольников и является областью по умолчанию для всех функций на основе треугольников.

Другие полезные домены [ править ]

Существуют различные случаи , когда может быть желательно ограничить анализ в меньшей области , чем Т . Например:

• Центры X ₃ , X ₄ , X ₂₂ , X ₂₄ , X ₄₀ относятся к острым треугольникам ,
  а именно к той области T, где a ² ≤ b ² + c ² , b ² ≤ c ² + a ² , c ² ≤ а ² + б ² .
• При различении точки Ферма и X ₁₃ важна область треугольников с углом, превышающим 2π / 3,
  другими словами, треугольники, для которых a ² > b ² + bc + c ² или b ² > c ² + ca + a ² или c ² > a ² + ab + b ² .
• Область, имеющая большую практическую ценность, поскольку она плотна в T, но исключает все тривиальные треугольники (то есть точки), а вырожденные треугольники
  (то есть прямые) - это множество всех разносторонних треугольников. Он получается удалением из T плоскостей b = c , c = a , a = b .

Симметрия домена [ править ]

Не всякое подмножество D ⊆ T является жизнеспособной областью. Для поддержки теста бисимметрии D должен быть симметричным относительно плоскостей b = c , c = a , a = b . Для поддержки цикличности он также должен быть инвариантным относительно 2π / 3 поворотов вокруг прямой a = b = c . Простейшей областью является прямая ( t , t , t ), которая соответствует множеству всех равносторонних треугольников.

Примеры [ править ]

Circumcenter [ править ]

Точкой совпадения серединных перпендикуляров сторон треугольника ABC является центр описанной окружности. Трилинейные координаты центра описанной окружности равны

a ( b ² + c ² - a ² ): b ( c ² + a ² - b ² ): c ( a ² + b ² - c ² ).

Пусть f ( a , b , c ) = a ( b ² + c ² - a ² ). потом

f ( ta , tb , tc ) = ( ta ) (( tb ) ² + ( tc ) ² - ( ta ) ² ) = t ³ ( a ( b ² + c ² - a ² )) = t ³ f ( a , б , в ) (однородность)

f ( a , c , b ) = a ( c ² + b ² - a ² ) = a ( b ² + c ² - a ² ) = f ( a , b , c ) (бисимметрия)

так что f - функция центра треугольника. Поскольку соответствующий центр треугольника имеет те же трилинейи, что и центр описанной окружности, следует, что центр описанной окружности является центром треугольника.

1-й изогонический центр [ править ]

Пусть A'BC - равносторонний треугольник, имеющий основание BC и вершину A 'на отрицательной стороне BC, а AB'C и ABC' - равносторонние треугольники, построенные аналогичным образом, основанные на двух других сторонах треугольника ABC. Тогда прямые AA ', BB' и CC 'совпадают, и точка совпадения - это 1-й изогональный центр. Его трилинейные координаты:

csc (A + π / 3): csc (B + π / 3): csc (C + π / 3).

Выражая эти координаты через a , b и c , можно убедиться, что они действительно удовлетворяют определяющим свойствам координат центра треугольника. Следовательно, 1-й изогонический центр также является центром треугольника.

Точка Ферма [ править ]

Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}1&\quad {\text{if }}a^{2}>b^{2}+bc+c^{2}&({\text{equivalently }}A>2\pi /3),\\0&\quad {\text{if }}b^{2}>c^{2}+ca+a^{2}{\text{ or }}c^{2}>a^{2}+ab+b^{2}&({\text{equivalently }}B>2\pi /3{\text{ or }}C>2\pi /3),\\\csc(A+\pi /3)&\quad {\text{otherwise }}&({\text{equivalently no vertex angle exceeds }}2\pi /3).\end{cases}}}$

Тогда f бисимметрична и однородна, так что это функция центра треугольника. Более того, соответствующий центр треугольника совпадает с тупоугольной вершиной, если любой угол вершины превышает 2π / 3, и с 1-м изогоническим центром в противном случае. Следовательно, центр этого треугольника есть не что иное, как точка Ферма .

