Хорда (геометрия)

Аккорд из круга является отрезок прямой , концы которого лежат как на круговой дуге . Бесконечная линия расширение аккорда является секущим , или просто секущей . В более общем смысле, хорда - это отрезок прямой, соединяющий две точки на любой кривой, например, эллипса . Хорда, проходящая через центральную точку круга, и есть диаметр круга . Слово аккорд происходит от латинского chorda, означающего тетиву .

Красный сегмент BX является хордой
(как и сегмент диаметра AB ).

В кругах [ править ]

К свойствам хорд круга можно отнести следующие:

Хорды равноудалены от центра тогда и только тогда, когда их длины равны.
Равные хорды соединены равными углами от центра круга.
Хорда, проходящая через центр круга, называется диаметром и является самой длинной хордой.
Если продолжения (секущие) хорд AB и CD пересекаются в точке P, то их длины удовлетворяют AP · PB = CP · PD ( степень теоремы о точке ).

В эллипсах [ править ]

Середины множества параллельных хорд эллипса находятся на одной прямой . ^[1]

В тригонометрии [ править ]

Аккорды широко использовались в раннем развитии тригонометрии . Первая известная тригонометрическая таблица, составленная Гиппархом , содержала значение хордовой функции для каждых 7,5 градусов . Во втором веке нашей эры Птолемей Александрийский составил в своей книге по астрономии более обширную таблицу аккордов , указав значение хорды для углов от 1/2 до 180 градусов с шагом в полградуса. Круг имел диаметр 120, а длины хорды с точностью до двух цифр по основанию 60 после целой части. ^[2]

Функция хорды определяется геометрически, как показано на рисунке. Хорда угла - это длина хорды между двумя точками единичной окружности, разделенными этим центральным углом. Угол θ берется в положительном смысле и должен лежать в интервале $0 < θ \leq π$ (радианная мера). Функцию хорды можно связать с современной синусоидальной функцией, взяв одну из точек равной (1,0), а другую точку ( $cos θ, sin θ$ ), а затем используя теорему Пифагора для вычисления хорды длина: ^[2]

{\ displaystyle \ operatorname {crd} \ \ theta = {\ sqrt {(1- \ cos \ theta) ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta}} = {\ sqrt {2-2 \ cos \ theta}} = 2 \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}

На последнем шаге используется формула половинного угла . Подобно тому, как современная тригонометрия построена на функции синуса, древняя тригонометрия была основана на функции аккорда. Предполагается, что Гиппарх написал двенадцать томов об аккордах, которые теперь утеряны, поэтому, по-видимому, о них было известно очень много. В таблице ниже (где - длина хорды, а диаметр окружности) можно показать, что хордовая функция удовлетворяет многим тождествам, аналогичным хорошо известным современным: ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle D}$

Имя	На основе синуса	Аккордовая
Пифагорейский	${\ Displaystyle \ грех ^ {2} \ тета + \ соз ^ {2} \ тета = 1 \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} ^ {2} \ theta + \ operatorname {crd} ^ {2} (\ pi - \ theta) = 4 \,}$
Полуугол	${\ displaystyle \ sin {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {1- \ cos \ theta} {2}}} \,}$	${\ displaystyle \ operatorname {crd} \ {\ frac {\ theta} {2}} = \ pm {\ sqrt {2- \ operatorname {crd} (\ pi - \ theta)}} \,}$
Апофема ( а )	${\ displaystyle c = 2 {\ sqrt {r ^ {2} -a ^ {2}}}}$	${\ displaystyle c = {\ sqrt {D ^ {2} -4a ^ {2}}}}$
Угол ( θ )	${\ displaystyle c = 2r \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right)}$	$c={\frac {D}{2}}\operatorname {crd} \ \theta$

Также существует обратная функция: ^[3]

\operatorname {acrd} (y)=2\arcsin \left({\frac {y}{2}}\right).

См. Также [ править ]

Круговой сегмент - часть сектора, которая остается после удаления треугольника, образованного центром круга и двумя конечными точками дуги окружности на границе.
Шкала аккордов
Таблица аккордов Птолемея
Теорема Холдитча для хорды, вращающейся по выпуклой замкнутой кривой
Круговой график
Exsecant и excosecant
Версин и гаверсин
Кривая Циндлера (замкнутая и простая кривая, в которой все хорды, разделяющие длину дуги пополам, имеют одинаковую длину)

Ссылки [ править ]

^ Chakerian, GD (1979). «7». В Honsberger, R. (ред.). Искаженный вид геометрии . Математические сливы . Вашингтон, округ Колумбия, США: Математическая ассоциация Америки . п. 147.
^ a b Маор, Эли (1998), Trigonometric Delights , Princeton University Press, стр. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4
^ Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" (исходный код FORTRAN-90). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Проверено 26 октября 2015 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Хокинг, Стивен Уильям , изд. (2002). На плечах гигантов: великие труды по физике и астрономии . Филадельфия, США: Running Press . ISBN 0-7624-1698-X. LCCN 2002100441 . Проверено 31 июля 2017 .
Ставек, Иржи (10 марта 2017 г.) [26 февраля 2017 г.]. «О скрытой красоте тригонометрических функций» . Прикладные исследования физики . Прага, Чехия: Канадский центр науки и образования. 9 (2): 57–64. DOI : 10,5539 / apr.v9n2p57 . ISSN 1916-9639 . ISSN 1916-9647 . [1]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме Хорда (геометрия) .

Краткое содержание истории тригонометрии
Тригонометрические функции с упором на историю
Аккорд (круга) с интерактивной анимацией

[Chakerian_1979-1] Chakerian, GD (1979). «7». В Honsberger, R. (ред.). Искаженный вид геометрии . Математические сливы . Вашингтон, округ Колумбия, США: Математическая ассоциация Америки . п. 147.

[Maor-2] Маор, Эли (1998), Trigonometric Delights , Princeton University Press, стр. 25–27, ISBN 978-0-691-15820-4

[Simpson_2001-3] Симпсон, Дэвид Г. (2001-11-08). "AUXTRIG" (исходный код FORTRAN-90). Гринбелт, Мэриленд, США: Центр космических полетов имени Годдарда НАСА . Проверено 26 октября 2015 .

[1]