В геометрии , то средняя точка является средней точкой из отрезка . Он находится на одинаковом расстоянии от обеих конечных точек и является центроидом как сегмента, так и конечных точек. Он делит сегмент пополам .
Формулы [ править ]
Середина сегмента в n -мерном пространстве, концы которого задаются и задаются формулами
То есть i- я координата средней точки ( i = 1, 2, ..., n ) равна
Строительство [ править ]
Учитывая две точки интереса, найти среднюю точку отрезка линии, который они определяют, можно с помощью компаса и линейки . Середину линейного сегмента, встроенного в плоскость , можно определить, сначала построив линзу, используя дуги окружности равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, а затем соединив выступы линзы (две точки, где дуги пересекаются). Точка, где линия, соединяющая куспиды, пересекает сегмент, тогда является средней точкой сегмента. Сложнее определить среднюю точку, используя только компас, но это все же возможно в соответствии с теоремой Мора-Маскерони . [1]
Геометрические свойства, включающие средние точки [ править ]
Круг [ править ]
Середина любого диаметра из в круге является центром окружности.
Любая линия, перпендикулярная любой хорде круга и проходящая через его середину, также проходит через центр круга.
Теорема бабочки утверждает, что, если M - середина хорды PQ окружности, через которую проходят две другие хорды AB и CD , то AD и BC пересекают хорду PQ в X и Y соответственно, так что M - середина XY .
Эллипс [ править ]
Середина любого сегмента, который является биссектрисой площади или биссектрисой периметра эллипса, является центром эллипса.
Центр эллипса также является средней точкой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.
Гипербола [ править ]
Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы , является центром гиперболы.
Треугольник [ править ]
Перпендикуляр боковой части в треугольнике является линией, перпендикулярной к этой стороне и проходит через ее середину. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центр окружности, проходящей через три вершины).
Медианный стороны А треугольника проходит через середину обеих боковых и напротив треугольника вершиной . Три медианы треугольника пересекаются в центре тяжести треугольника (точка, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла с однородной плотностью).
Центр из девяти точек треугольника находится в средней точке между центром описанной окружности и ортоцентром . Все эти точки находятся на линии Эйлера .
Midsegment (или срединный ) треугольника является отрезок , который соединяет средние точки двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.
Медиальный треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны три midsegments данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медиану с данным треугольником. Периметр медиального треугольника равен полупериметр (половина периметра) исходного треугольник, а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника. Ортоцентр (пересечение высот ) медиального треугольник совпадает с описанной окружностью (центр окружности через вершину) исходный треугольник.
Каждый треугольник имеет вписанный эллипс , называемый его инэллипсом Штейнера , который внутренне касается треугольника в серединах всех его сторон. Этот эллипс находится в центре тяжести треугольника, и он имеет самую большую площадь из всех эллипсов, вписанных в треугольник.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности - это середина гипотенузы .
В равнобедренном треугольнике медиана, высота и серединный перпендикуляр со стороны основания и биссектриса угла при вершине совпадают с линией Эйлера и осью симметрии , и эти совпадающие линии проходят через середину стороны основания.
Четырехугольник [ править ]
Два bimedians из выпуклый четырехугольник являются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, следовательно , каждый Рассекайте две стороны. Два бимедиана и отрезок прямой, соединяющий середины диагоналей, совпадают (все пересекаются) в точке, называемой «центроид вершины», которая является средней точкой всех трех этих отрезков. [2] : с.125
Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, следовательно, делят последнюю пополам. Если четырехугольник является циклическим (вписанным в круг), все эти солодости встречаются в общей точке, называемой «антицентром».
Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.
Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмма , и если четырехугольник не самопересекающийся, то площадь параллелограмма составляет половину площади четырехугольника.
Линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклый четырехугольник, который не является параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на линии Ньютона.
Общие многоугольники [ править ]
У правильного многоугольника есть вписанная окружность, которая касается каждой стороны многоугольника в его средней точке.
В правильном многоугольнике с четным числом сторон середина диагонали между противоположными вершинами является центром многоугольника.
Серединой растяжения многоугольника из циклического многоугольника Р (а многоугольник , вершины которого все попадают на одной окружности) является еще одним циклическим многоугольник , вписанный в одной и той же окружности, многоугольника, вершины которого являются серединами дуг окружности между вершинами Р . [3] Итерация операции растяжения средней точки на произвольном начальном многоугольнике приводит к последовательности многоугольников, формы которых сходятся к форме правильного многоугольника . [3] [4]
Обобщения [ править ]
В указанных выше формулах для средней точки отрезка неявно использовать длины отрезков. Однако в обобщении на аффинную геометрию , где длины сегментов не определены, [5] средняя точка все еще может быть определена, поскольку она является аффинным инвариантом . Синтетическое аффинное определение средней точки M отрезка AB является гармоническая четвёрка из точки на бесконечности , P , линии AB . То есть точка M такая, что H [ A , B ; п, М ] . [6] Когда координаты могут быть введены в аффинную геометрию, два определения средней точки будут совпадать. [7]
Середина не определяется естественным образом в проективной геометрии, поскольку нет выделенной точки, которая бы играла роль точки на бесконечности (любая точка в проективном диапазоне может быть проективно отображена в любую другую точку в (той же или какой-либо другой) проективной области) . Однако фиксация бесконечно удаленной точки определяет аффинную структуру на рассматриваемой проективной прямой, и приведенное выше определение может быть применено.
Определение середины отрезка можно распространить на геодезические дуги на римановом многообразии . Обратите внимание, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть определена однозначно.
См. Также [ править ]
- Полигон средней точки
- Биссектриса § Биссектриса отрезка прямой
- Численное интегрирование § Квадратурные правила на основе интерполирующих функций
Ссылки [ править ]
- ^ "Wolfram mathworld" . 29 сентября 2010 г.
- ^ Altshiller-Суд, Натан, Колледж Geometry , Dover публ., 2007.
- ^ а б Дин, Джиу; Хитт, Л. Ричард; Чжан Синь-Мин (1 июля 2003), "Цепи Маркова и динамической геометрии многоугольников" (PDF) , Линейная алгебра и ее применения , 367 : 255-270, DOI : 10.1016 / S0024-3795 (02) 00634-1 , получено 19 октября 2011 г. .
- ^ Гомес-Мартин, Франциско; Таслакян, Перуз; Туссен, Годфрид Т. (2008), «Сходимость последовательности теней вписанных многоугольников», 18-й осенний семинар по вычислительной геометрии
- ^ Фишбек, WT (1969), проективных и евклидовой геометрии (2 - е изд.), John Wiley & Sons, стр. 214, ISBN 0-471-26053-3
- ^ Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные концепции геометрии , Dover, p. 156, ISBN 0-486-63415-9
- ↑ Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия , Математические монографии Каруса № 4, Математическая ассоциация Америки, стр. 84–85
Внешние ссылки [ править ]
- Анимация - отображение характеристик средней точки отрезка линии
