В геометрии , A секущей из кривой является линия , которая пересекает кривую, как минимум , двух различных точек . [1] Слово secant происходит от латинского слова secare , означающего разрезать . [2] В случае круга секущая пересекает круг ровно в двух точках. Аккорд фактический отрезок определяется этими двумя точками, то есть интервал на секущей, концы которого находятся в этих положениях. [3]
Круги [ править ]
Прямая линия может пересекать круг в нуле, одной или двух точках. Прямая, пересекающаяся в двух точках, называется секущей линией , в одной точке - касательной и ни в одной точке - внешней линией . Хорды окружности является отрезок , который соединяет две различные точки окружности. Следовательно, хорда содержится в уникальной секущей линии, и каждая секущая линия определяет уникальный хорд.
В строгих современных трактовках плоской геометрии результаты, которые кажутся очевидными и которые предполагались (без каких-либо заявлений) Евклидом в его трактовке , обычно подтверждаются.
Например, теорема (элементарная круговая непрерывность) : [4] Если это окружность и прямая, содержащая точку A, которая находится внутри, и точку B, которая находится вне, то является секущей для .
В некоторых ситуациях выражение результатов в виде секущих, а не аккордов может помочь объединить утверждения. В качестве примера рассмотрим результат: [5]
- Если две секущие прямые содержат хорды AB и CD в окружности и пересекаются в точке P, которая не находится на окружности, то длины отрезков прямой удовлетворяют условию AP ⋅ PB = CP ⋅ PD .
Если точка P лежит внутри круга, это Евклид III.35, но если точка находится вне круга, результат не содержится в элементах. Однако Роберт Симсон вслед за Кристофером Клавиусом продемонстрировал этот результат, иногда называемый теоремой о секансе-секансе , в своих комментариях к Евклиду. [6]
Кривые [ править ]
При работе с кривыми, более сложными, чем простые круги, возникает вероятность того, что линия, которая пересекает кривую в двух различных точках, может пересекаться с кривой в других точках. Некоторые авторы определяют секущую линию кривой как линию, которая пересекает кривую в двух различных точках. Это определение оставляет открытой возможность того, что линия может иметь другие точки пересечения с кривой. При такой формулировке определения секущей линии для окружностей и кривых идентичны, и возможность дополнительных точек пересечения просто не возникает для окружности.
Секущие и касательные [ править ]
Секущие может быть использован для аппроксимации по касательной линии к кривой , в некоторой точке Р , если оно существует. Определите секущую к кривой двумя точками , P и Q , с фиксированным P и переменной Q. Как Q приближается к P вдоль кривой, если наклон секущей приближается к предельной величины , то этот предел определяет наклон касательной линии в P . [1] Секущие PQявляются приближениями к касательной. В исчислении эта идея - геометрическое определение производной .
Касательная к кривой в точке Р может быть секущая к этой кривой , если она пересекает кривую по меньшей мере в одной точке , отличной от P . Другой способ взглянуть на это - понять, что быть касательной в точке P - это локальное свойство, зависящее только от кривой в непосредственной окрестности P , в то время как быть секущей линией - это глобальное свойство, поскольку вся область функция, создающая кривую, должна быть исследована.
Множества и n -секущие [ править ]
Концепция секущей линии может применяться в более общем контексте, чем евклидово пространство. Пусть K - конечный набор из k точек в некоторой геометрической ситуации. Линия будет называться п -secant из K , если он содержит ровно п точек K . [7] Например, если K представляет собой набор из 50 точек, расположенных на окружности в евклидовой плоскости, линия, соединяющая две из них, будет 2-секущей (или биссектрисой ), а линия, проходящая только через одну из них, будет 1-секущая (или одинарная ). Унисеканс в этом примере не обязательно должен быть касательной к окружности.
Эта терминология часто используется в геометрии падения и дискретной геометрии . Например, теорема Сильвестра – Галлаи о геометрии инцидентности утверждает, что если n точек евклидовой геометрии не коллинеарны, то должна существовать 2-секущая из них. И исходная задача дискретной геометрии о садоводстве требует ограничения числа 3-секущих конечного набора точек.
Конечность множества точек не существенна в этом определении, если каждая прямая может пересекать множество только в конечном числе точек.
См. Также [ править ]
- Эллиптическая кривая , кривая, каждая секущая которой имеет третью точку пересечения, по которой может быть определена большая часть группового закона.
- Теорема о среднем значении , что каждая секущая графика гладкой функции имеет параллельную касательную
- Quadrisecant , линия, пересекающая четыре точки кривой (обычно пространственная кривая)
- Секущая плоскость , трехмерный эквивалент секущей линии
- Секущее многообразие , объединение секущих и касательных к заданному проективному многообразию
Ссылки [ править ]
- ^ a b Проттер, Мюррей Х .; Проттер, Филип Э. (1988), Исчисление с аналитической геометрией , Jones & Bartlett Learning, стр. 62, ISBN 9780867200935.
- ^ Redgrove, Герберт Стэнли (1913), Экспериментальное Мероопределение: Элементарный тест-книга Индуктивный геометрии , М. , ИЛ, стр. 167.
- ^ Гуллберг, Ян (1997), Математика: От рождения Чисел , WW Norton & Company, с. 387, ISBN 9780393040029.
- ^ Венема, Джерард А. (2006), Основы геометрии , Пирсон / Прентис-Холл, стр. 229, ISBN 978-0-13-143700-5
- ^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman & Co., стр. 482, ISBN 0-7167-0456-0
- ^ Хит, Томас Л. (1956), Тринадцать книг Элементов Евклида (Том 2) , Довер, стр. 73
- ^ Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press, стр. 70 , ISBN 0-19-853526-0
Внешние ссылки [ править ]
- Вайсштейн, Эрик В. «Секущая линия» . MathWorld .
