Incenter

Точка пересечения биссектрис трех углов треугольника ABC является центром (обозначается I). Вписанная окружность (центр которой - I) касается каждой стороны треугольника.

В геометрии , то вписанный треугольник является треугольник центром , точка определяется для любого треугольника в пути , который не зависит от размещения или масштаба треугольника. Центр центра может быть эквивалентно определен как точка, в которой пересекаются биссектрисы внутреннего угла треугольника, как точка, равноудаленная от сторон треугольника, как точка соединения средней оси и самой внутренней точки преобразования треугольника в травяном пожаре , и как точка пересечения центр вписанной окружности треугольника.

Вместе с центроидом , центром описанной окружности и ортоцентром , это один из четырех центров треугольника, известных древним грекам, и единственный, который вообще не лежит на линии Эйлера . Это первый в списке центр, X (1), в Кларке Kimberling «s Энциклопедии Triangle центров , а единичный элемент из мультипликативной группы треугольных центров. ^{[1] [2]}

Для многоугольников с более чем тремя сторонами центр внутренней части существует только для касательных многоугольников - тех, у которых есть вписанная окружность, касательная к каждой стороне многоугольника. В этом случае центр является центром этого круга и одинаково удален со всех сторон.

Определение и конструкция [ править ]

Это теорема в евклидовой геометрии , что три внутренние угол биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. В « Элементах » Евклида предложение 4 книги IV доказывает, что эта точка также является центром вписанной окружности треугольника. Сама вписанная окружность может быть построена путем опускания перпендикуляра от центра к одной из сторон треугольника и рисования окружности с этим сегментом в качестве радиуса. ^[3]

Центр центра расположен на равных расстояниях от трех отрезков, образующих стороны треугольника, а также от трех отрезков, содержащих эти отрезки. Это единственная точка, одинаково удаленная от отрезков прямой, но есть еще три точки, равно удаленные от прямых, эксцентриков, которые образуют центры вневписанных окружностей данного треугольника. Инцентратор и эксцентриситет вместе образуют ортоцентрическую систему . ^[4]

Медиальной оси многоугольника есть множество точек, ближайшего соседа на полигоне не уникальна: эти точки находятся на одинаковом расстоянии от двух или более сторон многоугольника. Один из методов вычисления средних осей заключается в использовании преобразования травяного огня , при котором формируется непрерывная последовательность кривых смещения , каждая из которых находится на некотором фиксированном расстоянии от многоугольника; медиальная ось проводится по вершинам этих кривых. В случае треугольника средняя ось состоит из трех сегментов биссектрис угла, соединяющих вершины треугольника с центром, который является единственной точкой на самой внутренней кривой смещения. ^[5] прямой скелет, определенная аналогичным образом из другого типа кривой смещения, совпадает со средней осью для выпуклых многоугольников и, следовательно, также имеет свое соединение в центре. ^[6]

Доказательство [ править ]

Пусть деление пополам и встречается в , и пополам и встречаются в , и и встречаются в .${\ displaystyle \ angle {BAC}}$${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle \ angle {ABC}}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle {\ overline {AD}}}$${\ displaystyle {\ overline {BE}}}$${\ displaystyle {I}}$

И пусть и встретимся .${\ displaystyle {\ overrightarrow {CI}}}$${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle {F}}$

Затем мы должны доказать, что это деление пополам .${\ displaystyle {\ overline {CI}}}$${\ displaystyle \ angle {ACB}}$

В , .${\ Displaystyle \ треугольник {ACF}}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}: {\ overline {AF}} = {\ overline {CI}}: {\ overline {IF}}}$

В , .${\displaystyle \triangle {BCF}}$${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

Следовательно, так что .${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

Так и деление пополам .${\displaystyle {\overline {CF}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

Связь со сторонами и вершинами треугольника [ править ]

Трилинейные координаты [ править ]