Не примеры [ править ]

Очки Брокара [ править ]

Трилинейные координаты первой точки Брокара: c / b  : a / c  : b / a . Эти координаты удовлетворяют свойствам однородности и цикличности, но не бисимметрии. Таким образом, первая точка Брокара не является (в общем) центром треугольника. Вторая точка Брокара имеет трилинейные координаты b / c  : c / a  : a / b, и применимы аналогичные замечания.

Первая и вторая точки Брокара являются одной из многих бицентрических пар точек, ^[6] пар точек, определенных из треугольника со свойством, что пара (но не каждая отдельная точка) сохраняется при сходствах треугольника. Несколько бинарных операций, таких как средняя точка и трилинейное произведение, при применении к двум точкам Брокара, а также к другим бицентрическим парам, создают центры треугольников.

Векторы положения [ править ]

Центры треугольников можно записать как

${\displaystyle P={\frac {w_{A}A+w_{B}B+w_{C}C}{w_{A}+w_{B}+w_{C}}},}$

где - векторы положения центра ( ) и вершин ( ), а - скаляры, которые создают желаемый центр. Некоторые центральные экземпляры можно увидеть в следующей таблице, где - длины сторон, противоположных соответствующим вершинам, и площадь треугольника, рассчитанная по формуле Герона .${\displaystyle P,A,B,C}$${\displaystyle P}$${\displaystyle ABC}$${\displaystyle w_{A},w_{B},w_{C}}$${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle S}$

	${\displaystyle w_{A}}$	${\displaystyle w_{B}}$	${\displaystyle w_{C}}$	${\displaystyle w_{A}+w_{B}+w_{C}}$
Incenter	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle a+b+c}$
Excenter	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle b+c-a}$
	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -b}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle c+a-b}$
	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -c}$	${\displaystyle a+b-c}$
Центроид	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
Кругоцентр	${\displaystyle a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})}$	${\displaystyle b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})}$	${\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}$	${\displaystyle 16S^{2}}$
Ортоцентр	${\displaystyle a^{4}-(b^{2}-c^{2})^{2}}$	${\displaystyle b^{4}-(c^{2}-a^{2})^{2}}$	${\displaystyle c^{4}-(a^{2}-b^{2})^{2}}$	${\displaystyle 16S^{2}}$

${\displaystyle a\equiv {\overline {BC}}={\sqrt {({\vec {BC}},{\vec {BC}})}},}$

${\displaystyle b\equiv {\overline {CA}}={\sqrt {({\vec {CA}},{\vec {CA}})}},}$

${\displaystyle c\equiv {\overline {AB}}={\sqrt {({\vec {AB}},{\vec {AB}})}},}$

${\displaystyle 16S^{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}).}$

Некоторые известные центры треугольников [ править ]

Центры классических треугольников [ править ]

Последние центры треугольников [ править ]

В следующей таблице более поздних центров треугольников не упоминаются конкретные обозначения для различных точек. Также для каждого центра указывается только первая трилинейная координата f (a, b, c). Остальные координаты можно легко получить, используя свойство цикличности трилинейных координат.

Общие классы центров треугольников [ править ]

Центр Кимберлинга [ править ]

В честь Кларка Кимберлинга, создавшего онлайн-энциклопедию более 32 000 треугольных центров, треугольные центры, перечисленные в энциклопедии, вместе называются центрами Кимберлинга . ^[7]

Центр полиномиального треугольника [ править ]

Центр треугольника P называется центром полиномиального треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражены как полиномы от a , b и c .

Правильный треугольник в центре [ править ]

Центр треугольника P называется точкой правильного треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражены как полиномы от Δ, a , b и c , где Δ - площадь треугольника.

Центр большого треугольника [ править ]

Центр треугольника P называется центром большого треугольника, если трилинейные координаты P могут быть выражены в форме f (A): f (B): f (C), где f (A) является функцией угла A только и не зависит от других углов или от длин сторон. ^[8]

Центр трансцендентного треугольника [ править ]

Центр треугольника P называется трансцендентным центром треугольника, если P не имеет трилинейного представления с использованием только алгебраических функций от a, b и c.

