Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Тангенциальная трапеция

В евклидовой геометрии , A тангенциальный многоугольник , также известный как вписанный многоугольник , является выпуклым многоугольник , который содержит вписанную окружность (также называется вписанной ). Это круг, касающийся каждой из сторон многоугольника. Двойной многоугольник тангенциального многоугольника является циклическим многоугольник , который имеет описанную окружность , проходящий через каждый из его вершин .

Все треугольники касательные, как и все правильные многоугольники с любым количеством сторон. Хорошо изученной группой касательных многоугольников являются касательные четырехугольники , в которые входят ромбы и воздушные змеи .

Характеристики [ править ]

Выпуклый многоугольник имеет вписанный тогда и только тогда , когда все его внутренних угловые биссектрис являются одновременно . Эта общая точка является вписанной (центр вписанной). [1]

Существует касательный многоугольник из n последовательных сторон a 1 , ..., a n тогда и только тогда, когда система уравнений

имеет решение ( x 1 , ..., x n ) в положительных числах . [2] Если такое решение существует, то x 1 , ..., x n - длины касательной к многоугольнику (длины от вершин до точек, в которых вписанная окружность касается сторон).

Уникальность и неуникальность [ править ]

Если число сторон n нечетное, то для любого заданного набора длин сторон, удовлетворяющего вышеуказанному критерию существования, существует только один касательный многоугольник. Но если n четно, их бесконечное количество. [3] : с. 389 Например, в случае четырехугольника, когда все стороны равны, у нас может быть ромб с любым значением острых углов, и все ромбы касаются вписанной окружности.

Inradius [ править ]

Если п сторона тангенциального многоугольника 1 , ..., п , то inradius ( радиус вписанного) является [4]

где K - площадь многоугольника, а s - полупериметр . (Поскольку все треугольники касательные, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства [ править ]

  • Для тангенциального многоугольника с нечетным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда все углы равны (так что многоугольник правильный). У тангенциального многоугольника с четным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда альтернативные углы равны (то есть углы A , C , E , ... равны, а углы B , D , F , ... равны). [5]
  • В касательном многоугольнике с четным числом сторон сумма длин сторон с нечетными номерами равна сумме длин сторон с четными номерами. [2]
  • Тангенциальный многоугольник имеет большую площадь, чем любой другой многоугольник с таким же периметром и такими же внутренними углами в той же последовательности. [6] : с. 862 [7]
  • Медиан любого касательного многоугольника, центроида его граничных точек, и центр вписанной окружности находятся на одной прямой с центром тяжести полигона между другими и вдвое дальше от центра вписанной и от центроида границах. [6] : стр. 858–9.

Тангенциальный треугольник [ править ]

Хотя все треугольники касаются некоторой окружности, треугольник называется касательным треугольником контрольного треугольника, если касания касательного треугольника с окружностью также являются вершинами контрольного треугольника.

Тангенциальный четырехугольник [ править ]

Основная статья: Тангенциальный четырехугольник

Тангенциальный шестиугольник [ править ]

Параллельные главные диагонали
  • В тангенциальном шестиугольнике ABCDEF , основная диагональ AD , BE и CF являются одновременно в соответствии с теоремой брианшона .

См. Также [ править ]

  • Circumgon

Ссылки [ править ]

  1. ^ Оуэн Байер, Феликс Лазебник и Дейдра Смелцер, Методы евклидовой геометрии , Математическая ассоциация Америки, 2010, стр. 77.
  2. ^ a b Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Сборник ИМО , Springer, 2006, стр. 561.
  3. ↑ Hess, Albrecht (2014), «На круге, содержащем центры касательных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 14 : 389–396.
  4. ^ Альсина, Клауди и Нельсен, Роджер, иконы математики. Исследование двадцати ключевых изображений , Mathematical Association of America, 2011, p. 125.
  5. ^ Де Вильерс, Майкл. «Равносторонние циклические и равносторонние описанные многоугольники», Mathematical Gazette 95, март 2011 г., стр. 102–107.
  6. ^ a b Том М. Апостол и Мамикон А. Мнацаканян (декабрь 2004 г.). «Фигуры, описывающие круги» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 : 853–863. DOI : 10.2307 / 4145094 . Проверено 6 апреля +2016 .
  7. ↑ Апостол, Том (декабрь 2005 г.). "опечатка". Американский математический ежемесячник . 112 (10): 946. DOI : 10,1080 / 00029890.2005.11920274 .