Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Линии на плоскости или в многомерном пространстве называются параллельными, если они пересекаются в одной точке .

Примеры [ править ]

Треугольники [ править ]

В треугольнике четыре основных типа наборов совпадающих прямых - это высота , биссектриса угла , медиана и середина перпендикуляра :

  • Высота треугольника начинается от каждой вершины и пересекает противоположную сторону под прямым углом . Точка, где встречаются три высоты, является ортоцентром .
  • Биссектрисы угла - это лучи, идущие от каждой вершины треугольника и делящие пополам соответствующий угол . Все они встречаются у центра .
  • Медианы соединяют каждую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы встречаются в центре тяжести .
  • Перпендикулярные биссектрисы - это линии, выходящие из середин каждой стороны треугольника под углом 90 градусов. Три серединных перпендикуляра пересекаются в центре описанной окружности .

Другие наборы линий, связанных с треугольником, также параллельны. Например:

  • Любая медиана (которая обязательно является биссектрисой площади треугольника ) параллельна двум другим биссектрисам площади, каждая из которых параллельна стороне. [1]
  • Тесак треугольника является отрезком , который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Три подмаренника сходится в центре круга Spieker , которая является вписанной в медиальном треугольнике .
  • Разветвитель треугольника представляет собой отрезок линии , имеющей одну конечную точку в одном из трех вершин треугольника и рассекает периметр. Три разделителя совпадают в точке Нагеля треугольника.
  • Любая линия, проходящая через треугольник, которая разделяет площадь и периметр треугольника пополам, проходит через центр треугольника , и каждый треугольник имеет одну, две или три из этих линий. [2] Таким образом, если их трое, они соглашаются в центре внимания.
  • Точка Тарри треугольника - это точка совпадения линий, проходящих через вершины треугольника, перпендикулярных соответствующим сторонам первого треугольника Брокара .
  • Точка Шиффлера треугольника - это точка совпадения линий Эйлера четырех треугольников: рассматриваемого треугольника и трех треугольников, каждый из которых имеет две общие с ним вершины и имеет центр в качестве другой вершины.
  • В точки Наполеона и их обобщения являются точками параллелизма. Например, первая точка Наполеона - это точка параллелизма трех линий, каждая из которых идет от вершины до центроида равностороннего треугольника, нарисованного на внешней стороне противоположной стороны от вершины. Обобщением этого понятия является точка Якоби .
  • Точка де Лоншама - это точка совпадения нескольких линий с линией Эйлера .
  • Три линии, каждая из которых образована внешним равносторонним треугольником на одной из сторон данного треугольника и соединением новой вершины с противоположной вершиной исходного треугольника, совпадают в точке, называемой первым изогональным центром . В случае, когда исходный треугольник не имеет угла больше 120 °, эта точка также является точкой Ферма .
  • Точка Аполлония - это точка совпадения трех прямых, каждая из которых соединяет точку касания окружности, к которой вневписанные окружности треугольника касаются изнутри, с противоположной вершиной треугольника.

Четырехугольники [ править ]

  • Два bimedians о наличии четырехугольных (отрезков , соединяющих средние точки противоположных сторон) и отрезок , соединяющий середины диагоналей являются одновременно и все их пополам точкой пересечения. [3] : с.125
  • В тангенциальном четырехугольнике четыре биссектрисы угла пересекаются в центре вписанной окружности . [4]
  • Другие из числа параллельно касательной четырехугольника приведены здесь .
  • В круговом четырехугольнике четыре отрезка, каждый перпендикулярный одной стороне и проходящий через середину противоположной стороны , параллельны. [3] : с.131; [5] Эти отрезки называются солодыми , [6] что является аббревиатурой от средней точки высоты над уровнем моря. Их точка пересечения называется антицентром .
  • Выпуклый четырехугольник является экс-тангенциальным тогда и только тогда, когда есть шесть параллельных биссектрис углов: биссектрисы внутреннего угла при двух противоположных углах при вершинах, биссектрисы внешнего угла при двух других углах при вершинах и биссектрисы внешнего угла при углах, образованных в местах, где продолжения противоположных сторон пересекаются.