Эти координаты трилинейных для точки в треугольнике дают соотношение расстояний до сторон треугольника. Трилинейные координаты инцентратора даются по формуле ^[2]

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

Совокупность центров треугольников может быть задана структурой группы при покоординатном умножении трилинейных координат; в этой группе стимул образует элемент идентичности . ^[2]

Барицентрические координаты [ править ]

В барицентрических координатах для точки в треугольнике Дайте весы таким образом, что точка является взвешенным средним позиций треугольника вершин. Барицентрические координаты инцентратора задаются выражением

${\displaystyle \ a:b:c}$

где , и - длины сторон треугольника, или, что то же самое (используя закон синусов ):${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

где , и - углы при трех вершинах.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

Декартовы координаты [ править ]

В декартовы координаты из вписанной представляют собой взвешенное среднее значение координат вершин с использованием трех длины сторон треугольника по отношению к периметру, то есть, используя барицентрические координаты , приведенные выше, нормированные на сумму к единице , как-весов. (Веса являются положительными , так вписанной лежит внутри треугольника , как указано выше.) Если три вершины расположены на , и , и стороны противоположные вершины этих имеют соответствующие длины , и , затем вписанной находится${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

Расстояния до вершин [ править ]

Обозначая центр треугольника ABC как I , расстояния от центра до вершин в сочетании с длинами сторон треугольника подчиняются уравнению ^[7]

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

Кроме того, ^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

где R и r - радиус описанной окружности и внутренний радиус треугольника соответственно.

Связанные конструкции [ править ]

Другие центры [ править ]

Расстояние от центра тяжести до центроида меньше одной трети длины самой длинной медианы треугольника. ^[9]

По теореме Эйлера в геометрии квадрат расстояния от центра I до центра описанной окружности O определяется выражением ^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

где R и r - радиус описанной окружности и внутренний радиус соответственно; таким образом, радиус описанной окружности как минимум вдвое больше внутреннего радиуса, равенство только в равностороннем случае. ^{[12] : с. 198}

Расстояние от вписанного до центра N из девяти точек окружности является ^[11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

Квадрат расстояния от центра до ортоцентра H равен ^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

К неравенству относятся:

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

Вписанной является точкой Nagel из медиального треугольника (треугольник, вершины которого являются середины сторон) и , следовательно , лежит внутри этого треугольника. И наоборот, точка Нагеля любого треугольника является центром его антикомплементарного треугольника . ^[14]

Центр тяжести должен находиться внутри диска , диаметр которого соединяет центроид G и ортоцентр H ( ортоцентроидный диск ), но он не может совпадать с центром из девяти точек , положение которого фиксировано на 1/4 длины диаметра. (ближе к G ). Любая другая точка в ортоцентроидном диске является центром уникального треугольника. ^[15]

Линия Эйлера [ править ]

Линия Эйлера треугольника - это линия, проходящая через его центр описанной окружности , центроид и ортоцентр , а также другие точки. Инцентр обычно не лежит на линии Эйлера; ^[16] она находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[17] для которых линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит центры всех треугольников.

Обозначая расстояние от центра до линии Эйлера как d , длину самой длинной медианы как v , длину самой длинной стороны как u , радиус описанной окружности как R , длину сегмента линии Эйлера от ортоцентра до центра описанной окружности как e , а полупериметр - как s , выполняются неравенства ^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}<{\frac {d}{u}}<{\frac {d}{v}}<{\frac {1}{3}};}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

Разделители площади и периметра [ править ]

Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника; каждая линия, проходящая через центр, которая разделяет область пополам, также разделяет периметр пополам. Для любого треугольника есть одна, две или три таких линии. ^[19]

Относительные расстояния от биссектрисы угла [ править ]

Пусть X будет переменная точка на внутренней угол биссектриса А . Тогда X = I (центр) максимизирует или минимизирует отношение по биссектрисе этого угла. ^{[20] [21]}${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Инцентр» . MathWorld .