Разное [ править ]

Равнобедренные и равносторонние треугольники [ править ]

Пусть f - функция центра треугольника. Если две стороны треугольника равны (скажем, a = b ), то

${\displaystyle f(a,b,c)=f(b,a,c)}$(поскольку a = b )

${\displaystyle \quad \quad \quad \quad =f(b,c,a)}$(по бисимметрии)

поэтому два компонента центра связанного треугольника всегда равны. Следовательно, центры всех треугольников равнобедренного треугольника должны лежать на его линии симметрии. В равностороннем треугольнике все три компонента равны, поэтому все центры совпадают с центроидом. Итак, как и у круга, равносторонний треугольник имеет уникальный центр.

Excenters [ править ]

Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}-1&\quad {\text{if }}a\geq b{\text{ and }}a\geq c,\\\;\;\;1&\quad {\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Легко видеть, что это функция центра треугольника, и (при условии, что треугольник разносторонний) соответствующий центр треугольника является эксцентром, противоположным наибольшему углу при вершине. Два других специалиста могут быть выбраны аналогичными функциями. Однако, как указано выше, только одна из сторон равнобедренного треугольника и ни одна из сторон равностороннего треугольника никогда не может быть центром треугольника.

Биантисимметричные функции [ править ]

Функция F является biantisymmetric , если F ( , Ь , гр ) = - F ( , с , б ) для всех в , б , с . Если такая функция также отлична от нуля и однородна, легко видеть, что отображение (a, b, c) → f ( a , b , c ) ² f ( b , c , a ) f ( c , a , b ) - функция центра треугольника. Соответствующий центр треугольника - это f ( a , b , c ): f ( b , c , a ): f ( c , a , b ). По этой причине определение функции центра треугольника иногда включает ненулевые однородные биантисимметричные функции.

Новые центры из старых [ править ]

Любую функцию центра треугольника f можно нормализовать , умножив ее на симметричную функцию от a , b , c, так что n = 0. Нормализованная функция центра треугольника имеет тот же центр треугольника, что и исходная, а также более сильное свойство: f ( ta , tb , tc ) = f ( a , b , c ) для всех t > 0 и всех ( a , b , c ). Нормированные функции центра треугольника вместе с нулевой функцией образуюталгебра сложения, вычитания и умножения. Это дает простой способ создавать новые центры треугольников. Однако различные нормализованные функции центра треугольника часто определяют один и тот же центр треугольника, например f и ( abc ) ⁻¹ ( a + b + c ) ³ f .

Неинтересные центры [ править ]

Предположим, что a , b , c - действительные переменные, и пусть α, β, γ - любые три действительные константы. Позволять

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\alpha &\quad {\text{ if }}a<b{\text{ and }}a<c\quad {\text{(equivalently the first variable is the smallest)}},\\\gamma &\quad {\text{ if }}a>b{\text{ and }}a>c\quad {\text{(equivalently the first variable is the largest)}},\\\beta &\quad \;{\text{otherwise}}\quad \;\quad \quad \,\quad {\text{(equivalently the first variable is in the middle)}}.\end{cases}}}$

Тогда f - функция центра треугольника, а α: β: γ - соответствующий центр треугольника, если стороны контрольного треугольника помечены так, что a < b < c . Таким образом, каждая точка потенциально является центром треугольника. Однако подавляющее большинство центров треугольников малоинтересны, так же как и большинство непрерывных функций малоинтересны. Энциклопедия Triangle центров является постоянно расширяющийся список интересных.

Барицентрические координаты [ править ]

Если f - функция центра треугольника, то то же самое и af, а соответствующий центр треугольника - af ( a , b , c ): bf ( b , c , a ): cf ( c , a , b ). Поскольку это в точности барицентрические координаты центра треугольника, соответствующего f, отсюда следует, что центры треугольников с таким же успехом можно было бы определить в терминах барицентрических, а не трилинейных. На практике переключиться с одной системы координат на другую несложно.