Шестиугольники [ править ]

  • Если последовательные стороны циклического шестиугольника - это a , b , c , d , e , f , то три главных диагонали совпадают в одной точке тогда и только тогда, когда ace = bdf . [7]
  • Если шестиугольник имеет вписанную конику , то по теореме Брианшона его главные диагонали совпадают (как на изображении выше).
  • Параллельные линии возникают в двойственной теореме Паппа о шестиугольнике .
  • Для каждой стороны циклического шестиугольника протяните соседние стороны до их пересечения, образуя треугольник, внешний по отношению к данной стороне. Тогда отрезки, соединяющие центры окружностей противоположных треугольников, совпадают. [8]

Правильные многоугольники [ править ]

  • Если у правильного многоугольника четное число сторон, диагонали, соединяющие противоположные вершины, совпадают в центре многоугольника.

Круги [ править ]

  • В перпендикулярных биссектрисах всех аккордов одного круга пересекаются в одной точке в центре круга.
  • Прямые, перпендикулярные касательным к окружности в точках касания, совпадают в центре.
  • Все зоны биссектриса и периметр биссектриса окружности являются диаметрами , и они пересекаются в центре круга.

Эллипсы [ править ]

  • Все биссектрисы площади и биссектрисы периметра эллипса совпадают в центре эллипса.

Гиперболы [ править ]

  • В гиперболе одновременно присутствуют: (1) окружность, проходящая через фокусы гиперболы с центром в центре гиперболы; (2) любая из прямых, касающихся гиперболы в вершинах; и (3) любая из асимптот гиперболы.
  • Следующие элементы также совпадают: (1) круг с центром в центре гиперболы и проходящий через вершины гиперболы; (2) либо директриса; и (3) любая из асимптот.

Тетраэдры [ править ]

  • В тетраэдре четыре медианы и три бимедиана совпадают в точке, называемой центроидом тетраэдра. [9]
  • Изодинамический тетраэдр является один , в котором cevians , соединяющие вершины с вписанными противоположными гранями одновременно, и isogonic тетраэдр имеет параллельные cevians, соединяющие вершины с точками контакта противоположных граней с вписанной сферой тетраэдра .
  • В ортоцентрическом тетраэдре четыре высоты совпадают.

Алгебра [ править ]

См. Также: Заболеваемость (геометрия) § Сопоставление

Согласно теореме Руш-Капелл , система уравнений соответствуют тогда и только тогда , когда ранг из матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы (матрица коэффициентов дополненной колонки терминов перехватывать), и система имеет уникальное решение , если и только если общий ранг равен числу переменных. Таким образом, с двумя переменными k линий на плоскости, связанных с набором k уравнений, являются параллельными тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов k × 2 и ранг расширенной матрицы k × 3 равны 2. В этом случае дело только два изk уравнений независимы , и точка совпадения может быть найдена путем одновременного решения любых двух взаимно независимых уравнений для двух переменных.

Проективная геометрия [ править ]

В проективной геометрии , в двух измерениях параллелизма является двойным из коллинеарности ; в трех измерениях параллелизм - это двойник компланарности .

Ссылки [ править ]

  1. ^ Dunn, JA, и довольно, JE, "уполовинивание треугольник," Математический вестник 56, май 1972, 105-108.
  2. ^ Kodokostas, Димитриос, "Треугольник Эквалайзеры," Математика Magazine 83, апрель 2010, стр. 141-146.
  3. ^ a b Альтшиллер-Корт, Натан (2007) [1952], Геометрия колледжа: Введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Courier Dover, стр. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC  78063045
  4. ^ Andreescu, Титу и Энеску, Богдан, Математическая олимпиада Treasures , Birkhäuser, 2006, стр. 64-68.
  5. ^ Honsberger, Росс (1995), "4.2 Циклические четырехугольники" , Эпизоды в девятнадцатом и двадцатом веке евклидовой геометрии , Новая математическая библиотека, 37 , Cambridge University Press, стр. 35-39, ISBN 978-0-88385-639-0
  6. ^ Weisstein, Эрик В. "Maltitude" . MathWorld .
  7. ^ Cartensen, Jens, "О шестиугольников", Математическая Спектр 33 (2) (2000-2001), 37-40.
  8. ^ Николаос Дергиадес, "Теорема Дао о шести центрах описанной окружности, связанных с циклическим шестиугольником", Forum Geometricorum 14, 2014, 243-246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
  9. ^ Leung, Kam-tim; и Суен, Сук-нам; "Векторы, матрицы и геометрия", Hong Kong University Press, 1994, стр. 53-54.

Внешние ссылки [ править ]

  • Вольфрам MathWorld Concurrent , 2010 г.