Теорема о пересекающихся аккордах

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&|AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|\\=&(r+d)\cdot (r-d)=r^{2}-d^{2}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \triangle ASD\sim \triangle BSC}$

Теорема о пересекающихся хордах или просто теорема о хордах - это утверждение элементарной геометрии, которое описывает отношение четырех отрезков прямой, созданных двумя пересекающимися хордами внутри круга. В нем говорится, что произведения длин отрезков на каждом хорде равны. Это предложение 35 книги 3 Элементов Евклида .

Точнее, для двух хорд AC и BD, пересекающихся в точке S, справедливо уравнение:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Верно и обратное, то есть если для двух отрезков AC и BD, пересекающихся в S, справедливо приведенное выше уравнение, то их четыре конечные точки A , B , C и D лежат на общей окружности. Или, другими словами, если диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в S и удовлетворяют приведенному выше уравнению, то это вписанный четырехугольник .

Значение двух произведений в теореме о хорде зависит только от расстояния точки пересечения S от центра окружности и называется абсолютным значением мощности S , точнее можно сказать, что:

${\displaystyle |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|=r^{2}-d^{2}}$

где R представляет собой радиус окружности, а д является расстоянием между центром окружности и точкой пересечения S . Это свойство следует непосредственно из применения теоремы о хорде к третьей хорде, проходящей через S и центр окружности M (см. Рисунок).

Теорема может быть доказана с использованием подобных треугольников (с помощью теоремы о вписанном угле ). Рассмотрим углы треугольников ASD и BSC :

${\displaystyle {\begin{aligned}\angle ADS&=\angle BCS\,({\text{inscribed angles over AB}})\\\angle DAS&=\angle CBS\,({\text{inscribed angles over CD}})\\\angle ASD&=\angle BSC\,({\text{opposing angles}})\end{aligned}}}$

Это означает, что треугольники ASD и BSC похожи и, следовательно,

${\displaystyle {\frac {AS}{SD}}={\frac {BS}{SC}}\Leftrightarrow |AS|\cdot |SC|=|BS|\cdot |SD|}$

Рядом с теоремой о касательной-секансе и теоремой о пересекающихся секущих теорема о пересекающихся хордах представляет собой один из трех основных случаев более общей теоремы о двух пересекающихся прямых и окружности - теорема о силе точки .

Ссылки [ править ]

• Пол Глейстер: Теорема о пересекающихся аккордах: 30 лет спустя . Математика в школе, Vol. 36, No. 1 (январь 2007 г.), стр. 22 ( JSTOR )
• Брюс Шоуер: Исследования в геометрии . Мировая научная, 2010, ISBN  9789813100947 , стр. 14
• Ганс Шупп: Элементаргеометрия. Schöningh, Paderborn 1977, ISBN 3-506-99189-2 , стр. 149 (немецкий). 
• Schülerduden - Mathematik я . Bibliographisches Institut & FA Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1 , стр. 415-417 (немецкий) 

Внешние ссылки [ править ]

• Теорема о пересекающихся аккордах на cut-the-knot.org
• Теорема о пересекающихся аккордах на proofwiki.org
• Вайсштейн, Эрик В. «Аккорд» . MathWorld .
• Две интерактивные иллюстрации: [1] и [2]