Двоичные системы [ править ]

Помимо точки Ферма и 1-го изогонического центра, существуют и другие пары центров. Другая система образована X ₃ и центром тангенциального треугольника. Рассмотрим функцию центра треугольника, задаваемую следующим образом:

${\displaystyle f(a,b,c)={\begin{cases}\cos(A)\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\quad \;\,\,{\text{if the triangle is acute}},\\\cos(A)+\sec(B)\sec(C)\quad {\text{if the vertex angle at }}A{\text{ is obtuse}},\\\cos(A)-\sec(A)\quad \;\quad \;\quad \;\,{\text{if either of the angles at }}B{\text{ or }}C{\text{ is obtuse}}.\end{cases}}}$

Для соответствующего центра треугольника есть четыре различных возможности:

•   cos ( A ): cos ( B ): cos ( C ), если исходный треугольник острый (это также центр описанной окружности).
•   [cos ( A ) + sec ( B ) sec ( C )]: [cos ( B ) - sec ( B )]: [cos ( C ) - sec ( C )], если угол в точке A тупой.
•   [cos ( A ) - sec ( A )]: [cos ( B ) + sec ( C ) sec ( A )]: [cos ( C ) - sec ( C )], если угол в точке B тупой.
•   [cos ( A ) - sec ( A )]: [cos ( B ) - sec ( B )]: [cos ( C ) + sec ( A ) sec ( B )], если угол в точке C тупой.

Обычный расчет показывает, что в каждом случае эти трилинейки представляют центр тангенциального треугольника. Итак, эта точка - центр треугольника, который является близким спутником центра описанной окружности.

Бисимметрия и инвариантность [ править ]

Отражение треугольника меняет порядок его сторон. На изображении координаты относятся к треугольнику ( c , b , a ) и (используя "|" в качестве разделителя) отражение произвольной точки α: β: γ есть γ | β | α. Если f - функция центра треугольника, отражение его центра треугольника равно f ( c , a , b ) | f ( b , c , a ) | f ( a , b , c ), который, по бисимметрии, совпадает с f ( c , b, а ) | f ( b , a , c ) | е ( а , в , б ). Поскольку это также центр треугольника, соответствующий f относительно треугольника ( c , b , a ), бисимметрия гарантирует, что все центры треугольника инвариантны относительно отражения. Поскольку повороты и смещения можно рассматривать как двойные отражения, они также должны сохранять центры треугольников. Эти свойства инвариантности служат обоснованием для определения.

Альтернативная терминология [ править ]

Некоторые другие названия расширения - это равномерное масштабирование , изотропное масштабирование , гомотетия и гомотетия .

Неевклидова и другие геометрии [ править ]

Изучение центров треугольников традиционно связано с евклидовой геометрией , но центры треугольников также могут быть изучены в неевклидовой геометрии . ^[9] Центры сферических треугольников можно определить с помощью сферической тригонометрии . ^[10] Центры треугольников, которые имеют одинаковую форму как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии, могут быть выражены с помощью гиротригонометрии . ^{[11] [12] [13]} В неевклидовой геометрии предположение, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам, должно быть отброшено.

Центры тетраэдров или многомерных симплексов также могут быть определены по аналогии с двумерными треугольниками. ^[13]

См. Также [ править ]

• Центральная линия
• Энциклопедия центров треугольников

Заметки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Манфред Эверс, О центрах и центральных линиях треугольников на эллиптической плоскости
• Манфред Эверс, О геометрии треугольника в эллиптической и расширенной гиперболической плоскости.
• Кларк Kimberling , Triangle центры из Университета Evansville
• Эд Пегг, Центры треугольников в 2D, 3D, сферических и гиперболических из Wolfram Research .
• Пол Ю, «Экскурсия по геометрии треугольника» из Атлантического университета Флориды .