Медиана (геометрия)

Медианы треугольника и центроид .

В геометрии , А средний из треугольника является отрезок присоединения к вершины к середине стороны , противоположной, таким образом , рассекает эту сторону. Каждый треугольник имеет ровно три медианы, по одной от каждой вершины, и все они пересекаются друг с другом в центре тяжести треугольника . В случае равнобедренных и равносторонних треугольников медиана делит пополам любой угол в вершине, две смежные стороны которой равны по длине.

Понятие медианы распространяется на тетраэдры .

Отношение к центру масс [ править ]

Каждая медиана треугольника проходит через центроид треугольника , который является центром масс бесконечно тонкого объекта однородной плотности, совпадающего с треугольником. ^[1] Таким образом, объект будет балансировать в точке пересечения медиан. Центроид находится в два раза ближе по любой медиане к стороне, с которой она пересекается, чем к вершине, из которой он исходит.

Разделение на равные площади [ править ]

Каждая медиана делит площадь треугольника пополам; отсюда и название, и, следовательно, треугольный объект однородной плотности будет балансировать на любой медиане. (Любые другие линии, которые делят площадь треугольника на две равные части, не проходят через центроид.) ^{[2] [3]} Три медианы делят треугольник на шесть меньших треугольников равной площади .

Доказательство равноплощадной собственности [ править ]

Рассмотрим треугольник ABC . Пусть D - середина , E - середина , F - середина , а O - центроид (чаще всего обозначается G ).${\ displaystyle {\ overline {AB}}}$${\ displaystyle {\ overline {BC}}}$${\ displaystyle {\ overline {AC}}}$

По определению . Таким образом и , где представляет собой площадь треугольника  ; это справедливо, потому что в каждом случае два треугольника имеют основания равной длины и имеют общую высоту от (расширенного) основания, а площадь треугольника равна половине его основания, умноженному на его высоту.${\ Displaystyle AD = DB, AF = FC, BE = EC}$${\ displaystyle [ADO] = [BDO], [AFO] = [CFO], [BEO] = [CEO],}$${\ displaystyle [ABE] = [ACE]}$${\ displaystyle [ABC]}$${\ Displaystyle \ треугольник ABC}$

У нас есть:

${\ displaystyle [ABO] = [ABE] - [BEO]}$

${\ displaystyle [ACO] = [ACE] - [генеральный директор]}$

Таким образом, и${\ displaystyle [ABO] = [ACO]}$${\ displaystyle [ADO] = [DBO], [ADO] = {\ frac {1} {2}} [ABO]}$

Так как , следовательно, . Используя тот же метод, можно это показать .${\ displaystyle [AFO] = [FCO], [AFO] = {\ frac {1} {2}} [ACO] = {\ frac {1} {2}} [ABO] = [ADO]}$${\ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO]}$${\ displaystyle [AFO] = [FCO] = [DBO] = [ADO] = [BEO] = [CEO]}$

Три равных треугольника [ править ]

В 2014 году Ли Сэллоус открыл следующую теорему: ^[4]

Медианы любого треугольника делят его на шесть равных по площади меньших треугольников, как на рисунке выше, где три соседние пары треугольников встречаются в средних точках D, E и F. Если два треугольника в каждой такой паре повернуты вокруг своей общей средней точки, пока они не станут встречаются так, чтобы иметь общую сторону, тогда три новых треугольника, образованные объединением каждой пары, совпадают.

Формулы, включающие средние длины [ править ]

Длины медиан могут быть получены из теоремы Аполлония как:

${\ displaystyle m_ {a} = {\ sqrt {\ frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}},}$

${\ displaystyle m_ {b} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2c ^ {2} -b ^ {2}} {4}}},}$

${\ displaystyle m_ {c} = {\ sqrt {\ frac {2a ^ {2} + 2b ^ {2} -c ^ {2}} {4}}},}$

где a , b и c - стороны треугольника с соответствующими медианами m _a , m _b и m _c от их середин.

Таким образом, мы имеем отношения: ^[5]

${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}},}$

${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$

Другие свойства [ править ]

Пусть ABC - треугольник, G - его центроид, а D , E и F - середины BC , CA и AB соответственно. Для любой точки P плоскости ABC тогда

${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$^[6]

Центроид делит каждую срединную часть на части в соотношении 2: 1, причем центроид находится в два раза ближе к средней точке стороны, чем к противоположной вершине.

Для любого треугольника со сторонами и медианами ^[7]${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c}$

и

${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$

Медианы из сторон длины через и Ь являются перпендикулярны тогда и только тогда , когда ^[8]${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$

Медианы прямоугольного треугольника с гипотенузой c удовлетворяют${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

Площадь любого треугольника в Т может быть выражена в терминах ее медиан , а также следующим образом . Обозначая их полусумму ( m _a + m _b + m _c ) / 2 как σ, имеем ^[9]${\displaystyle m_{a},m_{b}}$${\displaystyle m_{c}}$

${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}$

Тетраэдр [ править ]

медианы тетраэдра

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {|AS|}{|SS_{BCD}|}}={\frac {|BS|}{|SS_{ACD}|}}={\frac {|CS|}{|SS_{ABD}|}}\\=&{\frac {|DS|}{|SS_{ABC}|}}={\frac {3}{1}}\end{aligned}}}$

Тетраэдр представляет собой трехмерный объект , имеющий четыре треугольных граней . Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется медианой тетраэдра. Всего четыре медианы, и все они совпадают в центроиде тетраэдра. ^[10] Как и в двумерном случае, центроид тетраэдра является центром масс . Однако, в отличие от двумерного случая, центроид делит медианы не в соотношении 2: 1, а в соотношении 3: 1 ( теорема Коммандино ).

См. Также [ править ]

• Биссектриса угла
• Высота (треугольник)
• Автомедианный треугольник

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиана по теме медианы (геометрии) .

• Медианцы в разорванном узле
• Площадь срединного треугольника в разрезе
• Медианы треугольника с интерактивной анимацией
• Построение медианы треугольника с помощью анимированной демонстрации циркуля и линейки
• Вайстейн, Эрик В. «Медиана треугольника» . MathWorld .