Теорема бабочки

Теорема бабочки

Теорема бабочки - классический результат евклидовой геометрии , который можно сформулировать следующим образом: ^{[1] : с. 78}

Пусть M является середина из хорды PQ в виде круга , с помощью которого две других аккордов AB и CD нарисованы; AD и BC пересекают хорду PQ в точках X и Y соответственно. Тогда M - середина XY .

Доказательство [ править ]

Доказательство теоремы бабочки

Формальное доказательство теоремы выглядит следующим образом: пусть перпендикуляры XX ' и XX ″ опущены из точки X на прямых AM и DM соответственно. Аналогично, пусть YY ' и YY ″ опущены из точки Y, перпендикулярной прямым линиям BM и CM соответственно.

С

${\ Displaystyle \ треугольник MXX '\ сим \ треугольник MYY',}$

${\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '\ over YY'},}$

${\ Displaystyle \ треугольник MXX '' \ сим \ треугольник MYY '',}$

${\ displaystyle {MX \ over MY} = {XX '' \ over YY ''},}$

${\ Displaystyle \ треугольник AXX '\ сим \ треугольник CYY' ',}$

${\ displaystyle {XX '\ over YY' '} = {AX \ over CY},}$

${\ Displaystyle \ треугольник DXX '' \ сим \ треугольник BYY ',}$

${\ displaystyle {XX '' \ over YY '} = {DX \ over BY}.}$

Из предыдущих уравнений и теоремы о пересечении хорд видно, что

${\ displaystyle \ left ({MX \ over MY} \ right) ^ {2} = {XX '\ over YY'} {XX '' \ over YY ''},}$

${\displaystyle {}={AX\cdot DX \over CY\cdot BY},}$

${\displaystyle {}={PX\cdot QX \over PY\cdot QY},}$

${\displaystyle {}={(PM-XM)\cdot (MQ+XM) \over (PM+MY)\cdot (QM-MY)},}$

${\displaystyle {}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}},}$

поскольку PM = MQ .

Так

${\displaystyle {(MX)^{2} \over (MY)^{2}}={(PM)^{2}-(MX)^{2} \over (PM)^{2}-(MY)^{2}}.}$

Перемножая в последнем уравнении,

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}.}$

Отмена общего термина

${\displaystyle {-(MX)^{2}\cdot (MY)^{2}}}$

с обеих сторон полученного уравнения дает

${\displaystyle {(MX)^{2}\cdot (PM)^{2}}={(MY)^{2}\cdot (PM)^{2}},}$

следовательно, MX = MY , поскольку MX, MY и PM - положительные действительные числа.

Таким образом, M - середина XY .

Существуют и другие доказательства ^{[2], в} том числе одно, использующее проективную геометрию. ^[3]

История [ править ]

Доказательство теоремы о бабочке было поставлено как проблема Уильямом Уоллесом в «Математическом спутнике джентльменов» (1803). В 1804 году были опубликованы три решения, а в 1805 году сэр Уильям Гершель снова задал этот вопрос в письме Уоллесу. Преподобный Томас Скурр снова задал тот же вопрос в 1814 году в «Дневнике джентльменов» или «Математическом репозитории» . ^[4]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с теоремой бабочки .

• Теорема бабочки в разорванном узле
• Лучшая теорема о бабочке при разрубании узла
• Доказательство теоремы о бабочке в PlanetMath
• Теорема бабочки Джея Варендорфа, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема бабочки» . MathWorld .